Coefficient de transmission

Une onde électromagnétique (ou toute autre onde) subit une transmittance partielle et une réflectance partielle lorsque le milieu dans lequel elle se déplace change soudainement.

Le coefficient de transmission est utilisé en physique et en génie électrique lorsqu'on étudie la propagation d'une onde dans un milieu contenant des discontinuités . Un coefficient de transmission décrit l'amplitude, l'intensité ou la puissance totale d'une onde transmise par rapport à une onde incidente.

Aperçu

Différents domaines d'application ont des définitions différentes du terme. Toutes les significations sont très similaires dans leur concept : en chimie , le coefficient de transmission se réfère à une réaction chimique surmontant une barrière de potentiel ; en optique et en télécommunications, il s'agit de l'amplitude d'une onde transmise à travers un milieu ou un conducteur par rapport à celle de l'onde incidente ; en mécanique quantique, il est utilisé pour décrire le comportement des ondes incidentes sur une barrière, d'une manière similaire à l'optique et aux télécommunications .

Bien que conceptuellement identiques, les détails de chaque domaine diffèrent et, dans certains cas, les termes ne constituent pas une analogie exacte.

Chimie

En chimie , en particulier dans la théorie des états de transition , il existe un certain « coefficient de transmission » pour franchir une barrière de potentiel. Il est (souvent) considéré comme égal à 1 pour les réactions monomoléculaires. Il apparaît dans l' équation d'Eyring .

Optique

En optique , la transmission est la propriété d'une substance de permettre le passage de la lumière, une partie ou la totalité de la lumière incidente étant absorbée au cours du processus. Si une partie de la lumière est absorbée par la substance, la lumière transmise sera une combinaison des longueurs d'onde de la lumière transmise et non absorbée. Par exemple, un filtre à lumière bleue apparaît bleu car il absorbe les longueurs d'onde rouges et vertes. Si de la lumière blanche traverse le filtre, la lumière transmise apparaît également bleue en raison de l'absorption des longueurs d'onde rouges et vertes.

Le coefficient de transmission est une mesure de la quantité d' onde électromagnétique ( lumière ) qui traverse une surface ou un élément optique. Les coefficients de transmission peuvent être calculés soit pour l' amplitude , soit pour l' intensité de l'onde. L'un ou l'autre est calculé en prenant le rapport entre la valeur après la surface ou l'élément et la valeur avant. Le coefficient de transmission pour la puissance totale est généralement le même que le coefficient pour l'intensité.

Télécommunications

En télécommunication , le coefficient de transmission est le rapport entre l'amplitude de l'onde complexe transmise et celle de l'onde incidente au niveau d'une discontinuité de la ligne de transmission .

Considérons une onde se propageant dans une ligne de transmission avec un palier d'impédance de à . Lorsque l'onde passe par le palier d'impédance, une partie de l'onde sera réfléchie vers la source. Étant donné que la tension sur une ligne de transmission est toujours la somme des ondes directes et réfléchies à ce point, si l'amplitude de l'onde incidente est de 1 et celle de l'onde réfléchie de , alors l'amplitude de l'onde directe doit être la somme des deux ondes ou . ${\displaystyle Z_{\mathrm {A} <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle Z_ { mathrm {A} }}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Z_{\mathrm {B} <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle Z_ { mathrm {B} }}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Gamma <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Gamma }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Gamma <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Gamma }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (1+\Gamma ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (1+\Gamma )}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La valeur de est déterminée de manière unique à partir des premiers principes en notant que la puissance incidente sur la discontinuité doit être égale à la somme de la puissance des ondes réfléchies et transmises : ${\displaystyle \Gamma <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Gamma }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {1 \over Z_{\mathrm {A} }}={{\Gamma ^{2} \over Z_{\mathrm {A} }}+{(1+\Gamma )^{2} \over Z_{\mathrm {B} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>g</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {1 \over Z_{\mathrm {A} }}={{\Gamma ^{2} \over Z_{\mathrm {A} }}+{(1+\Gamma )^{2} \over Z_ {\ mathrm {B} }}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La résolution de l'équation quadratique conduit à la fois au coefficient de réflexion : ${\displaystyle \Gamma <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Gamma }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\Gamma ={{Z_{\mathrm {B} }-Z_{\mathrm {A} }} \over {Z_{\mathrm {B} }+Z_{\mathrm {A} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\Gamma ={{Z_{\mathrm {B} }-Z_{\mathrm {A} }} \over {Z_{\mathrm {B} }+Z_{\mathrm {A} }}}} }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et au coefficient de transmission :

{\displaystyle {{1+\Gamma }={{2Z_{\mathrm {B} }} \over {Z_{\mathrm {B} }+Z_{\mathrm {A} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>g</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {{1+\Gamma }={{2Z_{\mathrm {B} }} \over {Z_{\mathrm {B} }+Z_{\mathrm {A} }}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La probabilité qu'une partie d'un système de communication , telle qu'une ligne, un circuit , un canal ou une liaison , réponde à des critères de performance spécifiés est également parfois appelée « coefficient de transmission » de cette partie du système. La valeur du coefficient de transmission est inversement proportionnelle à la qualité de la ligne, du circuit, du canal ou de la liaison.

