53 tempérament égal

En musique, le tempérament égal 53 , appelé 53 TET , 53 EDO ou 53 ET , est l' échelle tempérée obtenue en divisant l'octave en 53 pas égaux (rapports de fréquence égaux). ^ⓘ Chaque pas représente un rapport de fréquence de 2 ^{1 ⁄ 53} , soit 22,6415 centièmes ( ^ⓘ ), un intervalle parfois appelé virgule holdrienne .

Le 53-TET est un accordage de tempérament égal dans lequel la quinte parfaite tempérée mesure 701,89 centièmes de large, comme le montre la figure 1.

L'accordage 53-TET équivaut à l'unisson, ou tempère , les intervalles 32805 ⁄ 32768 , connus sous le nom de schisma , et 15625 ⁄ 15552 , connus sous le nom de kleisma . Ce sont tous deux des intervalles limites à 5, impliquant uniquement les nombres premiers 2, 3 et 5 dans leur factorisation, et le fait que 53 ET tempère les deux le caractérise complètement comme un tempérament limite à 5 : c'est le seul tempérament régulier tempérant ces deux intervalles, ou virgules , un fait qui semble avoir été reconnu pour la première fois par le théoricien de la musique japonais Shohé Tanaka . Parce qu'il tempère ces deux intervalles, le 53-TET peut être utilisé à la fois pour le tempérament schismatique , tempérant le schisma, et le tempérament Hanson (également appelé kleismique), tempérant le kleisma.

L'intervalle 7 ⁄ 4 est de 4,8 centièmes dièse en 53-TET, et son utilisation pour l'harmonie à limite 7 signifie que le kleisma septimal , l'intervalle 225 ⁄ 224 , est également tempéré.

L'intérêt théorique pour cette division remonte à l'Antiquité. Jing Fang (78–37 av. J.-C.), un théoricien de la musique chinois, a observé qu'une série de 53 quintes justes ([ 3 ⁄ 2 ] ⁵³ ) est presque égale à 31 octaves (2 ³¹ ). Il a calculé cette différence avec une précision à six chiffres comme étant 177147 ⁄ 176776 . Plus tard, la même observation a été faite par le mathématicien et théoricien de la musique Nicolas Mercator (vers 1620-1687), qui a calculé cette valeur précisément comme (3 ⁵³ ) ⁄ (2 ⁸⁴ ) = 19383245667680019896796723 ⁄ 19342813113834066795298816 , qui est connue sous le nom de virgule de Mercator . Le comma de Mercator a une valeur assez faible au départ (≈ 3,615 centièmes), mais le tempérament égal à 53 tons aplatit chaque quinte de seulement 1 ⁄ 53 de ce comma (≈ 0,0682 centième ≈ 1 ⁄ 315 comma syntonique ≈ 1 ⁄ 344 comma pythagoricien ). Ainsi, le tempérament égal à 53 tons est, à toutes fins pratiques, équivalent à un accord pythagoricien étendu .

Après Mercator, William Holder a publié un traité en 1694 qui soulignait que le tempérament égal 53 se rapproche également de très près de la tierce majeure juste (à 1,4 centième près), et par conséquent le tempérament égal 53 s'adapte très bien aux intervalles de l'intonation juste limite 5. Cette propriété du 53-TET était peut-être connue plus tôt ; les manuscrits non publiés d' Isaac Newton suggèrent qu'il en avait eu connaissance dès 1664-1665.

Au XIXe siècle, les gens ont commencé à concevoir des instruments en 53 TET, dans l'optique de les utiliser pour jouer de la musique à limite presque 5. De tels instruments ont été conçus par RHM Bosanquet et l'accordeur américain JP White. Par la suite, le tempérament a été utilisé occasionnellement par des compositeurs occidentaux et, au début du XXe siècle, le 53 TET était devenu la forme d'accordage la plus courante dans la musique classique ottomane , remplaçant son ancien accordage inégal. La musique arabe , qui fonde pour la plupart sa théorie sur les quarts de ton , l'a également utilisé ; le violoniste et théoricien de la musique syrien Twfiq Al-Sabagh a proposé qu'au lieu d'une division égale de l'octave en 24 parties, une échelle de 24 notes en 53 TET soit utilisée comme échelle maîtresse pour la musique arabe.

