Diagramme ternaire

Il existe trois méthodes équivalentes qui peuvent être utilisées pour déterminer les valeurs d'un point sur le graphique :

1. Méthode des lignes parallèles ou méthode de la grille . La première méthode consiste à utiliser une grille composée de lignes parallèles aux côtés du triangle. Une parallèle à un côté du triangle représente l'ensemble des points où la composante est constante au sommet opposé à ce côté. Chaque composante vaut 100 % à un sommet du triangle et 0 % au côté opposé, et diminue linéairement avec la distance (perpendiculaire au côté opposé) à partir de ce sommet. En traçant des lignes parallèles à intervalles réguliers entre la ligne d'origine et le sommet, on obtient des divisions précises facilitant l'estimation.
2. Méthode de la perpendiculaire ou de la hauteur . Pour les diagrammes sans quadrillage, la méthode la plus simple pour déterminer les valeurs consiste à calculer les distances les plus courtes (perpendiculaires) entre le point d'intérêt et chacun des trois côtés. D'après le théorème de Viviani , ces distances (ou leurs rapports à la hauteur du triangle ) donnent la valeur de chaque composante.
3. Méthode des angles ou des intersections . Cette troisième méthode ne nécessite pas de tracer de lignes perpendiculaires ou parallèles. On trace des lignes droites depuis chaque angle, passant par le point d'intérêt, jusqu'au côté opposé du triangle. On mesure individuellement la longueur de ces lignes, ainsi que celle des segments reliant le point aux côtés correspondants. Le rapport de ces longueurs donne alors la valeur de la composante, exprimée en fraction de 100 %.

Un déplacement le long d'une ligne parallèle (ligne de la grille) conserve la somme de deux valeurs, tandis qu'un déplacement le long d'une ligne perpendiculaire augmente (ou diminue) les deux valeurs d'une même valeur, chaque augmentation (diminution) étant égale à la moitié de la diminution (augmentation) de la troisième valeur. Un déplacement le long d'une ligne passant par un angle conserve le rapport des deux autres valeurs.

Figure 1. Méthode d'altitude
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  Figure 2. Méthode d'intersection
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  Figure 3. Un exemple de diagramme ternaire, sans aucun point tracé.
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  Figure 4. Un exemple de diagramme ternaire, montrant les incréments le long du premier axe.
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  Figure 5. Un exemple de diagramme ternaire, montrant les incréments le long du deuxième axe.
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  Figure 6. Un exemple de diagramme ternaire, montrant les incréments le long du troisième axe.
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  Figure 7. Diagramme ternaire vide
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  Figure 8. Indication du fonctionnement des trois axes.
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  Graphique triangulaire sans étiquette avec lignes de grille principales
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  Diagramme triangulaire sans étiquette avec lignes de grille principales et secondaires

La figure (1) montre une projection oblique du point espace cartésien tridimensionnel avec les axes et (une constante positive), , et . Si et est restreint au triangle délimité par et par rapport aux lignes et , et .

Pour toute droite sous forme vectorielle ( est un vecteur unitaire) et un point , la distance perpendiculaire de à est

Dans ce cas, le point

La ligne

En utilisant la formule de la distance perpendiculaire,

En substituant ,

Un calcul similaire sur les lignes donne

Cela montre que la distance du point par rapport aux lignes respectives est linéairement proportionnelle aux valeurs originales et celle des axes a et b . La croix désigne le point

Les coordonnées cartésiennes sont utiles pour représenter des points dans un triangle. Considérons un diagramme ternaire équilatéral où est placé en et en est

Cet exemple montre comment cela fonctionne pour un ensemble hypothétique de trois échantillons de sol :

• Diagramme de chromaticité
• diagramme de Finetti
• Intrigue de Dalitz
• Diagramme d'inflammabilité
• Diagramme de Piper , utilisé en hydrochimie
• Diagramme de classification UIGS des roches ultramafiques
• Diagramme de texture du sol de l'USDA par taille de particules
• En finance, la répartition des actifs d'un portefeuille d'investissement peut être représentée par un diagramme ternaire ; par exemple, le diagramme Morningstar X-ray utilise les secteurs Défensif, Sensible et Cyclique, en alternative à un diagramme circulaire.