Tuple

En mathématiques , un tuple est une suite finie ou une liste ordonnée de nombres ou, plus généralement, d'objets mathématiques , qui sont appelés les éléments du tuple. Un n -tuple est un tuple de n éléments, où n est un entier non négatif . Il n'existe qu'un seul 0-tuple, appelé tuple vide . Un 1-tuple et un 2-tuple sont communément appelés respectivement singleton et paire ordonnée . Le terme « tuple infini » est parfois utilisé pour les « suites infinies » .

Les tuples sont généralement écrits en listant les éléments entre parenthèses « ( ) » et séparés par des virgules ; par exemple, (2, 7, 4, 1, 7) désigne un tuple de 5. D'autres types de crochets sont parfois utilisés, bien qu'ils puissent avoir une signification différente.

Un n -uplet peut être formellement défini comme l' image d'une fonction ayant pour domaine de définition l'ensemble des n premiers entiers naturels . Les n-uplets peuvent aussi être définis à partir de couples ordonnés par une récurrence partant de couples ordonnés ; en effet, un n -uplet peut être identifié au couple ordonné de ses ( n − 1) premiers éléments et de son n ième élément.

En informatique , les tuples se présentent sous de nombreuses formes. La plupart des langages de programmation fonctionnelle typés implémentent les tuples directement en tant que types de produits , étroitement associés aux types de données algébriques , à la correspondance de motifs et à l'affectation de déstructuration . De nombreux langages de programmation offrent une alternative aux tuples, connus sous le nom de types d'enregistrement , comportant des éléments non ordonnés accessibles par une étiquette. Quelques langages de programmation combinent des types de produits de tuples ordonnés et des types d'enregistrements non ordonnés en une seule construction, comme dans les structures C et les enregistrements Haskell. Les bases de données relationnelles peuvent identifier formellement leurs lignes (enregistrements) comme des tuples .

Les tuples apparaissent également en algèbre relationnelle ; lors de la programmation du Web sémantique avec le Resource Description Framework (RDF) ; en linguistique ; et en philosophie .

Le terme est né d'une abstraction de la séquence : simple, couple/double, triple, quadruple, quintuple, sextuple, septuple, octuple, ..., n -tuple, ..., où les préfixes sont tirés des noms latins des nombres. Le 0-tuple unique est appelé tuple nul ou tuple vide . Un 1-tuple est appelé simple (ou singleton ), un 2-tuple est appelé paire ordonnée ou couple et un 3-tuple est appelé triple (ou triplet ). Le nombre n peut être n'importe quel entier non négatif . Par exemple, un nombre complexe peut être représenté comme un 2-tuple de réels, un quaternion peut être représenté comme un 4-tuple, un octonion peut être représenté comme un 8-tuple et un sédénion peut être représenté comme un 16-tuple.

Bien que ces usages traitent ‑uple comme suffixe, le suffixe original était ‑ple comme dans « triple » (trois fois) ou « décuple » (dix fois). Cela provient du latin médiéval plus (qui signifie « plus ») lié au grec ‑πλοῦς, qui a remplacé le ‑plex classique et tardif de l'Antiquité (qui signifie « plié »), comme dans « duplex ».

La règle générale pour l'identité de deux n -uplets est

Ainsi un tuple possède des propriétés qui le distinguent d'un ensemble :

1. Un tuple peut contenir plusieurs instances du même élément, donc
   tuple ; mais set .
2. Les éléments de tuple sont ordonnés : tuple , mais set .
3. Un tuple possède un nombre fini d'éléments, tandis qu'un ensemble ou un multi-ensemble peut posséder un nombre infini d'éléments.

Il existe plusieurs définitions des tuples qui leur confèrent les propriétés décrites dans la section précédente.

Le -tuple peut être identifié comme la fonction vide . Car le -tuple peut être identifié avec la fonction ( surjective )

avec domaine

et avec codomaine

qui est défini par

C'est-à-dire, la fonction est définie par

dans ce cas l'égalité

est nécessairement valable.

Tuples en tant qu'ensembles de paires ordonnées

Les fonctions sont généralement identifiées à leurs graphes , qui sont un certain ensemble de paires ordonnées. En effet, de nombreux auteurs utilisent les graphes comme définition d'une fonction. En utilisant cette définition de « fonction », la fonction ci-dessus peut être définie comme :

Une autre façon de modéliser les tuples en théorie des ensembles est de les considérer comme des paires ordonnées imbriquées . Cette approche suppose que la notion de paire ordonnée a déjà été définie.

1. Le 0-tuple (c'est-à-dire le tuple vide) est représenté par l'ensemble vide .
2. Un n -uplet, avec n > 0 , peut être défini comme une paire ordonnée de sa première entrée et d'un ( n − 1) -uplet (qui contient les entrées restantes lorsque n > 1) :

Cette définition peut être appliquée de manière récursive au ( n − 1) -uplet :

Ainsi, par exemple :

Une variante de cette définition commence à « décoller » les éléments de l’autre extrémité :

1. Le 0-uplet est l'ensemble vide .
2. Pour n > 0 :

Cette définition peut être appliquée de manière récursive :

Ainsi, par exemple :

En utilisant la représentation de Kuratowski pour une paire ordonnée , la deuxième définition ci-dessus peut être reformulée en termes de théorie pure des ensembles :

1. Le 0-tuple (c'est-à-dire le tuple vide) est représenté par l'ensemble vide ;
2. Soit un n -uplet , et soit . Alors, . (La flèche droite, , pourrait être lue comme « joint à ».)

Dans cette formulation :

En mathématiques discrètes , en particulier en combinatoire et en théorie des probabilités finies , les n -uplets apparaissent dans le contexte de divers problèmes de comptage et sont traités de manière plus informelle comme des listes ordonnées de longueur n . Les n -uplets dont les entrées proviennent d'un ensemble de m éléments sont également appelés arrangements avec répétition , permutations d'un multiensemble et, dans certaines littératures non anglophones, variations avec répétition . Le nombre de n -uplets d'un m -ensemble est m ⁿ . Cela découle de la règle combinatoire du produit . Si S est un ensemble fini de cardinalité m , ce nombre est la cardinalité de la puissance cartésienne n- fois S × S × ⋯ × S . Les tuples sont des éléments de cet ensemble produit.

Dans la théorie des types , couramment utilisée dans les langages de programmation , un tuple possède un type de produit ; cela fixe non seulement la longueur, mais aussi les types sous-jacents de chaque composant. Formellement :

et les projections sont des constructeurs de termes :

Le tuple avec des éléments étiquetés utilisé dans le modèle relationnel a un type d'enregistrement . Ces deux types peuvent être définis comme des extensions simples du calcul lambda simplement typé .

La notion de tuple en théorie des types et celle en théorie des ensembles sont liées de la manière suivante : Si l'on considère le modèle naturel d'une théorie des types, et que l'on utilise les crochets de Scott pour indiquer l'interprétation sémantique, alors le modèle est constitué de certains ensembles (remarque : l'utilisation de l'italique ici distingue les ensembles des types) tels que :

et l'interprétation des termes de base est :

Le n -uplet de la théorie des types a l'interprétation naturelle d'un n -uplet de la théorie des ensembles :

Le type d'unité a comme interprétation sémantique le 0-tuple.