Disphénoïde

Les disphénoïdes tétragonaux et digonaux peuvent être placés à l'intérieur d'un parallélépipède rectangle bissecteur de deux faces opposées. Tous deux possèdent quatre arêtes égales. Le disphénoïde digonal présente deux paires de faces triangulaires isocèles congruentes , tandis que le disphénoïde tétragonal en possède quatre.

Un disphénoïde rhombique possède des faces triangulaires scalènes congruentes et peut s'insérer en diagonale dans un parallélépipède rectangle . Il possède trois ensembles de longueurs d'arêtes, existant par paires opposées.

En géométrie , un disphénoïde ( en forme de coin » ) est un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles acutangles congruents . On peut également le décrire comme un tétraèdre dont deux arêtes opposées quelconques ont la même longueur. Cette figure est aussi appelée isotétraèdre , sphénoïde , bisphénoïde , tétraèdre isocèle , tétraèdre équifacial , tétraèdre presque régulier , et tétramonoèdre .

Tous les angles solides et les figures des sommets d'un disphénoïde sont identiques, et la somme des angles des faces à chaque sommet est égale à deux angles droits . Cependant, un disphénoïde n'est pas un polyèdre régulier , car, en général, ses faces ne sont pas des polygones réguliers et ses arêtes ont trois longueurs différentes.

Cas particuliers et généralisations

{\displaystyle T_{d </span referrerpolicy=

Il présente une symétrie tétraédrique , bien que l'on ne le désigne généralement pas comme un disphénoïde. Lorsque les faces d'un disphénoïde sont des triangles isocèles , on parle de disphénoïde tétragonal . Dans ce cas, il possède une symétrie tétraédrique.

{\displaystyle D_{2d <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>D</mi><mrow><mn>2</mn><mi>d</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle D_{2d}}</annotation></semantics></math></span><img src=

disphénoïde rhombique et il possède

{\displaystyle D_{2 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>D</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle D_{2}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Il est impossible de construire un disphénoïde dont les faces sont des triangles rectangles ou obtusangles . Lorsque des triangles rectangles sont collés ensemble selon le motif d'un disphénoïde, ils forment une figure plane (un rectangle doublement recouvert) qui ne renferme aucun volume. Lorsque des triangles obtusangles sont collés de cette manière, la surface résultante peut être pliée pour former un disphénoïde (d'après le théorème d'unicité d'Alexandrov ), mais celui-ci possède des faces triangulaires acutangles et des arêtes qui, en général, ne coïncident pas avec les arêtes des triangles obtusangles donnés.

Deux autres types de tétraèdres généralisent le disphénoïde et portent des noms similaires. Le disphénoïde digonal possède des faces de deux formes différentes, toutes deux des triangles isocèles, avec deux faces de chaque forme. Le disphénoïde phyllique possède également des faces de deux formes de triangles scalènes.

Les disphénoïdes peuvent également être considérés comme des antiprismes digonaux ou comme des prismes quadrilatéraux alternés .

Caractérisations

Un tétraèdre est un disphénoïde si et seulement si son parallélépipède circonscrit est rectangle.

Nous avons également qu'un tétraèdre est un disphénoïde si et seulement si son centre dans la sphère circonscrite et dans la sphère inscrite coïncident.

Une autre caractérisation stipule que si ${\displaystyle d_{1 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>d</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d_{1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d_{2 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d_{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d_{3 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>d</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d_{3}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle AB <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mi>B</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle AB}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle CD <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi><mi>D</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle CD}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle AC <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle AC}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle BD <semantics><mrow><mstyle><mi>B</mi><mi>D</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle BD}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle AD <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mi>D</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle AD}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle BC <semantics><mrow><mstyle><mi>B</mi><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle BC}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle ABCD <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle ABCD}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d_{1 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>d</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d_{1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d_{2 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d_{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d_{3 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>d</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d_{3}}</annotation></semantics></math><img src=$

Les disphénoïdes sont les seuls polyèdres possédant une infinité de géodésiques fermées non auto-intersectantes . Sur un disphénoïde, toutes les géodésiques fermées ne sont pas auto-intersectantes.

Les disphénoïdes sont les tétraèdres dont les quatre faces ont le même périmètre , les tétraèdres dont les quatre faces ont la même aire et les tétraèdres dont les défauts angulaires des quatre sommets sont égaux. ${\displaystyle \pi <semantics><mrow><mstyle><mi>π</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \pi }</annotation></semantics></math><img src=$

Formules métriques

Le volume d'un disphénoïde dont les côtés opposés ont une longueur ${\displaystyle l <semantics><mrow><mstyle><mi>l</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle l}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle m <semantics><mrow><mstyle><mi>m</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle m}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle V={\sqrt {\frac {(l^{2}+m^{2}-n^{2})(l^{2}-m^{2}+n^{2})(-l^{2}+m^{2}+n^{2})}{72}}}. <semantics><mrow><mstyle><mi>V</mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mrow><mo>(</mo><msup><mi>l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>(</mo><msup><mi>l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><msup><mi>l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mn>72</mn></mfrac></msqrt></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V={\sqrt {\frac {(l^{2}+m^{2}-n^{2})(l^{2}-m^{2}+n^{2})(-l^{2}+m^{2}+n^{2})}{72}}}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

