Polynôme sans carré

En mathématiques , un polynôme sans carré est un polynôme univarié (sur un corps ou un ensemble de fonctions entières ) qui n'a pas de racine multiple dans un corps algébriquement clos contenant ses coefficients. En caractéristique 0, ou sur un corps fini , un polynôme univarié est sans carré si et seulement si n'a pas comme diviseur un carré d'un polynôme non constant . Dans les applications en physique et en ingénierie, un polynôme sans carré est communément appelé polynôme sans racines répétées .

La règle du produit implique que, si p ² divise f , alors p divise la dérivée formelle f ′ de f . La réciproque est également vraie et, par conséquent, est sans carré si et seulement si est le plus grand diviseur commun du polynôme et de sa dérivée. ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Une décomposition sans carré ou une factorisation sans carré d'un polynôme est une factorisation en puissances de polynômes sans carré

{\displaystyle f=a_{1}a_{2}^{2}a_{3}^{3}\cdots a_{n}^{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{k}\, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <mo>⋯</mo> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f=a_{1}a_{2}^{2}a_{3}^{3}\cdots a_{n}^{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{k}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où ceux des a _k qui ne sont pas constants sont des polynômes sans carré premiers entre eux (ici, deux polynômes sont dits premiers entre eux si leur plus grand commun diviseur est une constante ; en d'autres termes, c'est la coprimalité sur le corps des fractions des coefficients qui est considérée). Tout polynôme non nul admet une factorisation sans carré, qui est unique à la multiplication et à la division des facteurs par des constantes non nulles près. La factorisation sans carré est beaucoup plus facile à calculer que la factorisation complète en facteurs irréductibles , et est donc souvent préférée lorsque la factorisation complète n'est pas vraiment nécessaire, comme pour la décomposition en fractions partielles et l' intégration symbolique de fractions rationnelles . La factorisation sans carré est la première étape des algorithmes de factorisation de polynômes qui sont implémentés dans les systèmes de calcul formel . Par conséquent, l'algorithme de factorisation sans carré est basique en calcul formel .

Sur un corps de caractéristique 0, le quotient de par son plus grand commun diviseur (PGCD) avec sa dérivée est le produit des dans la décomposition sans carré ci-dessus. Sur un corps parfait de caractéristique non nulle p , ce quotient est le produit des tels que i ne soit pas un multiple de p . D'autres calculs de PGCD et divisions exactes permettent de calculer la factorisation sans carré (voir factorisation sans carré sur un corps fini ). En caractéristique zéro, un meilleur algorithme est connu, l'algorithme de Yun, qui est décrit ci-dessous. Sa complexité de calcul est, au plus, deux fois celle du calcul du PGCD du polynôme d'entrée et de sa dérivée. Plus précisément, si est le temps nécessaire pour calculer le PGCD de deux polynômes de degré et le quotient de ces polynômes par le PGCD, alors est une borne supérieure pour le temps nécessaire pour calculer la décomposition sans carré complète. ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 2T_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>2</mn> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 2T_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Il existe également des algorithmes connus pour la décomposition sans carré de polynômes multivariés , qui procèdent généralement en considérant un polynôme multivarié comme un polynôme univarié à coefficients polynomiaux, et en appliquant récursivement un algorithme univarié.

L'algorithme de Yun

Cette section décrit l'algorithme de Yun pour la décomposition sans carré de polynômes univariés sur un corps de caractéristique 0. [ Il procède par une succession de calculs PGCD et de divisions exactes.

L'entrée est donc un polynôme f non nul , et la première étape de l'algorithme consiste à calculer le PGCD a ₀ de f et sa dérivée formelle f' .

