Opérateur Toeplitz

En théorie des opérateurs , un opérateur de Toeplitz est la compression d'un opérateur de multiplication sur le cercle à l' espace de Hardy .

Détails

Laisser ${\displaystyle S^{1 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>S</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S^{1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle L^{2}(S^{1}) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>(</mo><msup><mi>S</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L^{2}(S^{1})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S^{1 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>S</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S^{1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle M_{g <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>M</mi><mrow><mi>g</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M_{g}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle L^{2}(S^{1}) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>(</mo><msup><mi>S</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L^{2}(S^{1})}</annotation></semantics></math><img src=$ . Laisser ${\displaystyle P <semantics><mrow><mstyle><mi>P</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle P}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle L^{2}(S^{1}) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>(</mo><msup><mi>S</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L^{2}(S^{1})}</annotation></semantics></math><img src=$ sur l' espace Hardy ${\displaystyle H^{2 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>H</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ opérateur de Toeplitz avec le symbole ${\displaystyle g <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g}</annotation></semantics></math><img src=$ est défini par

{\displaystyle T_{g}=PM_{g}\vert _{H^{2}}, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>T</mi><mrow><mi>g</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>P</mi><msub><mi>M</mi><mrow><mi>g</mi></mrow></msub><msub><mo>|</mo><mrow><msup><mi>H</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msub><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T_{g}=PM_{g}\vert _{H^{2}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

où « | » signifie restriction.

Un opérateur borné sur ${\displaystyle H^{2 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>H</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \{z^{n},z\in \mathbb {C} ,n\geq 0\ <semantics><mrow><mstyle><mo>{</mo><msup><mi>z</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi>z</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\ displaystyle \ {z ^ {n}, z \ in \ mathbb {C}, n \ geq 0 \}}</annotation></semantics></math><img src=$

Théorèmes

Théorème : Si ${\displaystyle g <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T_{g}-\lambda <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>T</mi><mrow><mi>g</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mi>λ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T_{g}-\lambda }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \lambda <semantics><mrow><mstyle><mi>λ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lambda }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g(S^{1}) <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi><mo>(</mo><msup><mi>S</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g(S^{1})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour une démonstration, voir , p. 185) . Il attribue le théorème à Mark Krein , Harold Widom et Allen Devinatz. On peut le considérer comme un cas particulier important du théorème de l’indice d’Atiyah-Singer .

Théorème d'Axler - Chang - Sarason : L'opérateur ${\displaystyle T_{f}T_{g}-T_{fg <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>T</mi><mrow><mi>f</mi></mrow></msub><msub><mi>T</mi><mrow><mi>g</mi></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>T</mi><mrow><mi>f</mi><mi>g</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T_{f}T_{g}-T_{fg}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle H^{\infty }[{\bar {f}}]\cap H^{\infty }[g]\subseteq H^{\infty }+C^{0}(S^{1}) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>H</mi><mrow><mi>∞</mi></mrow></msup><mo>[</mo><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>]</mo><mo>∩</mo><msup><mi>H</mi><mrow><mi>∞</mi></mrow></msup><mo>[</mo><mi>g</mi><mo>]</mo><mo>⊆</mo><msup><mi>H</mi><mrow><mi>∞</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>C</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>(</mo><msup><mi>S</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H^{\infty }[{\bar {f}}]\cap H^{\infty }[g]\subseteq H^{\infty }+C^{0}(S^{1})}</annotation></semantics></math><img src=$

Ici, ${\displaystyle H^{\infty <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>H</mi><mrow><mi>∞</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H^{\infty }}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle L^{\infty }(S^{1}) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>L</mi><mrow><mi>∞</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msup><mi>S</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle L ^ { infty} (S ^ {1})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle H^{\infty }[f] <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>H</mi><mrow><mi>∞</mi></mrow></msup><mo>[</mo><mi>f</mi><mo>]</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle H ^ { infty} [f]}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle L^{\infty }(S^{1}) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>L</mi><mrow><mi>∞</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msup><mi>S</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle L ^ { infty} (S ^ {1})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle H^{\infty <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>H</mi><mrow><mi>∞</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H^{\infty }}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle C^{0}(S^{1}) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>C</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>(</mo><msup><mi>S</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C^{0}(S^{1})}</annotation></semantics></math><img src=$