Carte additive

En algèbre , une application additive , une application -linéaire ou une fonction additive est une fonction qui préserve l'opération d'addition : pour tout couple d'éléments et dans le domaine de Par exemple, toute application linéaire est additive. Lorsque le domaine est celui des nombres réels , il s'agit de l'équation fonctionnelle de Cauchy . Pour un cas particulier de cette définition, voir polynôme additif . ${\displaystyle Z <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>et</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Plus formellement, une application additive est un homomorphisme de type α- module . Puisqu'un groupe abélien est un α- module , il peut être défini comme un homomorphisme de groupe entre groupes abéliens. ${\displaystyle \mathbb {Z} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Z} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Une carte additive dans chacun des deux arguments séparément est appelée une carte bi-additive ou une carte -bilinéaire . ${\displaystyle V imes W o X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> <mo>×</mo> <mi>L</mi> <mo>→</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V\fois W\à X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Z} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Exemples

Les exemples typiques incluent les applications entre anneaux , espaces vectoriels ou modules qui préservent le groupe additif . Une application additive ne préserve pas nécessairement une autre structure de l'objet, par exemple l'opération produit d'un anneau.

Si et sont des applications additives, alors l'application (définie ponctuellement ) est additive. ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f+g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f+g}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Propriétés

Définition de la multiplication scalaire par un entier

Supposons que est un groupe additif avec élément neutre et que l'inverse de est noté par Pour tout entier et soit : Ainsi et il peut être démontré que pour tout entier et tout et Cette définition de la multiplication scalaire transforme le sous-groupe cyclique de en un module à gauche ; si est commutatif, alors il transforme également en un module à gauche. ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x\in X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x\dans X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle -x. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle -x.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x\in X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x\dans X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} , <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle n in mathbb {Z},}</annotation> </semantics> </math><img src=$ $0,\\&(-&&x)&&+\cdots +(-&&x)&&~~~~{ ext{(}}|n|&&{ ext{ summands) }}&&~{ ext{ when }}n<0,\\\end{alignedat}} ight. n x := {\begin{matrix} 0 & quand n = 0, \\ x & + \dots + & x & (n & sommations) & quand n > 0, \\ (- & x) & + \dots + (- & x) & (| n | & sommations) & quand n < 0, \end{matrix}$ 0,\\&(-&&x)&&+\cdots +(-&&x)&&~~~~{ ext{(}}|n|&&{ ext{ sommations) }}&&~{ ext{ lorsque }}n<0,\\\end{alignedat}} ight.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f23db3554d7933939f6e947e6d20c85119f24c"> ${\displaystyle (-1)x=-x <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (-1)x=-x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x\in X, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x\dans X,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (m+n)x=mx+nx <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (m+n)x=mx+nx}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle -(nx)=(-n)x=n(-x). <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle -(nx)=(-n)x=n(-x).}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Z} x <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Z} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Z} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Homogénéité sur les nombres entiers

Si est une application additive entre des groupes additifs alors et pour tout (où la négation désigne l'inverse additif) et Par conséquent, pour tout (où par définition, ). ${\displaystyle f:X o Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:X\à Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(0)=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(0)=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x\in X, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x\dans X,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(-x)=-f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(nx)=nf(x)\quad { ext{ for all }}n\in \mathbb {Z} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mrow> <mtext> pour tous </mtext> </mrow> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(nx)=nf(x)\quad { ext{ pour tout }}n\in \mathbb {Z} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(x-y)=f(x)-f(y) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(xy)=f(x)-f(y)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x,y\in X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x,y\dans X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x-y:=x+(-y) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>et</mi> <mo>:=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle xy:=x+(-y)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

En d'autres termes, toute application additive est homogène sur les entiers . Par conséquent, toute application additive entre groupes abéliens est un homomorphisme de -modules ${\displaystyle \mathbb {Z} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ .

Homomorphisme de -modules ${\displaystyle \mathbb {Q} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si les groupes abéliens additifs et sont aussi des modules unitaires sur les rationnels (tels que les espaces vectoriels réels ou complexes ) alors une application additive satisfait : En d'autres termes, toute application additive est homogène sur les nombres rationnels . Par conséquent, toute application additive entre -modules unitaires est un homomorphisme de -modules . ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Q} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f:X o Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:X\à Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(qx)=qf(x)\quad { ext{ for all }}q\in \mathbb {Q} { ext{ and }}x\in X. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mrow> <mtext> pour tous </mtext> </mrow> <mi>q</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> <mrow> <mtext> et </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(qx)=qf(x)\quad { ext{ pour tout }}q\in \mathbb {Q} { ext{ et }}x\in X.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Q} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Q} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Bien qu'étant homogène sur comme décrit dans l'article sur l'équation fonctionnelle de Cauchy , même lorsqu'il est néanmoins toujours possible que la fonction additive ne soit pas homogène sur les nombres réels ; autrement dit, il existe des applications additives qui ne sont pas de la forme pour une constante En particulier, il existe des applications additives qui ne sont pas des applications linéaires . ${\displaystyle \mathbb {Q} , <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Q} ,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} , <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X=Y=\mathbb {R} ,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} o \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>→</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:\mathbb {R} o \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} o \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>→</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:\mathbb {R} o \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(x)=s_{0}x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(x)=s_{0}x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {R} . <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s_{0}\in \mathbb {R} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$