Le compositeur croate Josip Štolcer-Slavenski a écrit une pièce, qui n'a jamais été publiée, qui utilise l'Enharmonium de Bosanquet dans son premier mouvement, intitulé Music for Natur-ton-system . De plus, le général Thompson a travaillé en collaboration avec le fabricant de guitares londonien Louis Panormo pour produire la guitare enharmonique.

L'utilisation de la notation standard, notes de sept lettres plus dièses ou bémols, peut rapidement devenir déroutante. Ce n'est pas le cas avec le 19 TET et le 31 TET où il y a peu d'ambiguïté. Le fait qu'il ne soit pas mésotonique ajoute quelques problèmes qui nécessitent plus d'attention. Plus précisément, la tierce majeure pythagoricienne ( ditone ) et la tierce majeure simple sont distinguées, tout comme la tierce mineure pythagoricienne (semi-ton) et la tierce mineure simple. Le fait que la virgule syntonique ne soit pas tempérée signifie que les notes et les intervalles doivent être définis plus précisément. La musique classique ottomane utilise une notation de bémols et de dièses pour le ton à 9 virgules.

De plus, comme 53 n'est pas un multiple de 12, les notes telles que sol ♯ et la ♭ ne sont pas équivalentes enharmoniquement, pas plus que les armures correspondantes . Par conséquent, de nombreuses armures nécessiteront l'utilisation de doubles dièses (comme sol ♯ majeur / mi ♯ mineur), de doubles bémols (comme fa ♭ majeur / ré ♭ mineur) ou d'altérations microtonales.

La notation pythagoricienne étendue , utilisant uniquement des dièses et des bémols, donne l'échelle chromatique suivante :

• C, B ♯ , A ♯, E, Ré ♭ , Do ♯ , Si, F, E,
• D, C, B ♯, F, Mi ♭ , Ré ♯ , Do ♯, G, Fa ♭ ,
• E, D, C/UN, G,
• Fa, Mi ♯ , Ré ♯, UN, Sol ♭ , Fa ♯ , Mi, D/B, UN,
• G, F, E ♯, B, La ♭ , Sol ♯ , Fa ♯, C, B,
• A, G, F/D, C, Si ♭ , La ♯ , Sol ♯, D, Do ♭ ,
• B, A, G/E, D, C

Malheureusement, les notes sont désordonnées et il faut jusqu'à quatre dièses et bémols. Par conséquent, une tierce majeure doit être orthographiée comme une quarte diminuée.

La notation des notes en haut et en bas conserve l'ordre des notes et préserve également la signification traditionnelle de dièse et de bémol. Elle utilise des flèches vers le haut et vers le bas, écrites sous forme de caret ou de « v » minuscule, généralement dans une police sans empattement. Une flèche correspond à un pas de 53-TET. Dans les noms de notes, les flèches viennent en premier, pour faciliter la dénomination des accords. Les nombreuses équivalences enharmoniques permettent une grande liberté d'orthographe.

• C, ^C, ^^C, vvC ♯ /vD ♭ , vC ♯ /D ♭ , C ♯ /^D ♭ , ^C ♯ /^^D ♭ , vvD, vD,
• D, ^D, ^^D, vvD ♯ /vE ♭ , vD ♯ /E ♭ , D ♯ /^E ♭ , ^D ♯ /^^E ♭ , vvE, vE,
• E, ^E, ^^E/vvF, vF,
• F, ^F, ^^F, vvF ♯ /vG ♭ , vF ♯ /Sol ♭ , F ♯ /^Sol ♭ , ^F ♯ /^^Sol ♭ , vvG, vG,
• G, ^G, ^^G, vvG ♯ /vA ♭ , vG ♯ /A ♭ , G ♯ /^A ♭ , ^G ♯ /^^A ♭ , vvA, vA,
• A, ^A, ^^A, vvA ♯ /vB ♭ , vA ♯ /B ♭ , A ♯ /^B ♭ , ^A ♯ /^^B ♭ , vvB, vB,
• B, ^B, ^^B/vvC, vC, C

