Worldlex Wiki Le théorème de Lax-Milgram , nommé d'après Peter Lax et Arthur Milgram qui l'ont prouvé en 1954, fournit des formulations faibles pour certains systèmes sur les espaces de Hilbert .
espace de Banach , soit le dual de , soit une application linéaire et soit . Un vecteur est solution de l'équationExemple 1 : système d'équations linéaires
Soit et une application linéaire . Alors, la formulation faible de l'équation
implique de trouver tel que pour tout l'équation suivante soit vérifiée :
où désigne un produit scalaire .
Puisque est une application linéaire, il suffit de tester avec des vecteurs de base , et on obtient
En développant matricielle de l'équation
où et
La forme bilinéaire associée à cette formulation faible est
Exemple 2 : Équation de Poisson
Pour résoudre l'équation de Poisson
sur un domaine dont la frontière est , et pour spécifier ultérieurement l'espace des solutions , on peut utiliser le produit scalaire
pour obtenir la formulation faible. Ensuite, des tests avec des fonctions différentiables donnent :
Le membre de gauche de cette équation peut être rendu plus symétrique par intégration par parties en utilisant l'identité de Green et en supposant que sur
C'est ce qu'on appelle généralement la formulation faible de l' équation de Poisson . Les fonctions de l'espace solution doivent s'annuler sur le bord et avoir des dérivées de carré intégrable . L'espace approprié pour satisfaire ces conditions est l' espace de Sobolev des fonctions à dérivées faibles et à conditions aux limites nulles
La forme générique est obtenue en attribuant
et
Le théorème de Lax-Milgram
Il s'agit d'une formulation du théorème de Lax-Milgram qui repose sur les propriétés de la partie symétrique de la forme bilinéaire . Ce n'est pas la formulation la plus générale.
Soit un espace de Hilbert réel et une forme bilinéaire sur
Alors, pour tout borné
et il contient
Application à l'exemple 1
Ici, l'application du théorème de Lax-Milgram aboutit à un résultat plus fort que nécessaire.
- Bornitude : toutes les formes bilinéaires sur sont bornées. En particulier, nous avons
- Coercivité : cela signifie concrètement que les parties réelles des valeurs propres de ne sont pas inférieures à . Puisque cela implique notamment qu’aucune valeur propre n’est nulle, le système est résoluble.
De plus, cela donne l'estimation où est la partie réelle minimale d'une valeur propre de
Application à l'exemple 2
Ici, choisissez selon la norme
où la norme à droite est la norme inégalité de Poincaré ). Mais, nous voyons que et par l' inégalité de Cauchy-Schwarz ,
Par conséquent, pour tout l'équation de Poisson et nous avons l'estimation