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Principes d'action

Les principes d'action sont fondamentaux en physique, de la mécanique classique à la relativité générale , en passant par la mécanique quantique et la physique des particules . ...

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Les principes d'action sont fondamentaux en physique, de la mécanique classique à la relativité générale , en passant par la mécanique quantique et la physique des particules . Ces principes partent d'une fonction d'énergie, appelée lagrangien, qui décrit le système physique. La valeur cumulée de cette fonction d'énergie entre deux états du système est appelée action . Les principes d'action appliquent le calcul des variations à l'action. L'action dépend de la fonction d'énergie, et cette dernière dépend de la position, du mouvement et des interactions au sein du système : la variation de l'action permet de dériver les équations du mouvement sans recourir aux vecteurs ni aux forces.

Plusieurs principes d'action distincts se différencient par les contraintes imposées à leurs conditions initiales et finales. Leurs noms ont évolué au fil du temps et varient selon les détails des points d'arrivée des trajectoires et la nature de la variation. Les principes d'action quantiques généralisent et justifient les anciens principes classiques en démontrant qu'ils résultent directement de figures d'interférence quantiques. Ils constituent le fondement de la version de Feynman de la mécanique quantique , de la relativité générale et de la théorie quantique des champs .

Les principes d'action trouvent des applications aussi vastes que la physique, notamment à de nombreux problèmes de mécanique classique, mais surtout à des problèmes modernes de mécanique quantique et de relativité générale. Ces applications se sont multipliées et étendues au cours des deux siècles suivants, parallèlement à la progression de la puissance de la méthode et à son développement mathématique.

Cet article présente les concepts du principe d'action et résume d'autres articles qui détaillent davantage les concepts et les principes spécifiques.

Concepts communs

Les principes d'action sont des approches « intégrales » plutôt que l' approche « différentielle » de la mécanique newtonienne . Les idées fondamentales sont basées sur l'énergie, les chemins, une fonction d'énergie appelée le Lagrangien le long des chemins et la sélection d'un chemin en fonction de l'« action », une somme continue ou une intégrale du Lagrangien le long du chemin.

L'énergie, et non la force

L'étude introductive de la mécanique, science des interactions entre les objets, débute généralement par les lois de Newton , fondées sur le concept de force , définie par l'accélération qu'elle provoque lorsqu'elle est appliquée à une masse : . Cette approche de la mécanique se concentre sur un point précis de l'espace et du temps, cherchant à répondre à la question : « Que se passe-t-il ensuite ? » . La mécanique basée sur les principes d'action part du concept d' action , un compromis énergétique entre énergie cinétique et énergie potentielle , défini par la physique du problème. Ces approches répondent aux questions relatives aux points de départ et d'arrivée : quelle trajectoire permettra à un ballon de basket de marquer ? Si l'on lance une fusée sur la Lune aujourd'hui, comment pourra-t-elle s'y poser dans 5 jours ? Les formulations newtonienne et basée sur les principes d'action sont équivalentes et permettent de résoudre les mêmes problèmes, mais choisir la formulation appropriée simplifiera considérablement la résolution.

Dans les principes d'action, la fonction d'énergie ne représente pas l'énergie totale ( conservée dans un système isolé ), mais le lagrangien , soit la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. L'énergie cinétique combine l'énergie de mouvement de tous les objets du système ; l'énergie potentielle dépend de la position instantanée des objets et est à l'origine de leur mouvement. Ce mouvement place les objets dans de nouvelles positions, avec de nouvelles valeurs d'énergie potentielle, ce qui donne une nouvelle valeur au lagrangien.

L'utilisation de l'énergie plutôt que de la force présente des avantages immédiats en mécanique. La mécanique des forces fait appel au calcul vectoriel tridimensionnel , avec trois coordonnées spatiales et trois coordonnées de quantité de mouvement pour chaque objet du système ; l'énergie est une grandeur scalaire qui combine les informations de tous les objets, ce qui simplifie considérablement les calculs. Les composantes de la force varient selon les systèmes de coordonnées ; la valeur de l'énergie est la même dans tous les systèmes de coordonnées. La force requiert un référentiel inertiel ; Dès que les vitesses approchent celle de la lumière , la relativité restreinte influence profondément la mécanique des forces. Dans les principes d'action, la relativité requiert simplement un lagrangien différent : le principe lui-même est indépendant des systèmes de coordonnées.

Des chemins, pas des points

Les diagrammes explicatifs de la mécanique des forces se concentrent généralement sur un point unique, tel que le centre de masse , et représentent les vecteurs de forces et de vitesses. Les diagrammes explicatifs de la mécanique des actions comportent deux points reliés par les trajectoires réelles et possibles. Ces conventions schématiques soulignent les principaux atouts de chaque méthode.

