Loi du carré-cube

La loi du carré-cube (ou loi du cube-carré ) est un principe mathématique, appliqué dans de nombreux domaines scientifiques, qui décrit la entre le volume et la surface lorsque la taille d'une forme augmente ou diminue. Elle a été décrite pour la première fois Galilée dans ses Deux nouvelles sciences comme « ... le rapport de deux volumes est supérieur au rapport de leurs surfaces ».

Ce principe stipule que, lorsqu'une forme grandit, son volume augmente plus vite que sa surface. Appliqué au monde réel, ce principe a de nombreuses implications qui sont importantes dans des domaines allant de l'ingénierie mécanique à la biomécanique . Il permet d'expliquer des phénomènes tels que la raison pour laquelle les grands mammifères comme les éléphants ont plus de mal à se refroidir que les petits comme les souris, et pourquoi il est de plus en plus difficile de construire des gratte-ciels de plus en plus hauts .

La loi du carré-cube peut être énoncée comme suit :

Lorsqu'un objet subit une augmentation proportionnelle de taille, sa nouvelle surface est proportionnelle au carré du multiplicateur et son nouveau volume est proportionnel au cube du multiplicateur.

Représenté mathématiquement : où est l'aire de surface d'origine et est la nouvelle aire de surface. où est le volume d'origine, est le nouveau volume, est la longueur d'origine et est la nouvelle longueur.

Par exemple, un cube dont les côtés mesurent 1 mètre a une surface de 6 m ² et un volume de 1 m ³ . Si les côtés du cube étaient multipliés par 2, sa surface serait multipliée par le carré de 2 et deviendrait 24 m ² . Son volume serait multiplié par le cube de 2 et deviendrait 8 m ³ .

Le cube original (1 m de côté) a un rapport surface/volume de 6:1. Le cube plus grand (2 m de côté) a un rapport surface/volume de (24/8) 3:1. À mesure que les dimensions augmentent, le volume continue de croître plus vite que la surface. D'où la loi du carré-cube. Ce principe s'applique à tous les solides.

Lorsqu'un objet physique conserve la même densité et est agrandi, son volume et sa masse augmentent du cube du multiplicateur tandis que sa surface n'augmente que du carré du même multiplicateur. Cela signifie que lorsque la version plus grande de l'objet est accélérée au même rythme que l'original, une pression plus importante s'exerce sur la surface de l'objet plus grand.

Prenons un exemple simple d'un corps de masse , soumis à une accélération , avec une surface , sur laquelle agit la force accélératrice. La force due à l'accélération est et la pression est .

Considérons maintenant que l'objet est exagéré par un facteur multiplicateur de sorte qu'il ait une nouvelle masse et une nouvelle surface .

La nouvelle force due à l'accélération est et la pression résultante est :

Ainsi, en augmentant simplement la taille d'un objet, en conservant le même matériau de construction (densité) et la même accélération, la pression augmenterait du même facteur d'échelle. Cela indiquerait que l'objet aurait une moindre capacité à résister aux contraintes et serait plus susceptible de s'effondrer lors de l'accélération.

C'est pourquoi les gros véhicules ont de mauvais résultats aux crash-tests et qu'il existe des limites théoriques à la hauteur à laquelle les bâtiments peuvent être construits. De même, plus un objet est grand, moins les autres objets résisteront à son mouvement, provoquant ainsi sa décélération.

• Machine à vapeur : James Watt , qui travaillait comme fabricant d'instruments pour l' Université de Glasgow , reçut une maquette de machine à vapeur Newcomen à mettre en état de marche. Watt reconnut que le problème était lié à la loi du carré-cube, dans la mesure où le rapport surface/volume du cylindre du modèle était supérieur à celui des moteurs commerciaux beaucoup plus grands, ce qui entraînait une perte de chaleur excessive. Les expériences avec ce modèle ont conduit aux célèbres améliorations apportées par Watt à la machine à vapeur.

