Pseudovecteur

En physique et en mathématiques , un pseudovecteur (ou vecteur axial ) est une quantité qui se comporte comme un vecteur dans de nombreuses situations, mais sa direction n'est pas conforme lorsque l'objet est transformé de manière rigide par rotation , translation , réflexion , etc. Cela peut également se produire lorsque l' orientation de l'espace est modifiée. Par exemple, le moment angulaire est un pseudovecteur car il est souvent décrit comme un vecteur, mais en changeant simplement la position de référence (et en changeant le vecteur de position ), le moment angulaire peut changer de direction, ce qui n'est pas censé se produire avec de vrais vecteurs (également appelés vecteurs polaires ).

Un exemple de pseudovecteur est la normale à un plan orienté . Un plan orienté peut être défini par deux vecteurs non parallèles, a et b , qui couvrent le plan. Le vecteur a × b est une normale au plan (il y a deux normales, une de chaque côté – la règle de la main droite déterminera laquelle), et est un pseudovecteur. Cela a des conséquences en infographie, où il doit être pris en compte lors de la transformation des normales de surface . En trois dimensions, le roulage d'un champ vectoriel polaire en un point et le produit vectoriel de deux vecteurs polaires sont des pseudovecteurs.

Un certain nombre de quantités en physique se comportent comme des pseudovecteurs plutôt que comme des vecteurs polaires, notamment le champ magnétique et la vitesse angulaire . En mathématiques, en trois dimensions, les pseudovecteurs sont équivalents aux bivecteurs , à partir desquels les règles de transformation des pseudovecteurs peuvent être dérivées. Plus généralement, en algèbre géométrique n -dimensionnelle , les pseudovecteurs sont les éléments de l'algèbre de dimension n − 1 , écrits ⋀ ^{n −1} R ⁿ . L'étiquette « pseudo- » peut être généralisée aux pseudoscalaires et aux pseudotenseurs , qui gagnent tous deux un changement de signe supplémentaire sous des rotations impropres par rapport à un véritable scalaire ou tenseur .

Les exemples physiques de pseudovecteurs incluent le couple , la vitesse angulaire , le moment angulaire , le champ magnétique , la vorticité et le moment dipolaire magnétique .

Considérons le pseudovecteur de moment angulaire L = Σ( r × p ) . En conduisant une voiture et en regardant vers l'avant, chacune des roues a un vecteur de moment angulaire pointant vers la gauche. Si le monde se reflète dans un miroir qui inverse le côté gauche et le côté droit de la voiture, la « réflexion » de ce « vecteur » de moment angulaire (vu comme un vecteur ordinaire) pointe vers la droite, mais le vecteur de moment angulaire réel de la roue (qui tourne toujours vers l'avant dans la réflexion) pointe toujours vers la gauche, ce qui correspond au changement de signe supplémentaire dans la réflexion d'un pseudovecteur.

La distinction entre vecteurs polaires et pseudovecteurs devient importante pour comprendre l'effet de la symétrie sur la résolution des systèmes physiques . Considérons une boucle de courant électrique dans le plan z = 0 qui, à l'intérieur de la boucle, génère un champ magnétique orienté dans la direction z . Ce système est symétrique (invariant) sous des réflexions miroir à travers ce plan, le champ magnétique étant inchangé par la réflexion. Mais la réflexion du champ magnétique sous forme de vecteur à travers ce plan devrait l'inverser ; cette attente est corrigée en réalisant que le champ magnétique est un pseudovecteur, avec le changement de signe supplémentaire le laissant inchangé.

En physique, les pseudovecteurs sont généralement le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs polaires ou de la courbure d'un champ vectoriel polaire. Le produit vectoriel et la courbure sont définis, par convention, selon la règle de la main droite, mais auraient pu être tout aussi facilement définis en termes de règle de la main gauche. L'ensemble de la physique qui traite des pseudovecteurs (droitiers) et de la règle de la main droite pourrait être remplacé par l'utilisation des pseudovecteurs (gauchers) et de la règle de la main gauche sans problème. Les pseudovecteurs (gauchers) ainsi définis seraient de direction opposée à ceux définis par la règle de la main droite.