Mécanique quantique

En mécanique quantique non relativiste , le coefficient de transmission et le coefficient de réflexion associé sont utilisés pour décrire le comportement des ondes incidentes sur une barrière. Le coefficient de transmission représente le flux de probabilité de l'onde transmise par rapport à celui de l'onde incidente. Ce coefficient est souvent utilisé pour décrire la probabilité qu'une particule traverse une barrière.

Le coefficient de transmission est défini en fonction de la densité de courant de probabilité incidente et transmise J selon :

{\displaystyle T={\frac {{\vec {J}}_{\mathrm {trans} }\cdot {\hat {n}}}{{\vec {J}}_{\mathrm {inc} }\cdot {\hat {n}}}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mi>l</mi> <mi>un</mi> <mi>n</mi> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>je</mi> <mi>n</mi> <mi>c</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T={\frac {{\vec {J}}_{\mathrm {trans} }\cdot {\hat {n}}}{{\vec {J}}_{\mathrm {inc} }\cdot {\hat {n}}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est le courant de probabilité dans l'onde incidente sur la barrière avec le vecteur unitaire normal et est le courant de probabilité dans l'onde s'éloignant de la barrière de l'autre côté. ${\displaystyle {\vec {J}}_{\mathrm {inc} <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>je</mi> <mi>n</mi> <mi>c</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {J}}_{\mathrm {inc} }}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\hat {n <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\hat {n}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\vec {J}}_{\mathrm {trans} <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mi>l</mi> <mi>un</mi> <mi>n</mi> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { vec {J}} _ { mathrm {trans} }}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le coefficient de réflexion R est défini de manière analogue :

{\displaystyle R={\frac {{\vec {J}}_{\mathrm {refl} }\cdot \left(-{\hat {n}} ight)}{{\vec {J}}_{\mathrm {inc} }\cdot {\hat {n}}}}={\frac {|J_{\mathrm {refl} }|}{|J_{\mathrm {inc} }| <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>l</mi> <mi>et</mi> <mi>f</mi> <mi>l</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>je</mi> <mi>n</mi> <mi>c</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <mrow> <mi>l</mi> <mi>et</mi> <mi>f</mi> <mi>l</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <mrow> <mi>je</mi> <mi>n</mi> <mi>c</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R={\frac {{\vec {J}}_{\mathrm {refl} }\cdot \gauche(-{\hat {n}}\droite)}{{\vec {J}}_{\mathrm {inc} }\cdot {\hat {n}}}}={\frac {|J_{\mathrm {refl} }|}{|J_{\mathrm {inc} }|}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La loi de probabilité totale exige que , ce qui, dans une dimension, se réduit au fait que la somme des courants transmis et réfléchis est égale en intensité au courant incident. ${\displaystyle T+R=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T+R=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pour des exemples de calculs, voir barrière de potentiel rectangulaire .

Approximation WKB

En utilisant l'approximation WKB, on peut obtenir un coefficient de tunnel qui ressemble à

{\displaystyle T={\frac {\displaystyle \exp \left(-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E ight)}}\, ight)}{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{4}}\exp \left(-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E ight)}}\, ight) ight)^{2}}}\ , <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mstyle> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mrow> <msqrt> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> <msup> <mi>ℏ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>V</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> <mspace></mspace> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> <mstyle> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mrow> <msqrt> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> <msup> <mi>ℏ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>V</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> <mspace></mspace> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mfrac> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T={\frac {\displaystyle \exp \gauche(-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\gauche(V(x)-E\droite)}}\,\droite)}{\displaystyle \gauche(1+{\frac {1}{4}}\exp \gauche(-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\gauche(V(x)-E\droite)}}\,\droite)\droite)^{2}}}\ ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où sont les deux points de retournement classiques pour la barrière de potentiel. Dans la limite classique de tous les autres paramètres physiques bien plus grands que la constante de Planck réduite , notée , le coefficient de transmission tend vers zéro. Cette limite classique aurait échoué dans la situation d'un potentiel carré . ${\displaystyle x_{1},\,x_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{1},\,x_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \hbar ightarrow 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ℏ</mi> <mo>→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \hbar ightarrow 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si le coefficient de transmission est bien inférieur à 1, il peut être approximé avec la formule suivante :

{\displaystyle T\approx 16{\frac {E}{U_{0}}}\left(1-{\frac {E}{U_{0}}} ight)\exp \left(-2L{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(U_{0}-E)}} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>≈</mo> <mn>16</mn> <mrow> <mfrac> <mi>E</mi> <msub> <mi>Tu</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>E</mi> <msub> <mi>Tu</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>L</mi> <mrow> <msqrt> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> <msup> <mi>ℏ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Tu</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>E</mi> <mo>)</mo> </msqrt> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T\environ 16{\frac {E}{U_{0}}}\gauche(1-{\frac {E}{U_{0}}}\droite)\exp \gauche(-2L{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(U_{0}-E)}}\droite)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est la longueur du potentiel de barrière. ${\displaystyle L=x_{2}-x_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$