Filtre de Bessel

En électronique et en traitement du signal , un filtre de Bessel est un type de filtre linéaire analogique avec un retard de groupe maximal plat (c'est-à-dire une réponse de phase maximalement linéaire ), qui préserve la forme d'onde des signaux filtrés dans la bande passante. Les filtres de Bessel sont souvent utilisés dans les systèmes de croisement audio .

Le nom du filtre fait référence au mathématicien allemand Friedrich Bessel (1784–1846), qui a développé la théorie mathématique sur laquelle le filtre est basé. Les filtres sont également appelés filtres Bessel-Thomson en hommage à WE Thomson, qui a découvert comment appliquer les fonctions de Bessel à la conception de filtres en 1949.

Le filtre de Bessel est très similaire au filtre gaussien et tend vers la même forme à mesure que l'ordre du filtre augmente. réponse impulsionnelle du filtre gaussien dans le domaine temporel présente un dépassement nul , le filtre de Bessel présente un petit dépassement, mais toujours bien inférieur à celui d'autres filtres courants dans le domaine fréquentiel, tels que les filtres Butterworth. Il a été noté que la réponse impulsionnelle des filtres Bessel-Thomson tend vers une gaussienne à mesure que l'ordre du filtre augmente.

Comparé aux approximations d'ordre fini du filtre gaussien, le filtre de Bessel a un facteur de mise en forme légèrement meilleur (c'est-à-dire la façon dont un filtre particulier se rapproche de la réponse passe-bas idéale), un délai de phase plus plat et un délai de groupe plus plat qu'un filtre gaussien du même ordre, bien que le gaussien ait un délai plus faible et un dépassement nul.

La fonction de transfert

Un filtre passe-bas de Bessel est caractérisé par sa fonction de transfert :

{\displaystyle H(s)={\frac { heta _{n}(0)}{ heta _{n}(s/\omega _{0})}}\, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(s)={\frac { heta _{n}(0)}{ heta _{n}(s/\omega _{0})}}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est un polynôme de Bessel inverse duquel le filtre tire son nom et est une fréquence choisie pour donner la fréquence de coupure souhaitée. Le filtre a un retard de groupe basse fréquence de . Puisque est indéterminé par la définition des polynômes de Bessel inverses, mais est une singularité amovible, on définit que . ${\displaystyle heta _{n}(s) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta _{n}(s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oméga _{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 1/\omega _{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 1/\oméga _{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle heta _{n}(0) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta _{n}(0)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle heta _{n}(0)=\lim _{x ightarrow 0} heta _{n}(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>Lim</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta _{n}(0)=\lim _{x ightarrow 0} heta _{n}(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Polynômes de Bessel

La fonction de transfert du filtre de Bessel est une fonction rationnelle dont le dénominateur est un polynôme de Bessel inverse , tel que le suivant :

{\displaystyle n=1:\quad s+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>:</mo> <mspace></mspace> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=1:\quad s+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle n=2:\quad s^{2}+3s+3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>:</mo> <mspace></mspace> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=2:\quad s^{2}+3s+3}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle n=3:\quad s^{3}+6s^{2}+15s+15 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>:</mo> <mspace></mspace> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>15</mn> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>15</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=3:\quad s^{3}+6s^{2}+15s+15}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle n=4:\quad s^{4}+10s^{3}+45s^{2}+105s+105 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>:</mo> <mspace></mspace> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>10</mn> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>45</mn> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>105</mn> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>105</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=4:\quad s^{4}+10s^{3}+45s^{2}+105s+105}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle n=5:\quad s^{5}+15s^{4}+105s^{3}+420s^{2}+945s+945 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>5</mn> <mo>:</mo> <mspace></mspace> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>15</mn> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>105</mn> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>420</mn> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>945</mn> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>945</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=5:\quad s^{5}+15s^{4}+105s^{3}+420s^{2}+945s+945}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Les polynômes de Bessel inverses sont donnés par :

{\displaystyle heta _{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta _{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où

{\displaystyle a_{k}={\frac {(2n-k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!}}\quad k=0,1,\ldots ,n. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mi>k</mi> <mo>!</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{k}={\frac {(2n-k)!}{2^{nk}k!(nk)!}}\quad k=0,1,\ldots ,n.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Réglage de l'atténuation de coupure