• Airbus A380 : les surfaces de portance et de contrôle (ailes, gouvernes de direction et gouvernes de profondeur) sont relativement grandes par rapport au fuselage de l'avion. Par exemple, prendre un Boeing 737 et simplement agrandir ses dimensions à la taille d'un A380 donnerait lieu à des ailes trop petites pour le poids de l'avion, en raison de la règle du carré-cube.
• Les moteurs-fusées à cycle expanseur sont soumis à la loi du carré-cube. Leur taille, et donc leur poussée, sont limitées par l'efficacité du transfert de chaleur en raison de la surface de la tuyère qui augmente plus lentement que le volume de carburant qui s'écoule à travers la tuyère.
• Un clipper a besoin d'une surface de voile relativement plus grande qu'un sloop pour atteindre la même vitesse, ce qui signifie qu'il y a un rapport surface de voile/surface de voile plus élevé entre ces embarcations qu'il n'y a de rapport poids/poids.
• Les aérostats bénéficient généralement de la loi du carré-cube. Lorsque le rayon ( ) d'un ballon augmente, le coût en surface augmente de manière quadratique ( ) , mais la portance générée par le volume augmente de manière cubique ( ) .
• Ingénierie structurelle : les matériaux qui fonctionnent à petite échelle peuvent ne pas fonctionner à plus grande échelle. Par exemple, la contrainte de compression au bas d'une petite colonne autoportante évolue au même rythme que la taille de la colonne. Par conséquent, il existe une taille pour un matériau et une densité donnés à partir de laquelle une colonne s'effondrera sur elle-même.

Si un animal était agrandi de manière isométrique, sa force musculaire relative serait considérablement réduite, car la section transversale de ses muscles augmenterait du carré du facteur d'échelle tandis que sa masse augmenterait du cube du facteur d'échelle. En conséquence, les fonctions cardiovasculaires et respiratoires seraient fortement sollicitées.

Dans le cas des animaux volants, la charge alaire augmenterait s'ils étaient agrandis de manière isométrique, et ils devraient donc voler plus vite pour obtenir la même portance . La résistance de l'air par unité de masse est également plus élevée pour les animaux plus petits (ce qui réduit la vitesse terminale ), ce qui explique pourquoi un petit animal comme une fourmi ne peut pas être gravement blessé par un impact avec le sol après une chute d'une hauteur quelconque.

Comme l'a déclaré JBS Haldane , les grands animaux ne ressemblent pas aux petits animaux : un éléphant ne peut pas être confondu avec une souris agrandie. Cela est dû à l'échelle allométrique : les os d'un éléphant sont nécessairement proportionnellement beaucoup plus gros que ceux d'une souris parce qu'ils doivent supporter un poids proportionnellement plus élevé. Haldane illustre cela dans son essai fondateur de 1928 On Being the Right Size en faisant référence aux géants allégoriques : « ...considérez un homme de 60 pieds de haut... Le pape géant et le païen géant dans le voyage du pèlerin illustré : ...Ces monstres... pesaient 1000 fois plus que [un humain normal]. Chaque centimètre carré d'un os géant devait supporter 10 fois le poids supporté par un centimètre carré d'os humain. Comme l'os de la cuisse humaine moyenne se brise sous environ 10 fois le poids humain, Pope et Pagan se seraient cassés les cuisses à chaque fois qu'ils ont fait un pas. » Par conséquent, la plupart des animaux présentent une mise à l'échelle allométrique avec une taille accrue, à la fois entre les espèces et au sein d'une même espèce. Les créatures géantes vues dans les films de monstres (par exemple, Godzilla , King Kong , Them! et d'autres kaiju ) sont également irréalistes, étant donné que leur taille les forcerait à s'effondrer. Robert Wadlow , l'homme le plus grand ayant jamais vécu (2,72 m), avait besoin d'appareils orthopédiques pour marcher et souffrait d'engourdissements dans les pieds.

Cependant, la flottabilité de l'eau annule dans une certaine mesure les effets de la gravité. Par conséquent, les animaux aquatiques peuvent atteindre de très grandes tailles sans avoir les mêmes structures musculo-squelettiques que celles requises pour les animaux terrestres de taille similaire, et c'est la principale raison pour laquelle les plus grands animaux ayant jamais existé sur terre sont des animaux aquatiques .

Le taux métabolique des animaux évolue selon un principe mathématique appelé mise à l'échelle au quart de la puissance selon la théorie métabolique de l'écologie .

Le transfert de masse, comme la diffusion vers des objets plus petits comme des cellules vivantes, est plus rapide que la diffusion vers des objets plus grands comme des animaux entiers. Ainsi, dans les processus chimiques qui se déroulent sur une surface – plutôt que dans la masse –, les matériaux plus finement divisés sont plus actifs. Par exemple, l’activité d’un catalyseur hétérogène est plus élevée lorsqu’il est divisé en particules plus fines.

La production de chaleur issue d'un procédé chimique est proportionnelle au cube de la dimension linéaire (hauteur, largeur) du récipient, mais la surface du récipient est proportionnelle au carré de cette dimension. Par conséquent, les récipients de plus grande taille sont beaucoup plus difficiles à refroidir. De plus, les canalisations de grande taille destinées au transfert de fluides chauds sont difficiles à simuler à petite échelle, car la chaleur est transférée plus rapidement à partir de canalisations plus petites. Ne pas en tenir compte lors de la conception du procédé peut conduire à un emballement thermique catastrophique .