La sphère circonscrite a pour rayon (le rayon circonscrit)

{\displaystyle R={\sqrt {\frac {l^{2}+m^{2}+n^{2}}{8}}}, <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mrow><msup><mi>l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mn>8</mn></mfrac></msqrt></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R={\sqrt {\frac {l^{2}+m^{2}+n^{2}}{8}}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

et la sphère inscrite a un rayon

{\displaystyle r={\frac {3V}{4T}}, <semantics><mrow><mstyle><mi>r</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>4</mn><mi>T</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r={\frac {3V}{4T}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle V <semantics><mrow><mstyle><mi>V</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T <semantics><mrow><mstyle><mi>T</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle 16T^{2}R^{2}=l^{2}m^{2}n^{2}+9V^{2}. <semantics><mrow><mstyle><mn>16</mn><msup><mi>T</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>9</mn><msup><mi>V</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 16T^{2}R^{2}=l^{2}m^{2}n^{2}+9V^{2}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Les carrés des longueurs des bimédianes sont

{\displaystyle { frac {1}{2}}(l^{2}+m^{2}-n^{2}),\quad { frac {1}{2}}(l^{2}-m^{2}+n^{2}),\quad { frac {1}{2}}(-l^{2}+m^{2}+n^{2}). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo>(</mo><msup><mi>l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>,</mo><mspace></mspace><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo>(</mo><msup><mi>l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>,</mo><mspace></mspace><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><msup><mi>l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { frac {1}{2}}(l^{2}+m^{2}-n^{2}),\quad { frac {1}{2}}(l^{2}-m^{2}+n^{2}),\quad { frac {1}{2}}(-l^{2}+m^{2}+n^{2}).}</annotation></semantics></math></span><img src=

Autres propriétés

Si les quatre faces d'un tétraèdre ont le même périmètre, alors le tétraèdre est un disphénoïde.

Si les quatre faces d'un tétraèdre ont la même aire, alors il s'agit d'un disphénoïde.

Les centres des sphères circonscrite et inscrite coïncident avec le centroïde du disphénoïde.

Les bimédianes sont perpendiculaires aux bords qu'elles relient et entre elles.

nids d'abeilles et cristaux

Certains disphénoïdes tétragonaux forment des structures en nid d'abeilles . Le disphénoïde dont les quatre sommets sont ${\displaystyle (-1,0,0) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (-1,0,0)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (1,0,0) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (1,0,0)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (0,1,1) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (0,1,1)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (0,1,-1) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (0,1,-1)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\sqrt {3 <semantics><mrow><mstyle><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\sqrt {3}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\sqrt {3 <semantics><mrow><mstyle><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\sqrt {3}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 2 <semantics><mrow><mstyle><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 2}</annotation></semantics></math><img src=$

Le terme « disphénoïde » est également utilisé pour décrire deux formes de cristal :

Forme cristalline en forme de coin du système tétragonal ou orthorhombique . Elle possède quatre faces triangulaires identiques, dont la position correspond à celle des faces alternées de la dipyramide tétragonale ou orthorhombique . Elle présente une symétrie par rapport à chacun des trois axes de symétrie diadiques mutuellement perpendiculaires, sauf pour la forme tétragonale-disphénoïdale, où elle est engendrée par un axe de symétrie tétradique inverse.
Une forme cristalline délimitée par huit triangles scalènes disposés par paires, constituant un scalénoèdre tétragonal .

Autres utilisations

Six disphénoïdes tétragonaux, accolés bout à bout en un anneau, forment un kaléidocycle , un jouet en papier qui peut pivoter sur quatre faces hexagonales. La rotation des six disphénoïdes dont les côtés opposés ont une longueur ${\displaystyle l <semantics><mrow><mstyle><mi>l</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle l}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle m <semantics><mrow><mstyle><mi>m</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle m}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n\leq l <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>≤</mo><mi>l</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n\leq l}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n\leq m <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>≤</mo><mi>m</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n\leq m}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle -8(l^{2}-m^{2})^{2}(l^{2}+m^{2})-5n^{6}+11(l^{2}-m^{2})^{2}n^{2}+2(l^{2}+m^{2})n^{4}\geq 0. <semantics><mrow><mstyle><mo>−</mo><mn>8</mn><mo>(</mo><msup><mi>l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>(</mo><msup><mi>l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>5</mn><msup><mi>n</mi><mrow><mn>6</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>11</mn><mo>(</mo><msup><mi>l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>(</mo><msup><mi>l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><msup><mi>n</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>≥</mo><mn>0.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle -8(l^{2}-m^{2})^{2}(l^{2}+m^{2})-5n^{6}+11(l^{2}-m^{2})^{2}n^{2}+2(l^{2}+m^{2})n^{4}\geq 0.}</annotation></semantics></math></span><img src=