Transformation en ondelettes

En mathématiques , une série d'ondelettes est la représentation d'une fonction de carré intégrable ( à valeurs réelles ou complexes ) par une série orthonormale générée par une ondelette . Cet article propose une définition mathématique formelle d'une ondelette orthonormale et de la transformée intégrale en ondelettes .

Définition

Une fonction ${\displaystyle \psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} ) <semantics><mrow><mstyle><mi>ψ</mi><mspace></mspace><mo>∈</mo><mspace></mspace><msup><mi>L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )}</annotation></semantics></math><img src=$ ondelette orthonormale si elle peut être utilisée pour définir une base de Hilbert , c'est-à-dire un système orthonormal complet pour l' espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable sur la droite réelle.

La base de Hilbert est construite comme la famille de fonctions ${\displaystyle \{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \ <semantics><mrow><mstyle><mo>{</mo><msub><mi>ψ</mi><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>:</mo><mspace></mspace><mi>j</mi><mo>,</mo><mspace></mspace><mi>k</mi><mspace></mspace><mo>∈</mo><mspace></mspace><mrow><mi>Z</mi></mrow><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \psi \, <semantics><mrow><mstyle><mi>ψ</mi><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \psi \,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}x-k ight), <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ψ</mi><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mfrac><mi>j</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup><mi>ψ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}xk ight),}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} <semantics><mrow><mstyle><mi>j</mi><mo>,</mo><mspace></mspace><mi>k</mi><mspace></mspace><mo>∈</mo><mspace></mspace><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} }</annotation></semantics></math><img src=$

Si, selon le produit intérieur standard sur ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} ight) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \langle f,g angle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx, <semantics><mrow><mstyle><mo>⟨</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>g</mi><mo>⟩</mo><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mrow><mover><mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \langle f,g angle =\int _{-\infty }^{\infty}f(x){\overline {g(x)}}dx,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm} angle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx,\\&=\delta _{jl}\delta _{km},\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mo>⟨</mo><msub><mi>ψ</mi><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>ψ</mi><mrow><mi>l</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>⟩</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msub><mi>ψ</mi><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mrow><mover><mrow><msub><mi>ψ</mi><mrow><mi>l</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>j</mi><mi>l</mi></mrow></msub><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>k</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm} angle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx,\\&=\delta _{jl}\delta _{km},\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta _{jl}\, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>j</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta _{jl}\,}</annotation></semantics></math><img src=$

La complétude est satisfaite si chaque fonction ${\displaystyle f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mspace></mspace><mo>∈</mo><mspace></mspace><msup><mi>L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>c</mi><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mi>ψ</mi><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)}</annotation></semantics></math></span><img src=

la convergence de la série étant entendue comme une convergence en norme . Une telle représentation de ${\displaystyle f <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math><img src=$ série d'ondelettes . Cela implique qu'une ondelette orthonormée est auto-duale .

La transformée en ondelettes intégrale est la transformée intégrale définie comme ${\displaystyle \left[W_{\psi }f ight](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}} ight)}}f(x)dx\, <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>[</mo><mrow><msub><mi>W</mi><mrow><mi>ψ</mi></mrow></msub><mi>f</mi></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>(</mo><mi>un</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>un</mi><mrow><mo>|</mo></mrow></msqrt></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mover><mrow><mi>ψ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>b</mi></mrow><mi>un</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left[W_{\psi }f ight](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}} ight)}}f(x)dx\,}</annotation></semantics></math><img src=$ coefficients d'ondelettes ${\displaystyle c_{jk <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>c</mi><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c_{jk}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle c_{jk}=\left[W_{\psi }f ight]\left(2^{-j},k2^{-j} ight) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>c</mi><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><msub><mi>W</mi><mrow><mi>ψ</mi></mrow></msub><mi>f</mi></mrow><mo>]</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi>k</mi><msup><mn>2</mn><mrow><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c_{jk}=\left[W_{\psi }f ight]\left(2^{-j},k2^{-j} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

Ici, ${\displaystyle a=2^{-j <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a=2^{-j}}</annotation></semantics></math><img src=$ dilatation binaire ou dilatation dyadique , et ${\displaystyle b=k2^{-j <semantics><mrow><mstyle><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><msup><mn>2</mn><mrow><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle b=k2^{-j}}</annotation></semantics></math><img src=$ position binaire ou dyadique .