Bien que les relations vectorielles en physique puissent être exprimées sans coordonnées, un système de coordonnées est nécessaire pour exprimer des vecteurs et des pseudo-vecteurs sous forme de quantités numériques. Les vecteurs sont représentés sous forme de triplets ordonnés de nombres : par exemple , et les pseudo-vecteurs sont également représentés sous cette forme. Lors de la transformation entre des systèmes de coordonnées gauchers et droitiers, les représentations de pseudo-vecteurs ne se transforment pas en vecteurs, et les traiter comme des représentations vectorielles entraînera un changement de signe incorrect, de sorte qu'il faut veiller à garder une trace des triplets ordonnés qui représentent des vecteurs et de ceux qui représentent des pseudo-vecteurs. Ce problème n'existe pas si le produit vectoriel de deux vecteurs est remplacé par le produit extérieur des deux vecteurs, ce qui donne un bivecteur qui est un tenseur de 2e rang et est représenté par une matrice 3×3. Cette représentation du 2-tenseur se transforme correctement entre deux systèmes de coordonnées quelconques, indépendamment de leur sens.

La définition d'un « vecteur » en physique (incluant à la fois les vecteurs polaires et les pseudovecteurs) est plus spécifique que la définition mathématique de « vecteur » (à savoir, tout élément d'un espace vectoriel abstrait ). Selon la définition physique, un « vecteur » doit avoir des composantes qui se « transforment » d'une certaine manière sous une rotation appropriée : en particulier, si tout dans l'univers était tourné, le vecteur tournerait exactement de la même manière. (Le système de coordonnées est fixé dans cette discussion ; en d'autres termes, il s'agit de la perspective des transformations actives .) Mathématiquement, si tout dans l'univers subit une rotation décrite par une matrice de rotation R , de sorte qu'un vecteur de déplacement x est transformé en x ′ = R x , alors tout « vecteur » v doit être transformé de la même manière en v ′ = R v . Cette exigence importante est ce qui distingue un vecteur (qui pourrait être composé, par exemple, des composantes x , y et z de la vitesse ) de tout autre triplet de quantités physiques (par exemple, la longueur, la largeur et la hauteur d'une boîte rectangulaire ne peuvent pas être considérées comme les trois composantes d'un vecteur, car la rotation de la boîte ne transforme pas correctement ces trois composantes).

(Dans le langage de la géométrie différentielle , cette exigence équivaut à définir un vecteur comme étant un tenseur de rang contravariant un. Dans ce cadre plus général, les tenseurs de rang supérieur peuvent également avoir arbitrairement de nombreux rangs covariants et contravariants mixtes en même temps, désignés par des indices élevés et abaissés dans le cadre de la convention de sommation d'Einstein .)

Un exemple basique et assez concret est celui des vecteurs lignes et colonnes sous l'opérateur de multiplication matricielle habituel : dans un ordre, ils donnent le produit scalaire, qui est juste un scalaire et en tant que tel un tenseur de rang zéro, tandis que dans l'autre, ils donnent le produit dyadique , qui est une matrice représentant un tenseur mixte de rang deux, avec un indice contravariant et un indice covariant. En tant que telle, la non-commutativité de l'algèbre matricielle standard peut être utilisée pour garder une trace de la distinction entre vecteurs covariants et contravariants. C'est en fait ainsi que la comptabilité était faite avant que la notation tensorielle plus formelle et généralisée ne soit apparue. Cela se manifeste encore dans la façon dont les vecteurs de base des espaces tensoriels généraux sont présentés pour une manipulation pratique.