Aide schématique pour les forces

Aide schématique au principe d'action

Selon le principe d'action, les deux points reliés par des chemins dans un diagramme peuvent représenter les positions de deux particules à des instants différents, ou bien des valeurs dans un espace de configuration ou dans un espace de phase . La technologie mathématique et la terminologie des principes d'action s'appréhendent en raisonnant en termes d'espace physique, puis s'appliquent à des espaces abstraits plus vastes et plus puissants.

Action le long d'un chemin

Les principes d’action attribuent un nombre — l’action — à chaque chemin possible entre deux points. Ce nombre est calculé en additionnant une valeur d’énergie pour chaque petite section du chemin multipliée par le temps passé dans cette section :

action

{\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigl (}{ ext{KE}}(t)-{ ext{PE}}(t){\bigr )}\,dt, <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>t</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mrow><mtext>KE</mtext></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mrow><mtext>PE</mtext></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mrow><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigl (}{ ext{KE}}(t)-{ ext{PE}}(t){\bigr )}\,dt,}</annotation></semantics></math></span><img src=

L'expression de l'énergie cinétique ( ) dépend du problème physique considéré, et leur valeur en chaque point du parcours dépend des coordonnées relatives de ce point. La fonction d'énergie est appelée lagrangienne ; dans les problèmes simples, elle correspond à l'énergie cinétique moins l'énergie potentielle du système.

Variation de la trajectoire

En mécanique classique, un système se déplaçant entre deux points emprunte une trajectoire particulière ; aucune autre trajectoire similaire n'est suivie. Chaque trajectoire possible correspond à une valeur de l'action. Un principe d'action prédit ou explique que la trajectoire suivie possède une valeur stationnaire pour l'action du système : les trajectoires similaires proches de celle-ci ont des valeurs d'action très proches. Cette variation de la valeur de l'action est fondamentale pour les principes d'action.

En mécanique quantique, chaque chemin possible contribue à l'amplitude du comportement du système, la phase de chaque amplitude étant déterminée par l'action associée à ce chemin (phase = action / ħ ) . Le chemin classique apparaît car :

Ce n'est qu'à proximité de la trajectoire d'action stationnaire que les trajectoires voisines ont des phases similaires, ce qui conduit à une interférence constructive .
Les chemins voisins ont des actions qui varient rapidement avec la phase et qui interfèrent avec les autres chemins.

Lorsque l'échelle du problème est beaucoup plus grande que la constante de Planck est utilisé pour indiquer les variations de trajectoire , de sorte qu'un principe d'action apparaît mathématiquement comme suit :

{\displaystyle (\delta S)_{C}=0, <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>δ</mi><mi>S</mi><msub><mo>)</mo><mrow><mi>C</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (\delta S)_{C}=0,}</annotation></semantics></math></span><img src=

Cela signifie qu'au point stationnaire , la variation de l'action fixées, est nulle. Pour les principes d'action, le point stationnaire peut être un minimum ou un point selle , mais pas un maximum. Les orbites planétaires elliptiques fournissent un exemple simple de deux trajectoires d'action égale – une dans chaque direction autour de l'orbite ; aucune ne peut être le minimum ou la « moindre action ». La variation de trajectoire impliquée par . L'intégrale d'action dépend des coordonnées des objets, et ces coordonnées dépendent de la trajectoire suivie. Ainsi, l'intégrale d'action est une fonctionnelle , une fonction d'une fonction.

Principes de conservation

Lorsque l'énergie totale et les points d'arrivée sont fixés, le principe de moindre action de Maupertuis s'applique. Par exemple, pour marquer des points au basketball, le ballon doit quitter la main du tireur et passer par le panier, mais la durée du vol n'est pas contrainte. Le principe de moindre action de Maupertuis s'écrit mathématiquement comme la condition stationnaire ${\displaystyle (\delta W)_{E}=0 <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>δ</mi><mi>W</mi><msub><mo>)</mo><mrow><mi>E</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle (delta W) _ {E} = 0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle W[\mathbf {q} ]\ {\stackrel { ext{def}}{=}}\ \int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {dq} , <semantics><mrow><mstyle><mi>W</mi><mo>[</mo><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>]</mo><mtext> </mtext><mrow><mrow><mover><mrow><mo>=</mo></mrow><mrow><mtext>def</mtext></mrow></mover></mrow></mrow><mtext> </mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><msub><mi>q</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>q</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>d</mi><mi>q</mi></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle W[\mathbf {q} ]\ {\stackrel { ext{def}}{=}}\ \int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {dq} ,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel { ext{def}}{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>p</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mtext> </mtext><mrow><mrow><mover><mrow><mo>=</mo></mrow><mrow><mtext>def</mtext></mrow></mover></mrow></mrow><mtext> </mtext><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>∂</mi><msub><mrow><mrow><mover><mi>q</mi><mo>˙</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p_{k}\ {\stackrel { ext{def}}{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}},}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S </span referrerpolicy=$ se rapporte simplement à l'action abrégée ${\displaystyle \Delta S=\Delta WE\Delta t </span referrerpolicy=$ pour une énergie corps rigide sans force résultante, les actions sont identiques et les principes variationnels deviennent équivalents au de Fermat du moindre temps : ${\displaystyle \delta (t_{2}-t_{1})=0. <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><msub><mi>t</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (t_{2}-t_{1})=0.}</annotation></semantics></math><img src=$