Principe

L'idée fondamentale des transformées en ondelettes est que la transformation ne doit autoriser que des modifications de l'extension temporelle, et non de la forme, ce qui impose une restriction sur le choix des fonctions de base appropriées. Les modifications de l'extension temporelle doivent être conformes à la fréquence d'analyse correspondante de la fonction de base. En se basant sur le principe d'incertitude du traitement du signal,

{\displaystyle \Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>Δ</mi><mi>t</mi><mi>Δ</mi><mi>ω</mi><mo>≥</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle t <semantics><mrow><mstyle><mi>t</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle t}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega =2\pi f <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega =2\pi f}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math><img src=$

Plus la résolution temporelle requise est élevée, plus la résolution fréquentielle doit être faible. Plus l'extension des fenêtres d'analyse est grande, plus la valeur de ${\displaystyle \Delta t <semantics><mrow><mstyle><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Delta t}</annotation></semantics></math><img src=$

Quand ${\displaystyle \Delta t <semantics><mrow><mstyle><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Delta t}</annotation></semantics></math><img src=$

Mauvaise résolution temporelle
Bonne résolution en fréquence
Basse fréquence, facteur d'échelle élevé

Quand ${\displaystyle \Delta t <semantics><mrow><mstyle><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Delta t}</annotation></semantics></math><img src=$

Bonne résolution temporelle
mauvaise résolution en fréquence
Haute fréquence, petit facteur d'échelle

Autrement dit, la fonction de base ${\displaystyle \psi <semantics><mrow><mstyle><mi>ψ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \psi }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x(t) <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x(t)}</annotation></semantics></math><img src=$

Cela montre que la transformation en ondelettes offre une bonne résolution temporelle pour les hautes fréquences, tandis que pour les fonctions à variation lente, sa résolution fréquentielle est remarquable.

Autre exemple : l'analyse de trois signaux sinusoïdaux superposés ${\displaystyle y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t) <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mo>=</mo><mspace></mspace><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><msub><mi>f</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>t</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mo>+</mo><mspace></mspace><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>π</mi><msub><mi>f</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>t</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mo>+</mo><mspace></mspace><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>8</mn><mi>π</mi><msub><mi>f</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>t</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)}</annotation></semantics></math><img src=$

Compression par ondelettes

Le système de transformation contient deux filtres d'analyse (un filtre passe-bas). ${\displaystyle h_{0}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>h</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h_{0}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle h_{1}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>h</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h_{1}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g_{0}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>g</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g_{0}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g_{1}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>g</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g_{1}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle h_{0}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>h</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h_{0}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g_{0}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>g</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g_{0}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta (n-n_{i}) <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (n-n_{i})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle h(n-n_{i}) <semantics><mrow><mstyle><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h(n-n_{i})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle h(n-n_{i}) <semantics><mrow><mstyle><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h(n-n_{i})}</annotation></semantics></math><img src=$

En observant les réponses impulsionnelles des deux filtres, nous pouvons conclure que le second filtre est moins sensible à l'emplacement de l'entrée (c'est-à-dire qu'il est moins sensible aux variations de décalage).

Un autre problème important lié à la compression et à la reconstruction d'images est le comportement oscillatoire du système, susceptible d'engendrer des artefacts indésirables importants dans l'image reconstruite. Pour y remédier, les filtres à ondelettes doivent présenter un rapport signal/bruit élevé.

Jusqu’à présent, nous avons abordé la transformation unidimensionnelle du système de compression d’images. Ce problème peut être étendu à deux dimensions, et un terme plus général, celui de transformations multi-échelles décalables, est proposé.

Dérivation de la réponse impulsionnelle

Comme mentionné précédemment, la réponse impulsionnelle peut être utilisée pour évaluer le système de compression/reconstruction d'image.

Pour la séquence d'entrée ${\displaystyle x(n)=\delta (n-n_{i}) <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x(n)=\delta (n-n_{i})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle r_{1}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>r</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r_{1}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x(n)*h_{0}(n) <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>∗</mo><msub><mi>h</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x(n)*h_{0}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle h_{0}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>h</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h_{0}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle r_{2}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r_{2}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle r_{1}(n)*h_{0}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>r</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>∗</mo><msub><mi>h</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r_{1}(n)*h_{0}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 2^{L <semantics><mrow><mstyle><msup><mn>2</mn><mrow><mi>L</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 2^{L}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L}) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>h</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mi>f</mi><mrow><mi>h</mi><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>L</mi></mrow></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})}</annotation></semantics></math><img src=$

D'autre part, pour reconstruire le signal x(n), on peut considérer un signal de référence ${\displaystyle r_{L}(n)=\delta (n-n_{j}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>r</mi><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r_{L}(n)=\delta (n-n_{j})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d_{i}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>d</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d_{i}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 1\leq i\leq L <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>je</mi><mo>≤</mo><mi>L</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1\leq i\leq L}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle L-1 <semantics><mrow><mstyle><mi>L</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L-1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>r</mi><mrow><mi>L</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><msub><mi>n</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle r_{L}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>r</mi><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r_{L}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g_{0}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>g</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g_{0}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle r(n) <semantics><mrow><mstyle><mi>r</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle L-2,L-3,....,1 <semantics><mrow><mstyle><mi>L</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>L</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L-2,L-3,....,1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j}) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>h</mi><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mi>f</mi><mrow><mi>g</mi><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>n</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>L</mi></mrow></msup><mo>−</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle r_{L}(n) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>r</mi><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r_{L}(n)}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour obtenir le système global d'analyse/synthèse de niveau L, les réponses d'analyse et de synthèse sont combinées comme suit :