Le 53-TET étant un système pythagoricien, avec des quintes presque pures, les triades majeures et mineures justement intonées ne peuvent pas être orthographiées de la même manière que dans un accord mésotonique . Au lieu de cela, les triades majeures sont des accords comme CF ♭ -G (en utilisant la notation basée sur Pythagore), où la tierce majeure est une quarte diminuée ; c'est la caractéristique déterminante du tempérament schismatique . De même, les triades mineures sont des accords comme CD ♯ -G. Dans le 53-TET, l' accord de septième dominante s'écrirait CF ♭ -GB ♭ , mais la tétrade otonale est CF ♭ -GC, et CF ♭ -GA ♯ est encore un autre accord de septième. La tétrade utonale , l'inversion de la tétrade otonale, s'écrit CD ♯ -GG.

D'autres accords septimaux sont la triade diminuée, ayant les deux formes CD ♯ -G ♭ et CF-G ♭ , la triade submineure, CF-G, la triade supermajeure CD-G et les tétrades CF correspondantes-GBet CD-GA ♯ . Étant donné que 53-TET tempère le kleisma septimal , la triade du kleisma septimal a augmenté CF ♭ -Bdans ses diverses inversions est aussi un accord du système. Il en est de même de la tétrade d'Orwell, CF ♭ -D-Gdans ses diverses inversions.

La notation des hauts et des bas permet des orthographes plus conventionnelles. Puisqu'elle nomme également les intervalles de 53-TET, elle fournit également des noms d'accords précis. L'accord mineur pythagoricien avec une tierce 32/27 est toujours nommé Cm et toujours orthographié C–E ♭ –G. Mais l'accord mineur ascendant de limite 5 utilise la tierce mineure ascendante 6/5 et s'écrit C–^E ♭ –G. Cet accord est nommé C^m. À comparer avec ^Cm (^C–^E ♭ –^G).

• Triade majeure : C-vE-G (majeur inférieur)
• Triade mineure : C-^E ♭ -G (upmineur)
• Dominante 7ème : C-vE-GB ♭ (down add-7)
• Tétrade otonale : C-vE-Sol-vB ♭ (down7)
• Tétrade utonale : C-^E ♭ -G-^A (upminor6)
• Triade diminuée : C-^E ♭ -G ♭ (en haut)
• Triade diminuée : Do-mi ♭ -Sol ♭ (en baisse)
• Triade submineure : Do-mi ♭ -sol (mineur inférieur)
• Triade supermajeure : C-^EG (majeur en haut)
• Tétrade sous-mineure : C-vE ♭ -G-vA (downminor6)
• Tétrade supermajeure : C-^EG-^B ♭ (up7)
• Triade augmentée : C-vE-vvG ♯ (downaug dud-5)
• Triade d'Orwell : C-vE-vvG-^A (majeur bas dud-5 haut6)

Étant donné qu'une distance de 31 pas dans cette gamme est presque exactement égale à une quinte juste parfaite , en théorie, cette gamme peut être considérée comme une forme légèrement tempérée de l'accord pythagoricien qui a été étendue à 53 tons. Ainsi, les intervalles disponibles peuvent avoir les mêmes propriétés que n'importe quel accord pythagoricien, comme des quintes (pratiquement) pures, des tierces majeures qui sont larges d'à peine (environ 81 ⁄ 64 par rapport au 5 ⁄ 4 plus pur , et des tierces mineures qui sont inversement étroites ( 32 ⁄ 27 par rapport à 6 ⁄ 5 ).