La discussion jusqu'ici ne concerne que les rotations propres, c'est-à-dire les rotations autour d'un axe. Cependant, on peut également considérer les rotations impropres , c'est-à-dire une réflexion dans un miroir éventuellement suivie d'une rotation propre. (Un exemple de rotation impropre est l'inversion par un point dans l'espace à 3 dimensions.) Supposons que tout dans l'univers subisse une rotation impropre décrite par la matrice de rotation impropre R , de sorte qu'un vecteur de position x se transforme en x ′ = R x . Si le vecteur v est un vecteur polaire, il se transformera en v ′ = R v . S'il s'agit d'un pseudovecteur, il se transformera en v ′ = − R v .

Les règles de transformation pour les vecteurs polaires et les pseudovecteurs peuvent être énoncées de manière compacte comme suit

où les symboles sont tels que décrits ci-dessus, et la matrice de rotation R peut être propre ou impropre. Le symbole det désigne le déterminant ; cette formule fonctionne parce que les déterminants des matrices de rotation propre et impropre sont respectivement +1 et −1.

Supposons que v ₁ et v ₂ soient des pseudovecteurs connus, et que v ₃ soit défini comme leur somme, v ₃ = v ₁ + v ₂ . Si l'univers est transformé par une matrice de rotation R , alors v ₃ est transformé en

Ainsi, v ₃ est aussi un pseudovecteur. De même, on peut montrer que la différence entre deux pseudovecteurs est un pseudovecteur, que la somme ou la différence de deux vecteurs polaires est un vecteur polaire, que la multiplication d'un vecteur polaire par un nombre réel quelconque donne un autre vecteur polaire, et que la multiplication d'un pseudovecteur par un nombre réel quelconque donne un autre pseudovecteur.

D'autre part, supposons que v ₁ soit connu pour être un vecteur polaire, v ₂ pour être un pseudovecteur et v ₃ pour être défini comme leur somme, v ₃ = v ₁ + v ₂ . Si l'univers est transformé par une matrice de rotation impropre R , alors v ₃ est transformé en

Par conséquent, v ₃ n'est ni un vecteur polaire ni un pseudovecteur (bien qu'il soit toujours un vecteur, selon la définition physique). Pour une rotation impropre, v ₃ ne garde même pas en général la même amplitude :

Si la grandeur de v ₃ devait décrire une quantité physique mesurable, cela signifierait que les lois de la physique ne seraient pas les mêmes si l'univers était observé dans un miroir. En fait, c'est exactement ce qui se passe dans l' interaction faible : certaines désintégrations radioactives traitent différemment la « gauche » et la « droite », un phénomène qui peut être attribué à la sommation d'un vecteur polaire avec un pseudovecteur dans la théorie sous-jacente. (Voir violation de parité .)

Pour une matrice de rotation R , propre ou impropre, l'équation mathématique suivante est toujours vraie :

où v ₁ et v ₂ sont des vecteurs tridimensionnels quelconques. (Cette équation peut être prouvée soit par un argument géométrique, soit par un calcul algébrique.)

Supposons que v ₁ et v ₂ soient des vecteurs polaires connus, et que v ₃ soit défini comme leur produit vectoriel, v ₃ = v ₁ × v ₂ . Si l'univers est transformé par une matrice de rotation R , alors v ₃ est transformé en

Donc v ₃ est un pseudovecteur. De même, on peut montrer :

• vecteur polaire × vecteur polaire = pseudovecteur
• pseudovecteur × pseudovecteur = pseudovecteur
• vecteur polaire × pseudovecteur = vecteur polaire
• pseudovecteur × vecteur polaire = vecteur polaire

Ceci est isomorphe à l'addition modulo 2, où « polaire » correspond à 1 et « pseudo » à 0.