${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>h</mi><mrow><mi>UN</mi><mi>S</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi></mrow></munder><msubsup><mi>f</mi><mrow><mi>h</mi><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>L</mi></mrow></msup><mo>)</mo><msubsup><mi>f</mi><mrow><mi>g</mi><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>n</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>L</mi></mrow></msup><mo>−</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)}</annotation></semantics></math><img src=$

Enfin, le rapport entre le pic et le premier lobe secondaire et le second lobe secondaire moyen de la réponse impulsionnelle globale ${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i}) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>h</mi><mrow><mi>UN</mi><mi>S</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})}</annotation></semantics></math><img src=$

L'utilisation d'une transformée en ondelettes permet, grâce aux méthodes de compression par ondelettes, de représenter efficacement les transitoires , tels que les percussions dans un signal audio, ou les composantes haute fréquence d'images bidimensionnelles, par exemple une image d'étoiles dans un ciel nocturne. Ainsi, les éléments transitoires d'un signal de données peuvent être représentés par une quantité d'informations moindre que si l'on utilisait une autre transformée, comme la transformée en cosinus discrète , plus répandue.

Limites

Bien que les transformées en ondelettes offrent des avantages théoriques, leurs limitations pratiques ont restreint la compression par ondelettes à l'analyse des variations localisées et des signaux transitoires. Malgré des décennies de recherche, les systèmes de compression par ondelettes pour les contenus multimédias courants tels que l'audio et la vidéo n'atteignent pas systématiquement l'efficacité et la qualité perceptive des systèmes actuels basés sur la transformée en cosinus discrète (DCT ).

Pour les données unidimensionnelles comme l'audio ou les ECG, les ondelettes excellent dans la représentation et la compression des signaux transitoires : événements soudains et isolés tels qu'un coup de batterie en musique ou les pics aigus du rythme cardiaque. Par exemple, la transformée en ondelettes discrètes a été appliquée avec succès à la compression des signaux électrocardiographiques (ECG) . Cependant, pour les signaux réguliers et périodiques, qui constituent une grande partie de l'audio, l'analyse harmonique dans le domaine fréquentiel, avec des transformées de Fourier, permet d'obtenir une meilleure compression et une meilleure qualité sonore . La compression de données présentant à la fois des caractéristiques transitoires et périodiques peut être réalisée grâce à des techniques hybrides combinant ondelettes et analyse harmonique traditionnelle. Par exemple, le codec audio Vorbis utilise principalement la transformée en cosinus discrète modifiée pour compresser l'audio (généralement régulier et périodique), mais permet l'ajout d'un banc de filtres à ondelettes hybrides pour une meilleure reproduction des transitoires

Pour les données multidimensionnelles, la compression par ondelettes se heurte à des difficultés majeures. En vidéo, par exemple, les techniques de compression modernes telles que le codage intra et la compensation de mouvement (prédiction des parties d'une image en fonction de leur environnement spatial et temporel) ainsi que les tailles de blocs mixtes et dynamiques deviennent extrêmement complexes avec les ondelettes en raison de leur nature superposée. Cette complexité se traduit par une puissance de traitement accrue et une vitesse réduite, ce qui les rend moins pratiques pour une utilisation généralisée. De plus, bien que les ondelettes puissent obtenir de bons résultats aux mesures traditionnelles telles que le PSNR , les blocs DCT créent une perception de netteté qui fait souvent défaut aux ondelettes, nécessitant des débits binaires plus élevés pour atteindre une qualité subjective similaire.

Comparaison avec la transformée de Fourier et l'analyse temps-fréquence

Les ondelettes présentent de légers avantages par rapport aux transformées de Fourier pour réduire les calculs lors de l'analyse de fréquences spécifiques. Cependant, elles sont rarement plus sensibles et, de fait, l' ondelette de Morlet classique est mathématiquement identique à une transformée de Fourier à court terme utilisant une fonction de fenêtre gaussienne. L'exception concerne la recherche de signaux de forme non sinusoïdale connue (par exemple, les battements cardiaques) ; dans ce cas, l'utilisation d'ondelettes adaptées peut surpasser les analyses STFT/Morlet standard.