Il n'existe pas de valeur d'atténuation standard définie pour les filtres de Bessel. Cependant, −3,0103 dB est un choix courant. Certaines applications peuvent utiliser une atténuation plus élevée ou plus faible, comme −1 dB ou −20 dB. Le réglage de la fréquence d'atténuation de coupure implique d'abord de trouver la fréquence qui permet d'obtenir l'atténuation souhaitée, qui sera appelée , puis de mettre à l'échelle les polynômes à l'inverse de cette fréquence. Pour mettre à l'échelle les polynômes, ajoutez simplement au terme de chaque coefficient, comme indiqué dans l'exemple de filtre de Bessel à 3 pôles ci-dessous. ${\displaystyle \omega _{c <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oméga _{c}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H(s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{c <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oméga _{c}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\style d'affichage s}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(s)&={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}\\H(s)'&=H(s)_{{ ext{desired dB at }}\omega =1}={\frac {15}{(\omega _{c}s)^{3}+6(\omega _{c}s)^{2}+15\omega _{c}s+15}}\\\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>15</mn> <mrow> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>15</mn> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>15</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <msup> <mo>)</mo> <mo>′</mo> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <msub> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mtext>dB souhaité à </mtext> </mrow> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>15</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mi>m</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mo>(</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mi>m</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>15</mn> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>15</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}H(s)&={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}\\H(s)'&=H(s)_{{ ext{dB souhaité à }}\omega =1}={\frac {15}{(\omega _{c}s)^{3}+6(\omega _{c}s)^{2}+15\omega _{c}s+15}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \omega _{c <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oméga _{c}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Trouver la fréquence d'atténuation avec la méthode de Newton

La méthode de Newton nécessite une valeur de grandeur connue et une valeur de grandeur dérivée pour . Cependant, il est plus facile d'opérer et d'utiliser le carré du gain de coupure souhaité, et est tout aussi précis, donc les termes au carré seront utilisés. ${\displaystyle |H(j\omega _{c})| <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |H(j\oméga _{c})|}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle |H(j\omega _{c})H(-j\omega _{c})| <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>j</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |H(j\oméga _{c})H(-j\oméga _{c})|}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pour l'obtenir , suivez les étapes ci-dessous. ${\displaystyle \omega _{c <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oméga _{c}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si n'est pas déjà disponible, multipliez par pour obtenir . ${\displaystyle H(s)H(-s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(s)H(-s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H(s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H(-s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(-s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H(s)H(-s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(s)H(-s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
nier tous les termes de lorsque est divisible par . Cela serait , , , et ainsi de suite. La fonction modifiée sera appelée , et cette modification permettra l'utilisation de nombres réels au lieu de nombres complexes lors de l'évaluation du polynôme et de sa dérivée. le réel peut maintenant être utilisé à la place du complexe ${\displaystyle s^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (n+2) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (n+2)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 4 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 4}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s^{6 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s^{6}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s^{10 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s^{10}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H_{2}(s)H_{2}(-s) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H_{2}(s)H_{2}(-s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{a <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega _{a}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle j\omega _{a <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>j</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle j\omega _{a}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Convertissez l'atténuation souhaitée en dB, , en une valeur de gain arithmétique au carré, , en utilisant . Par exemple, 3,010 dB se convertit en 0,5, 1 dB se convertit en 0,79432823 et ainsi de suite. ${\displaystyle A_{dB <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{dB}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B_{arith}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B_{arith}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>10</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Calculez la valeur modifiée de la méthode de Newton en utilisant la valeur réelle, . Prenez toujours la valeur absolue. ${\displaystyle |H_{2}(s)H_{2}(-s)| <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |H_{2}(s)H_{2}(-s)|}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{a <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega _{a}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Calculer la dérivée modifiée par rapport à la valeur réelle, NE PAS prendre la valeur absolue de la dérivée. ${\displaystyle H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a}) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{a <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega _{a}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Lorsque les étapes 1) à 4) sont terminées, l'expression impliquant la méthode de Newton peut s'écrire comme suit :

${\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-(|H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a}) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mo>[</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>]</mo> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-(|H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})}</annotation> </semantics> </math><img src=$

en utilisant une valeur réelle pour sans nécessiter d'arithmétique complexe. Le mouvement de doit être limité pour éviter qu'il ne devienne négatif au début des itérations pour une fiabilité accrue. Une fois terminé, peut être utilisé pour le qui peut être utilisé pour mettre à l'échelle le dénominateur de la fonction de transfert d'origine. L'atténuation de la modification sera alors pratiquement la valeur exacte souhaitée à 1 rad/sec. Si elle est effectuée correctement, seule une poignée d'itérations sont nécessaires pour définir l'atténuation sur une large plage de valeurs d'atténuation souhaitées pour les filtres d'ordre petit et très grand. ${\displaystyle \omega _{a <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega _{a}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{a <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega _{a}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{a <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega _{a}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{c <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega _{c}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H(s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle G(s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>G</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Trouver la fréquence d'atténuation à partir des racines

