−1

100000001 ₂ 2sC :11111111 ₂0x101 ₁₆ 2sC :0xFF ₁₆

En mathématiques , −1 ( moins un ou moins un ) est l' inverse additif de 1 , c'est-à-dire le nombre qui, ajouté à 1, donne l' élément d'identité additif , 0. C'est l' entier négatif supérieur à moins deux (−2) et inférieur à 0 .

Multiplier un nombre par −1 revient à changer le signe du nombre, c'est-à-dire que pour tout x, nous avons (−1) ⋅  x = − x . Cela peut être prouvé à l'aide de la loi distributive et de l'axiome selon lequel 1 est l' identité multiplicative :

x + (−1) ⋅  x = 1 ⋅  x + (−1) ⋅  x = (1 + (−1)) ⋅  x = 0 ⋅  x = 0 .

Ici, nous avons utilisé le fait que tout nombre x fois 0 est égal à 0, ce qui résulte de l'annulation de l'équation

0 ⋅  x = (0 + 0) ⋅  x = 0 ⋅  x + 0 ⋅  x .

Autrement dit,

x + (−1) ⋅  x = 0 ,

donc (−1) ⋅  x est l'inverse additif de x , c'est-à-dire (−1) ⋅  x = − x , comme cela devait être démontré.

Le carré de −1 (c'est-à-dire −1 multiplié par −1) est égal à 1. Par conséquent, un produit de deux nombres négatifs est positif. Pour une preuve algébrique de ce résultat, commençons par l'équation

0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] .

La première égalité découle du résultat ci-dessus, et la seconde découle de la définition de −1 comme inverse additif de 1 : c'est précisément ce nombre qui, ajouté à 1, donne 0. Maintenant, en utilisant la loi distributive, on peut voir que

0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1) .

La troisième égalité résulte du fait que 1 est une identité multiplicative. Mais maintenant, ajouter 1 aux deux côtés de cette dernière équation implique

(−1) ⋅ (−1) = 1 .

Les arguments ci-dessus sont valables dans tout anneau , un concept d' algèbre abstraite généralisant les nombres entiers et réels .

Bien qu'il n'existe pas de racines carrées réelles de −1, le nombre complexe i satisfait i ² = −1 et peut donc être considéré comme une racine carrée de −1. Le seul autre nombre complexe dont le carré est −1 est − i car il existe exactement deux racines carrées de tout nombre complexe non nul, ce qui découle du théorème fondamental de l'algèbre . Dans l'algèbre des quaternions – où le théorème fondamental ne s'applique pas – qui contient les nombres complexes, l'équation x ² = −1 a une infinité de solutions .

L'exponentiation d'un nombre réel non nul peut être étendue aux entiers négatifs , où élever un nombre à la puissance −1 a le même effet que de prendre son inverse multiplicatif :

x ⁻¹ = ⁠1/x⁠ .

Cette définition est ensuite appliquée aux entiers négatifs, en préservant la loi exponentielle x ^a x ^b = x ^{( a + b )} pour les nombres réels a et b .

Un exposant −1 dans f ⁻¹ ( x ) prend la fonction inverse de f ( x ) , où (  f ( x )) ⁻¹ désigne spécifiquement une réciproque ponctuelle . Où f est bijectif spécifiant un codomaine de sortie de chaque y ∈ Y  à partir de chaque domaine d'entrée x ∈ X , il y aura

f ⁻¹ (  f ( x ) ) = x et  f ⁻¹ (  f ( y )) = y . 

Lorsqu'un sous-ensemble du codomaine est spécifié à l'intérieur de la fonction f , son inverse donnera une image inverse , ou préimage, de ce sous-ensemble sous la fonction.

L'exponentiation aux entiers négatifs peut être étendue aux éléments inversibles d'un anneau en définissant x ⁻¹ comme l'inverse multiplicatif de x ; dans ce contexte, ces éléments sont considérés comme des unités .

Dans un domaine polynomial F  [ x ] sur un corps quelconque F , le polynôme x n'a pas d'inverse. S'il avait un inverse q ( x ) , alors il y aurait

x q ( x ) = 1 ⇒ deg  ( x ) + deg  ( q ( x )) = deg  (1)

 ⇒ 1 + deg  ( q ( x )) = 0

 ⇒ deg  ( q ( x )) = −1

ce qui n'est pas possible, et donc, F  [ x ] n'est pas un corps. Plus précisément, comme le polynôme n'est pas constant , il n'est pas une unité dans F .

Les séquences entières utilisent généralement −1 pour représenter un ensemble indénombrable , à la place de « ∞ » comme valeur résultant d'un indice donné . polytopes convexes réguliers dans l'espace n -dimensionnel est,

{1, 1, −1, 5, 6, 3, 3, ...} pour n = {0, 1, 2, ...} (séquence A060296 dans l' OEIS ).

−1 peut également être utilisé comme valeur nulle , à partir d'un index qui donne un ensemble vide ∅ ou non entier où l' expression générale décrivant la séquence n'est pas satisfaite , ou rencontrée. Par exemple, le plus petit k > 1 tel que dans l'intervalle 1... k il y ait autant d'entiers qui ont exactement deux fois n diviseurs qu'il y a de nombres premiers est,

{2, 27, −1, 665, −1, 57675, −1, 57230, −1} pour n = {1, 2, ..., 9} (séquence A356136 dans l' OEIS ).

Un élément non entier ou vide est souvent représenté par 0 .

Dans le développement de logiciels , −1 est une valeur initiale courante pour les entiers et est également utilisée pour montrer qu'une variable ne contient aucune information utile .