Opérateur de multiplication

défini sur un certain espace vectoriel de fonctions et dont la valeur en une fonction . C'est-à-dire,

{\displaystyle T_{f}\varphi (x)=f(x)\varphi (x)\quad <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>T</mi><mrow><mi>f</mi></mrow></msub><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T_{f}\varphi (x)=f(x)\varphi (x)\quad }</annotation></semantics></math></span><img src=

Propriétés

Un opérateur de multiplication ${\displaystyle T_{f <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>T</mi><mrow><mi>f</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T_{f}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle L^{2}(X) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L^{2}(X)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sigma <mrow><mstyle><mi>σ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sigma }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mi>f</mi><msub><mo>‖</mo><mrow><mi>∞</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|f\|_{\infty }}</annotation></semantics></math><img src=$
L' adjoint d'un opérateur de multiplication ${\displaystyle T_{f <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>T</mi><mrow><mi>f</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T_{f}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T_{\overline {f <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>T</mi><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T_{\overline {f}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\overline {f <semantics><mrow><mstyle><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overline {f}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T_{f </span referrerpolicy=$ est auto-adjointe si et seulement si ${\displaystyle T_{f <mrow><mstyle><msub><mi>T</mi><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>f</mi><mo>−</mo><mi>λ</mi></mrow></mfrac></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T_{\frac {1}{f-\lambda }}.}</annotation></semantics></math><img src=$
Deux opérateurs de multiplication bornés ${\displaystyle T_{f <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>T</mi><mrow><mi>f</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T_{f}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T_{g <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>T</mi><mrow><mi>g</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T_{g}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle L^{2 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$

Exemple

Considérons l' espace de Hilbert fonctions complexes carré intégrable sur l' intervalle −1, 3 ] . Avec , définissons l'opérateur ${\displaystyle T_{f}\varphi (x)=x^{2}\varphi (x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>T</mi><mrow><mi>f</mi></mrow></msub><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T_{f}\varphi (x)=x^{2}\varphi (x)}</annotation></semantics></math><img src=$ (l' image de la fonction définie sur . En effet, pour tout nombre complexe est donné par ${\displaystyle (T_{f}-\lambda )(\varphi )(x)=(x^{2}-\lambda )\varphi (x). <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>T</mi><mrow><mi>f</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mi>λ</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>φ</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mi>λ</mi><mo>)</mo><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (T_{f}-\lambda )(\varphi )(x)=(x^{2}-\lambda )\varphi (x).}</annotation></semantics></math><img src=$

Elle est inversible si et seulement si 0, 9 ] , et alors son inverse est ${\displaystyle (T_{f}-\lambda )^{-1}(\varphi )(x)={\frac {1}{x^{2}-\lambda }}\varphi (x), <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>T</mi><mrow><mi>f</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mi>λ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>φ</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mi>λ</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (T_{f}-\lambda )^{-1}(\varphi )(x)={\frac {1}{x^{2}-\lambda }}\varphi (x),}</annotation></semantics></math><img src=$

Cet exemple peut être facilement généralisé pour caractériser la norme et le spectre d'un opérateur de multiplication sur n'importe quel espace L ^p .