Événements fixes

s'écrit mathématiquement comme suit :

{\displaystyle (\delta {\mathcal {S}})_{\Delta t}=0,\quad { ext{where}}\ {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt. <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>δ</mi><mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></mrow><msub><mo>)</mo><mrow><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mspace></mspace><mrow><mtext>où</mtext></mrow><mtext> </mtext><mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>]</mo><mtext> </mtext><mrow><mrow><mover><mrow><mo>=</mo></mrow><mrow><mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>f</mi></mrow></mrow></mover></mrow></mrow><mtext> </mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>t</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mi>L</mi><mo>(</mo><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mrow><mi>q</mi></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (\delta {\mathcal {S}})_{\Delta t}=0,\quad { ext{où}}\ {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt.}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle L=T-V <semantics><mrow><mstyle><mi>L</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mo>−</mo><mi>V</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L=TV}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle S <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S}</annotation></semantics></math></span><img src=

Théorie classique des champs

En mécanique quantique, les principes d'action présentent des avantages significatifs : un seul postulat mécanique est nécessaire, si un lagrangien covariant est utilisé dans l'action, le résultat est relativistement correct et la transition vers les équivalents classiques est claire.

Richard Feynman et Julian Schwinger ont tous deux développé des principes d'action quantique à partir des premiers travaux de Paul Dirac . La méthode intégrale de Feynman n'était pas un principe variationnel, mais se réduit au principe classique de moindre action ; elle a conduit à ses diagrammes de Feynman . L'approche différentielle de Schwinger relie les variations d'amplitude infinitésimales aux variations d'action infinitésimales.

Le principe d'action de Feynman

à un point et à un instant

{\displaystyle \psi (x_{k+1},t+\varepsilon )={\frac {1}{A}}\int e^{{\frac {i}{\hbar }}S(x_{k+1},x_{k})}\psi (x_{k},t)\,dx_{k}, </span referrerpolicy=

où est l'action classique. Au lieu d'un unique chemin d'action stationnaire, tous les chemins possibles s'additionnent (l'intégrale sur ), pondérés par une amplitude de probabilité complexe . La phase de l'amplitude est donnée par l'action divisée par la constante de Planck ou quantum d'action : Lorsque l'action d'une particule est beaucoup plus grande que la constante de Planck définit la frontière entre la mécanique classique et la mécanique quantique.

Tous les chemins contribuent au principe d'action quantique. Au point d'intersection, les chemins de phases similaires s'additionnent, tandis que ceux dont les phases diffèrent de celui de l'action stationnaire.

Le principe d'action de Schwinger

aux variations d'un élément de matrice d'action :

{\displaystyle \delta (q_{r_{ ext{f}}}|q_{r_{ ext{i}}})=i(q_{r_{ ext{f}}}|\delta S|q_{r_{ ext{i}}}), <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><msub><mi>q</mi><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mtext>f</mtext></mrow></msub></mrow></msub><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>q</mi><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mtext>je</mtext></mrow></msub></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>je</mi><mo>(</mo><msub><mi>q</mi><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mtext>f</mtext></mrow></msub></mrow></msub><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>δ</mi><mi>S</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>q</mi><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mtext>je</mtext></mrow></msub></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (q_{r_{ ext{f}}}|q_{r_{ ext{i}}})=i(q_{r_{ ext{f}}}|\delta S|q_{r_{ ext{i}}}),}</annotation></semantics></math></span><img src=

où l'opérateur d'action est

{\displaystyle S=\int _{t_{ ext{i}}}^{t_{ ext{f}}}L\,dt. <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><msub><mi>t</mi><mrow><mtext>je</mtext></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>t</mi><mrow><mtext>f</mtext></mrow></msub></mrow></msubsup><mi>L</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S=\int _{t_{ ext{i}}}^{t_{ ext{f}}}L\,dt.}</annotation></semantics></math></span><img src=

La forme de Schwinger rend particulièrement transparente l'analyse de la variation du lagrangien lui-même, par exemple la variation de l'intensité de la source potentielle.

Analogie optico-mécanique

Applications

{\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa }}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x, </span referrerpolicy=

contenait un élément de volume relativiste invariant − g d ⁴x et la courbure scalaire de Ricci ${\displaystyle \kappa </span referrerpolicy=$ est la constante gravitationnelle d'Einstein .

Autres applications

Le principe d'action est si central en physique et en mathématiques modernes qu'il est largement appliqué, notamment en thermodynamique , en mécanique des fluides , en théorie de la relativité , en mécanique quantique , en physique des particules et en théorie des cordes .