{\displaystyle f=a_{1}a_{2}^{2}a_{3}^{3}\cdots a_{k}^{k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <mo>⋯</mo> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f=a_{1}a_{2}^{2}a_{3}^{3}\cdots a_{k}^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

est la factorisation souhaitée, nous avons donc

{\displaystyle a_{0}=a_{2}^{1}a_{3}^{2}\cdots a_{k}^{k-1}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>⋯</mo> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{0}=a_{2}^{1}a_{3}^{2}\cdots a_{k}^{k-1},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle f/a_{0}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f/a_{0}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle f'/a_{0}=\sum _{i=1}^{k}ia_{i}'a_{1}\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_{k}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>je</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </munderover> <mi>je</mi> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f'/a_{0}=\sum _{i=1}^{k}ia_{i}'a_{1}\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_{k}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Si nous posons , et , nous obtenons que ${\displaystyle b_{1}=f/a_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b_{1}=f/a_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c_{1}=f'/a_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{1}=f'/a_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d_{1}=c_{1}-b_{1}' <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{1}=c_{1}-b_{1}'}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \gcd(b_{1},d_{1})=a_{1}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>pgcd</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gcd(b_{1},d_{1})=a_{1},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle b_{2}=b_{1}/a_{1}=a_{2}a_{3}\cdots a_{n}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b_{2}=b_{1}/a_{1}=a_{2}a_{3}\cdots a_{n},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle c_{2}=d_{1}/a_{1}=\sum _{i=2}^{k}(i-1)a_{i}'a_{2}\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_{k}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>je</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </munderover> <mo>(</mo> <mi>je</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{2}=d_{1}/a_{1}=\sum _{i=2}^{k}(i-1)a_{i}'a_{2}\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_{k}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Répéter ce processus jusqu'à ce que nous trouvions tous les ${\displaystyle b_{k+1}=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b_{k+1}=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a_{i}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{i}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ceci est formalisé dans un algorithme comme suit :

${\displaystyle a_{0}:=\gcd(f,f');\quad b_{1}:=f/a_{0};\quad c_{1}:=f'/a_{0};\quad d_{1}:=c_{1}-b_{1}';\quad i:=1; <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mo>pgcd</mo> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> <mo>;</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>;</mo> <mspace></mspace> <mi>je</mi> <mo>:=</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{0}:=\gcd(f,f');\quad b_{1}:=f/a_{0};\quad c_{1}:=f'/a_{0};\quad d_{1}:=c_{1}-b_{1}';\quad i:=1;}</annotation> </semantics> </math><img src=$
répéter jusqu'à la sortie
${\displaystyle a_{i}:=\gcd(b_{i},d_{i});\quad b_{i+1}:=b_{i}/a_{i};\quad c_{i+1}:=d_{i}/a_{i};\quad i:=i+1;\quad d_{i}:=c_{i}-b_{i}'; <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mo>pgcd</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>;</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mspace></mspace> <mi>je</mi> <mo>:=</mo> <mi>je</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{i}:=\gcd(b_{i},d_{i});\quad b_{i+1}:=b_{i}/a_{i};\quad c_{i+1}:=d_{i}/a_{i};\quad i:=i+1;\quad d_{i}:=c_{i}-b_{i}';}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle b_{i}=1; <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b_{i}=1;}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{i-1}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{i-1}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le degré de et est inférieur de un au degré de Comme est le produit de la somme des degrés de est le degré de Comme la complexité des calculs et des divisions PGCD augmente plus que linéairement avec le degré, il s'ensuit que le temps d'exécution total de la boucle « répéter » est inférieur au temps d'exécution de la première ligne de l'algorithme, et que le temps d'exécution total de l'algorithme de Yun est limité à deux fois le temps nécessaire pour calculer le PGCD de et et le quotient de et par leur PGCD. ${\displaystyle c_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b_{i}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b_{i}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b_{i}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b_{i},}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f' <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f'}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f' <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f'}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Racine carrée

En général, un polynôme n'a pas de racine carrée . Plus précisément, la plupart des polynômes ne peuvent pas s'écrire comme le carré d'un autre polynôme.

Un polynôme a une racine carrée si et seulement si tous les exposants de la décomposition sans carré sont pairs. Dans ce cas, une racine carrée est obtenue en divisant ces exposants par 2.

Ainsi, le problème de décider si un polynôme a une racine carrée, et de la calculer si elle existe, est un cas particulier de factorisation sans carré.

L'algorithme de Yun

Racine carrée

Remarques