Sous-ensemble

En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble d'un ensemble B si tous les éléments de A sont aussi des éléments de B ; B est alors un sur-ensemble de A. Il est possible que A et B soient égaux ; s'ils sont inégaux, alors A est un sous-ensemble propre de B. La relation selon laquelle un ensemble est un sous-ensemble d'un autre est appelée inclusion (ou parfois confinement ). A est un sous-ensemble de B peut également être exprimé comme B inclut (ou contient) A ou A est inclus (ou contenu) dans B. Un k -sous-ensemble est un sous-ensemble avec k éléments.

Lorsqu'il est quantifié, il est représenté par

On peut prouver l’affirmation en appliquant une technique de preuve connue sous le nom d’argument d’élément :

Soit les ensembles A et B. Pour prouver que

1. supposons que a soit un élément particulier mais choisi arbitrairement de A
2. montrer que a est un élément de B .

La validité de cette technique peut être vue comme une conséquence de la généralisation universelle : la technique montre pour un élément c choisi arbitrairement que . La généralisation universelle implique alors ce qui est équivalent à ce qui est énoncé ci-dessus.

Si A et B sont des ensembles et que chaque élément de A est également un élément de B , alors :

• A est un sous-ensemble de B , noté , ou de manière équivalente,
• B est un sur-ensemble de A , noté par

Si A est un sous-ensemble de B , mais que A n'est pas égal à B (c'est-à-dire qu'il existe au moins un élément de B qui n'est pas un élément de A ), alors :

• A est un sous-ensemble propre (ou strict ) de B , noté , ou de manière équivalente,
• B est un sur-ensemble propre (ou strict ) de A , noté par

L' ensemble vide , écrit ou n'a aucun élément, et est donc videment un sous-ensemble de tout ensemble X.

• Réflexivité : Étant donné un ensemble quelconque,
• Transitivité : Siet, alors
• Antisymétrie : Siet, alors.

• Irréflexivité : Étant donné un ensemble,est Faux.
• Transitivité : Siet, alors
• Asymétrie : Sialorsest Faux.

Certains auteurs utilisent les symboles et pour indiquer respectivement le sous-ensemble et le sur-ensemble ; c'est-à-dire avec la même signification que et au lieu des symboles et Par exemple, pour ces auteurs, il est vrai de tout ensemble A que (une relation réflexive ).

D'autres auteurs préfèrent utiliser les symboles et pour indiquer respectivement le sous-ensemble propre (également appelé strict) et le sur-ensemble propre ; c'est-à-dire avec la même signification que et au lieu des symboles et Cet usage rend et analogue aux symboles d'inégalité et Par exemple, si alors x peut ou non être égal à y , mais si alors x n'est définitivement pas égal à y , et est inférieur à y (une relation irréflexive ). De même, en utilisant la convention selon laquelle sous-ensemble propre, si alors A peut ou non être égal à B , mais si alors A n'est définitivement pas égal à B .

• L'ensemble A = {1, 2} est un sous-ensemble propre de B = {1, 2, 3}, donc les deux expressions et sont vraies.
• L'ensemble D = {1, 2, 3} est un sous-ensemble (mais pas un sous-ensemble propre) de E = {1, 2, 3}, donc est vrai, et n'est pas vrai (faux).
• L'ensemble { x : x est un nombre premier supérieur à 10} est un sous-ensemble propre de { x : x est un nombre impair supérieur à 10}
• L'ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble propre de l'ensemble des nombres rationnels ; de même, l'ensemble des points d'un segment de droite est un sous-ensemble propre de l'ensemble des points d'une droite . Ce sont deux exemples dans lesquels le sous-ensemble et l'ensemble entier sont tous deux infinis, et le sous-ensemble a la même cardinalité (le concept qui correspond à la taille, c'est-à-dire au nombre d'éléments, d'un ensemble fini) que l'ensemble entier ; de tels cas peuvent aller à l'encontre de l'intuition initiale.
• L'ensemble des nombres rationnels est un sous-ensemble propre de l'ensemble des nombres réels . Dans cet exemple, les deux ensembles sont infinis, mais le dernier ensemble a une cardinalité (ou puissance ) plus grande que le premier.

Un autre exemple dans un diagramme d'Euler :

• 
  A est un sous-ensemble propre de B.
• 
  C est un sous-ensemble mais pas un sous-ensemble propre de B.

L'ensemble de tous les sous-ensembles de est appelé son ensemble de puissance , et est noté .

La relation d'inclusion est un ordre partiel sur l'ensemble défini par . On peut également ordonner partiellement par inclusion inverse de l'ensemble en définissant

Pour l'ensemble des puissances d'un ensemble S , l'ordre partiel d'inclusion est, à un isomorphisme d'ordre près , le produit cartésien de (la cardinalité de S ) copies de l'ordre partiel sur pour lequel Ceci peut être illustré en énumérant , et en associant à chaque sous-ensemble (c'est-à-dire à chaque élément de ) le k -uplet dont la i -ième coordonnée est 1 si et seulement si est un membre de T .

L'ensemble de tous les sous-ensembles de est noté , de manière analogue à la notation des coefficients binomiaux , qui comptent le nombre de sous-ensembles d'un ensemble d'éléments. En théorie des ensembles , la notation est également courante, en particulier lorsque est un nombre cardinal transfini .

• Un ensemble A est un sous-ensemble de B si et seulement si leur intersection est égale à A. Formellement :

• Un ensemble A est un sous-ensemble de B si et seulement si leur union est égale à B. Formellement :

• Un ensemble fini A est un sous-ensemble de B , si et seulement si la cardinalité de leur intersection est égale à la cardinalité de A. Formellement :

• La relation de sous-ensemble définit un ordre partiel sur les ensembles. En fait, les sous-ensembles d'un ensemble donné forment une algèbre booléenne sous la relation de sous-ensemble, dans laquelle la jonction et la rencontre sont données par l'intersection et l'union , et la relation de sous-ensemble elle-même est la relation d'inclusion booléenne .
• L'inclusion est l' ordre partiel canonique , dans le sens où tout ensemble partiellement ordonné est isomorphe à une collection d'ensembles ordonnés par inclusion. Les nombres ordinaux en sont un exemple simple : si chaque ordinal n est identifié à l'ensemble de tous les ordinaux inférieurs ou égaux à n , alors si et seulement si