Autres applications pratiques

La transformée en ondelettes permet d'obtenir la fréquence des signaux et le temps associé à ces fréquences, ce qui la rend très pratique pour de nombreuses applications. Par exemple, le traitement du signal des accélérations pour l'analyse de la marche , la détection de défauts , l'analyse des déplacements saisonniers des glissements de terrain , la conception de stimulateurs cardiaques basse consommation et les communications sans fil à ultra-large bande (UWB)

{\displaystyle c- au <semantics><mrow><mstyle><mi>c</mi><mo>−</mo><mi>τ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c- au }</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\ au _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>τ</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>m</mi><mo>⋅</mo><mi>T</mi><mo>⋅</mo><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\ au _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Ce qui conduit à des ondelettes de la forme suivante : la formule discrète pour l'ondelette de base :

{\displaystyle \Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T ight]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m ight)T ight] <semantics><mrow><mstyle><mi>Ψ</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></msqrt></mfrac></mrow><mo>⋅</mo><mi>Ψ</mi><mrow><mo>[</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mi>m</mi><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mfrac></mrow><mi>T</mi></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></msqrt></mfrac></mrow><mo>⋅</mo><mi>Ψ</mi><mrow><mo>[</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>k</mi><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mfrac></mrow><mo>−</mo><mi>m</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>T</mi></mrow><mo>]</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T ight]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m ight)T ight]}</annotation></semantics></math></span><img src=

Ces ondelettes discrètes peuvent être utilisées pour la transformation :

{\displaystyle Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m ight)T ight] <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>D</mi><mi>W</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></msqrt></mfrac></mrow><mo>⋅</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>K</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mi>y</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>⋅</mo><mi>Ψ</mi><mrow><mo>[</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>k</mi><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mfrac></mrow><mo>−</mo><mi>m</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>T</mi></mrow><mo>]</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m ight)T ight]}</annotation></semantics></math></span><img src=

Implémentation via la FFT (transformée de Fourier rapide), comme le montre la représentation par transformation en ondelettes (illustrée ci-dessous).

{\displaystyle Y_{W}(c, au )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t- au }{c}} ight)\,dt <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>W</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mi>c</mi></msqrt></mfrac></mrow><mo>⋅</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>y</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>⋅</mo><mi>Ψ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>τ</mi></mrow><mi>c</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y_{W}(c, au )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t- au }{c}} ight)\,dt}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle c <semantics><mrow><mstyle><mi>c</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle au <semantics><mrow><mstyle><mi>τ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle au }</annotation></semantics></math><img src=$

et comme déjà mentionné dans ce contexte, la transformation en ondelettes correspond à une convolution d'une fonction ${\displaystyle y(t) <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y(t)}</annotation></semantics></math><img src=$

Transformation de Fourier du signal ${\displaystyle y(k) <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y(k)}</annotation></semantics></math><img src=$
Sélection d'un facteur d'échelle discret ${\displaystyle c_{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>c</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c_{n}}</annotation></semantics></math><img src=$
Mise à l'échelle de la fonction de base d'ondelettes par ce facteur ${\displaystyle c_{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>c</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c_{n}}</annotation></semantics></math><img src=$
Multiplication par le signal transformé YFFT de la première étape
La transformation inverse du produit dans le domaine temporel donne ${\displaystyle Y_{W}(c, au ) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>W</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y_{W}(c, au )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle au <semantics><mrow><mstyle><mi>τ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle au }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle c_{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>c</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c_{n}}</annotation></semantics></math><img src=$
Retour à la deuxième étape, jusqu'à ce que toutes les valeurs d'échelle discrètes pour ${\displaystyle c_{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>c</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c_{n}}</annotation></semantics></math><img src=$

Il existe de nombreux types de transformées en ondelettes, chacune adaptée à des applications spécifiques. Voir également la liste complète des transformées en ondelettes ; les plus courantes sont présentées ci-dessous : ondelette chapeau mexicain , ondelette de Haar , ondelette de Daubechies et ondelette triangulaire.

Détection des défauts dans les systèmes d'énergie électrique.

Estimation statistique adaptative locale de fonctions dont la régularité varie sensiblement sur le domaine, ou plus précisément, estimation de fonctions qui sont parcimonieuses dans le domaine des ondelettes.

Ondelettes causales temporelles

Pour le traitement en temps réel des signaux temporels, il est essentiel que les filtres à ondelettes n'accèdent pas à des valeurs de signal futures et que les latences temporelles soient minimales. Des représentations par ondelettes causales dans le temps ont été développées par Szu et al. et Lindeberg , cette dernière méthode utilisant également une implémentation récursive temporelle économe en mémoire.

Transformation synchro-comprimée

La transformée synchro-comprimée peut améliorer considérablement la résolution temporelle et fréquentielle de la représentation temps-fréquence obtenue à l'aide de la transformée en ondelettes conventionnelle.