Gamme Essentielle

En mathématiques , et en particulier en théorie de la mesure , le domaine essentiel , ou l'ensemble des valeurs essentielles , d'une fonction est intuitivement le domaine « non négligeable » de la fonction : il ne change pas entre deux fonctions qui sont presque partout égales . Une façon de concevoir le domaine essentiel d'une fonction est l' ensemble sur lequel le domaine de la fonction est « concentré ».

Soit un espace de mesure et soit un espace topologique . Pour une fonction mesurable , on dit que le domaine essentiel de signifie l'ensemble

De manière équivalente, , où est la mesure de poussée vers l'avant sur de sous et désigne le support de

L'expression « valeur essentielle de » est parfois utilisée pour désigner un élément de la gamme essentielle de

Say est doté de sa topologie habituelle. Alors le domaine essentiel de f est donné par

0}:0<\mu \{x\in X:|f(x)-z|<\varepsilon \} ight\}.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc8b058905c097875d480bf959e36b846d400f1">

En d'autres termes : l'étendue essentielle d'une fonction à valeurs complexes est l'ensemble de tous les nombres complexes z tels que l'image inverse de chaque voisinage ε de z sous f ait une mesure positive.

Disons que f est discret , c'est-à-dire qu'il est l' ensemble des puissances de ie, la topologie discrète sur Alors le domaine essentiel de f est l'ensemble des valeurs y dans Y de mesure strictement positive :

• Le domaine essentiel d'une fonction mesurable, étant le support d'une mesure , est toujours fermé.
• La portée essentielle ess.im(f) d'une fonction mesurable est toujours un sous-ensemble de .
• L'image essentielle ne peut pas être utilisée pour distinguer des fonctions qui sont presque partout égales : Si - est vrai presque partout , alors .
• Ces deux faits caractérisent l'image essentielle : C'est le plus grand ensemble contenu dans les fermetures de pour tout g qui sont ae égaux à f :

• La gamme essentielle satisfait .
• Ce fait caractérise l'image essentielle : c'est le plus petit sous-ensemble fermé de possédant cette propriété.
• Le supremum essentiel d'une fonction à valeurs réelles est égal au supremum de son image essentielle et l'infimum essentiel est égal à l'infimum de son domaine essentiel. Par conséquent, une fonction est essentiellement bornée si et seulement si son domaine essentiel est borné.
• L'étendue essentielle d'une fonction essentiellement bornée f est égale au spectre où f est considérée comme un élément de l' algèbre C* .

• Si est la mesure zéro, alors l'image essentielle de toutes les fonctions mesurables est vide.
• Cela illustre également que même si la portée essentielle d’une fonction est un sous-ensemble de la fermeture de la portée de cette fonction, l’égalité des deux ensembles n’est pas nécessairement respectée.
• Si est ouvert, continu et de mesure de Lebesgue , alors est vrai. Ceci est vrai plus généralement pour toutes les mesures boréliennes qui attribuent une mesure non nulle à tout ouvert non vide.

La notion de domaine essentiel peut être étendue au cas de , où est un espace métrique séparable . Si et sont des variétés différentiables de même dimension, si VMO et si , alors .