D'après la définition, il est clair qu'un vecteur de déplacement est un vecteur polaire. Le vecteur de vitesse est un vecteur de déplacement (un vecteur polaire) divisé par le temps (un scalaire), il est donc également un vecteur polaire. De même, le vecteur d'impulsion est le vecteur de vitesse (un vecteur polaire) multiplié par la masse (un scalaire), il est donc également un vecteur polaire. Le moment angulaire est le produit vectoriel d'un déplacement (un vecteur polaire) et d'une impulsion (un vecteur polaire), et est donc un pseudovecteur. Le couple est le moment angulaire (un pseudovecteur) divisé par le temps (un scalaire), il est donc également un pseudovecteur. En continuant ainsi, il est simple de classer n'importe lequel des vecteurs courants en physique comme pseudovecteur ou vecteur polaire. (Il existe des vecteurs violant la parité dans la théorie des interactions faibles, qui ne sont ni des vecteurs polaires ni des pseudovecteurs. Cependant, ceux-ci se produisent très rarement en physique.)

Ci-dessus, les pseudovecteurs ont été discutés en utilisant des transformations actives . Une approche alternative, plus proche des transformations passives , consiste à garder l'univers fixe, mais à remplacer la « règle de la main droite » par la « règle de la main gauche » partout en mathématiques et en physique, y compris dans la définition du produit vectoriel et du roulage . Tout vecteur polaire (par exemple, un vecteur de translation) resterait inchangé, mais les pseudovecteurs (par exemple, le vecteur de champ magnétique en un point) changeraient de signe. Néanmoins, il n'y aurait aucune conséquence physique, à part dans les phénomènes de violation de parité tels que certaines désintégrations radioactives .

Une façon de formaliser les pseudovecteurs est la suivante : si V est un espace vectoriel de dimension n, alors un pseudovecteur de V est un élément de la ( n − 1)-ième puissance extérieure de V : ⋀ ^{n −1} ( V ). Les pseudovecteurs de V forment un espace vectoriel de même dimension que V .

Cette définition n'est pas équivalente à celle exigeant un changement de signe en cas de rotations impropres, mais elle est générale à tous les espaces vectoriels. En particulier, lorsque n est pair , un tel pseudovecteur ne subit pas de changement de signe, et lorsque la caractéristique du corps sous-jacent de V est 2, un changement de signe n'a aucun effet. Sinon, les définitions sont équivalentes, bien qu'il faille garder à l'esprit que sans structure supplémentaire (en particulier, soit une forme volumique , soit une orientation ), il n'y a pas d'identification naturelle de ⋀ ^{n −1} ( V ) avec V .

Une autre façon de les formaliser est de les considérer comme des éléments d'un espace de représentation pour . Les vecteurs se transforment en la représentation fondamentale de avec des données données par , de sorte que pour toute matrice dans , on a . Les pseudovecteurs se transforment en une représentation pseudofondamentale , avec . Une autre façon de voir cet homomorphisme pour impair est que dans ce cas . Alors est un produit direct d'homomorphismes de groupe ; c'est le produit direct de l'homomorphisme fondamental sur avec l'homomorphisme trivial sur .

En algèbre géométrique, les éléments de base sont des vecteurs, et ceux-ci sont utilisés pour construire une hiérarchie d'éléments en utilisant les définitions de produits de cette algèbre. En particulier, l'algèbre construit des pseudo-vecteurs à partir de vecteurs.

La multiplication de base en algèbre géométrique est le produit géométrique , noté par la simple juxtaposition de deux vecteurs comme dans ab . Ce produit s'exprime comme suit :

où le terme principal est le produit scalaire vectoriel habituel et le second terme est appelé produit en coin ou produit extérieur . En utilisant les postulats de l'algèbre, toutes les combinaisons de produits scalaires et en coin peuvent être évaluées. Une terminologie pour décrire les différentes combinaisons est fournie. Par exemple, un multivecteur est une somme de produits en coin k -fois de différentes valeurs k -fois . Un produit en coin k -fois est également appelé k -lame .