Cependant, le 53-TET contient des intervalles supplémentaires qui sont très proches de l'intonation juste. Par exemple, l'intervalle de 17 pas est également une tierce majeure, mais seulement 1,4 centième plus étroit que l'intervalle juste très pur 5 ⁄ 4. Le 53-TET est une très bonne approximation de tout intervalle en intonation juste à 5 limites. De même, l'intervalle juste pur 6 ⁄ 5 n'est que 1,3 centième plus large que 14 pas dans le 53-TET.

Les correspondances avec les intervalles justes impliquant la 7e harmonique sont légèrement moins proches (43 pas correspondent à 4,8 centièmes de dièse pour 7 ⁄ 4 ), mais tous ces intervalles sont toujours assez proches, l'écart le plus élevé étant le triton 7 ⁄ 5. La 11e harmonique et les intervalles qui l'impliquent sont moins étroitement appariés, comme l'illustrent les secondes et tierces neutres non décimales dans le tableau ci-dessous. Les rapports de limite 7 sont colorés en gris clair et les rapports de limite 11 et 13 sont colorés en gris foncé.

Voici 21 des 53 notes de l'échelle chromatique. Le reste peut facilement être ajouté.

En théorie musicale et en accordage musical , le comma de Holdrian , également appelé comma de Holder , et rarement comma arabe , est un petit intervalle musical d'environ 22,6415 centièmes , égal à un pas de tempérament égal 53, ou ( ). Le nom de comma est trompeur, car cet intervalle est un nombre irrationnel et ne décrit pas le compromis entre les intervalles d'un système d'accordage ; il prend ce nom car il s'agit d'une approximation du comma syntonique (21,51 centièmes) ( ), qui était largement utilisé comme mesure d'accordage à l' époque de William Holder .

L'origine de la virgule de Holder réside dans le fait que les Grecs de l'Antiquité (ou du moins Boèce ) croyaient que dans l' accord pythagoricien le ton pouvait être divisé en neuf virgules, dont quatre formant le demi-ton diatonique et cinq le demi-ton chromatique. Si toutes ces virgules sont exactement de la même taille, il en résulte une octave de 5 tons + 2 demi-tons diatoniques, 5 × 9 + 2 × 4 = 53 virgules égales. Holder attribue la division de l'octave en 53 parties égales à Nicolas Mercator , qui aurait nommé la partie 1/53 de l'octave la « virgule artificielle ».

Le comma de Mercator est un nom souvent utilisé pour un intervalle étroitement lié en raison de son association avec Nicolas Mercator. L'un de ces intervalles a été décrit pour la première fois par Ching-Fang en 45 av. J.-C. Mercator a appliqué des logarithmes pour déterminer que (≈ 21,8182 cents) était presque équivalent à un comma syntonique de ≈ 21,5063 cents (une caractéristique du tempérament mésotonique prédominant de l'époque). Il a également considéré qu'un « comma artificiel » de pourrait être utile, car 31 octaves pourraient être pratiquement approximées par un cycle de 53 quintes justes . William Holder , pour qui le comma holdrien est nommé, a favorisé cette dernière unité car les intervalles de 53 tempéraments égaux sont plus proches de l'intonation juste que celui de 55. Ainsi, le comma de Mercator et le comma holdrien sont deux intervalles distincts mais liés.

La virgule holdienne a été principalement utilisée dans la théorie musicale ottomane/turque par Kemal Ilerici et par le compositeur turc Erol Sayan. Le nom de cette virgule est Holder koması en turc.

Par exemple, le Rast makam (similaire à la gamme majeure occidentale , ou plus précisément à la gamme majeure justement accordée ) peut être considéré en termes de virgules holdriennes :

oùdésigne une virgule bémol holdrienne, tandis qu'au contraire, le makam Nihavend (similaire à l' échelle mineure occidentale ) :

où ♭ désigne un bémol de cinq virgules, a des secondes moyennes entre d–mi ♭ , mi–f , sol–a ♭ , a ♭ – b ♭ , et b ♭ – c′ , une seconde moyenne étant quelque part entre 8 et 9 virgules.