Dans le contexte présent, le pseudovecteur est l'une de ces combinaisons. Ce terme est attaché à un multivecteur différent en fonction des dimensions de l'espace (c'est-à-dire du nombre de vecteurs linéairement indépendants dans l'espace). En trois dimensions, le bivecteur ou bivecteur le plus général peut être exprimé comme le produit en coin de deux vecteurs et est un pseudovecteur. En quatre dimensions, cependant, les pseudovecteurs sont des trivecteurs . En général, il s'agit d'une ( n − 1) -lame, où n est la dimension de l'espace et de l'algèbre. Un espace n -dimensionnel a n vecteurs de base et également n pseudovecteurs de base. Chaque pseudovecteur de base est formé à partir du produit extérieur (en coin) de tous les vecteurs de base sauf un . Par exemple, en quatre dimensions où les vecteurs de base sont considérés comme { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ }, les pseudovecteurs peuvent être écrits comme : { e ₂₃₄ , e ₁₃₄ , e ₁₂₄ , e ₁₂₃ }.

Les propriétés de transformation du pseudovecteur en trois dimensions ont été comparées à celles du produit vectoriel vectoriel par Baylis. Il dit : « Les termes vecteur axial et pseudovecteur sont souvent traités comme synonymes, mais il est très utile de pouvoir distinguer un bivecteur de son dual. » Pour paraphraser Baylis : Étant donnés deux vecteurs polaires (c'est-à-dire de vrais vecteurs) a et b en trois dimensions, le produit vectoriel composé de a et b est le vecteur normal à leur plan donné par c = a × b . Étant donné un ensemble de vecteurs de base orthonormés droitiers { e _ℓ } , le produit vectoriel est exprimé en termes de ses composantes comme suit :

où les exposants désignent les composantes vectorielles. D'autre part, le plan des deux vecteurs est représenté par le produit extérieur ou produit en coin, noté a ∧ b . Dans ce contexte d'algèbre géométrique, ce bivecteur est appelé pseudovecteur et est le dual de Hodge du produit vectoriel. Le dual de e ₁ est introduit comme e ₂₃ ≡ e ₂ e ₃ = e ₂ ∧ e ₃ , et ainsi de suite. C'est-à-dire que le dual de e ₁ est le sous-espace perpendiculaire à e ₁ , à savoir le sous-espace engendré par e ₂ et e ₃ . Avec cette compréhension,

Pour plus de détails, voir l'opérateur étoile de Hodge § Trois dimensions . Le produit vectoriel et le produit en coin sont liés par :

où i = e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ est appelé pseudoscalaire unitaire . Il a la propriété :

En utilisant les relations ci-dessus, on voit que si les vecteurs a et b sont inversés en changeant les signes de leurs composantes tout en laissant les vecteurs de base fixes, le pseudovecteur et le produit vectoriel sont tous deux invariants. En revanche, si les composantes sont fixes et les vecteurs de base e _ℓ sont inversés, alors le pseudovecteur est invariant, mais le produit vectoriel change de signe. Ce comportement des produits vectoriels est cohérent avec leur définition d'éléments de type vectoriel qui changent de signe lors de la transformation d'un système de coordonnées droitier à un système de coordonnées gaucher, contrairement aux vecteurs polaires.

Il convient de noter que tous les auteurs dans le domaine de l'algèbre géométrique n'utilisent pas le terme pseudovecteur, et que certains auteurs suivent une terminologie qui ne fait pas de distinction entre le pseudovecteur et le produit vectoriel. Cependant, comme le produit vectoriel ne se généralise pas à d'autres dimensions que trois, la notion de pseudovecteur basée sur le produit vectoriel ne peut pas non plus être étendue à un espace ayant un autre nombre de dimensions. Le pseudovecteur en tant que lame ( n – 1) dans un espace n -dimensionnel n'est pas limité de cette façon.

Une autre remarque importante est que les pseudovecteurs, malgré leur nom, sont des « vecteurs » dans le sens où ils sont des éléments d'un espace vectoriel . L'idée selon laquelle « un pseudovecteur est différent d'un vecteur » n'est vraie qu'avec une définition différente et plus spécifique du terme « vecteur » comme indiqué ci-dessus.