Comme elle ne contient aucune information de phase, la factorisation directe de la fonction de transfert ne produira pas de résultats exploitables. Cependant, la fonction de transfert peut être modifiée en la multipliant par pour éliminer toutes les puissances impaires de , ce qui à son tour oblige à être réel à toutes les fréquences, puis en trouvant la fréquence qui en résulte au carré de l'attention souhaitée. ${\displaystyle |H(j\omega _{a})| <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |H(j\omega _{a})|}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H(-s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(-s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H(j\omega _{a}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(j\omega _{a})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H(j\omega _{a}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(j\omega _{a})}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si n'est pas déjà disponible, multipliez par pour obtenir . ${\displaystyle H(s)H(-s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(s)H(-s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H(s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H(-s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(-s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H(s)H(-s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(s)H(-s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Convertissez l'atténuation souhaitée en dB, , en une valeur de gain arithmétique au carré, , en utilisant . Par exemple, 3,010 dB se convertit en 0,5, 1 dB se convertit en 0,79432823 et ainsi de suite. ${\displaystyle A_{dB <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{dB}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B_{arith}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B_{arith}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>10</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Trouver ${\displaystyle P(S)=H_{num}(S)H_{num}(-S)-B_{arith}^{2}H_{den}(S)H_{den}(-S) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mi>u</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mi>u</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P(S)=H_{num}(S)H_{num}(-S)-B_{arith}^{2}H_{den}(S)H_{den}(-S)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Trouvez les racines de P(S) en utilisant un algorithme de recherche de racines.
Parmi l'ensemble des racines ci-dessus, sélectionnez la racine imaginaire positive pour les filtres d'ordre impair et la racine réelle positive pour les filtres d'ordre pair.
1. Les atténuations de coupure qui sont au-dessus de l'ondulation de la bande passante ou en dessous de l'ondulation de la bande d'arrêt reviendront avec plusieurs racines, il faudra donc sélectionner la racine correcte.

Exemple simple de fréquence de coupure avec recherche de racine

Un exemple d'atténuation de fréquence de coupure de 20 dB utilisant l'exemple Bessel à 3 pôles ci-dessous est défini comme suit.

${\displaystyle {\begin{aligned}&H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}{ ext{ (from the example below)}}\\&B_{arith}^{2}=10^{20/10}=0.01{ ext{ (the arithmetic gain squared)}}\\&\\&{ ext{Find }}H(s)'{ ext{ such that }}|H(s)'|=-20{ ext{ dB at }}\omega =1{ ext{.}}\\&H(s)H(-s)={\frac {225}{-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225}}\\&P(s)=225-B_{arith}^{2}(-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225)=0.01s^{6}-0.06s^{4}+0.45s^{2}+222.75{ ext{ (polynomial to be factored)}}\\&R=j5.0771344{ ext{ (the positive imaginary root for the above polynomial)}}\\&{ ext{For even order filters, use the positive real root.}}\\&\\&\omega _{-20{ ext{ dB atten}}}=\omega _{c}=5.0771344{ ext{ rad/sec (20 dB attenuation frequency)}}\\&H(s)'=H(s)_{A=20{ ext{ dB at }}\omega =1}={\frac {15}{(5.0771344^{3})s^{3}+(6 imes 5.0771344^{2})s^{2}+(15 imes 5.0771344)s+15}}\\&={\frac {15}{130.87478s^{3}+154.66376s^{2}+76.157016s+15}}\\&\\&{ ext{Check:}}\\&|H(j)'|={\bigg |}{\frac {15}{130.87478j^{3}+154.66376j^{2}+76.157016j+15}}{\bigg |}=0.1=-20{ ext{ dB Gain}}\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>15</mn> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>15</mn> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mn>15</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mtext> (from the example below)</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow> <mn>20</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>10</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0.01</mn> <mrow> <mtext> (the arithmetic gain squared)</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd></mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mrow> <mtext>Find </mtext> </mrow> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <msup> <mo>)</mo> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mtext> such that </mtext> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <msup> <mo>)</mo> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>20</mn> <mrow> <mtext> dB at </mtext> </mrow> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mtext>.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>225</mn> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mn>45</mn> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mn>225</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>225</mn> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mn>45</mn> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mn>225</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.01</mn> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>0.06</mn> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0.45</mn> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>222.75</mn> <mrow> <mtext> (polynomial to be factored)</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <mi>j</mi> <mn>5.0771344</mn> <mrow> <mtext> (the positive imaginary root for the above polynomial)</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mrow> <mtext>For even order filters, use the positive real root.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd></mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>20</mn> <mrow> <mtext> dB atten</mtext> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>5.0771344</mn> <mrow> <mtext> rad/sec (20 dB attenuation frequency)</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <msup> <mo>)</mo> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <msub> <mo>)</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mn>20</mn> <mrow> <mtext> dB at </mtext> </mrow> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>15</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mn>5.0771344</mn> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>×</mo> <msup> <mn>5.0771344</mn> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>×</mo> <mn>5.0771344</mn> <mo>)</mo> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mn>15</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>15</mn> <mrow> <mn>130.87478</mn> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>154.66376</mn> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>76.157016</mn> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mn>15</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd></mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mrow> <mtext>Check:</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <msup> <mo>)</mo> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mfrac> <mn>15</mn> <mrow> <mn>130.87478</mn> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>154.66376</mn> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>76.157016</mn> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>15</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0.1</mn> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>20</mn> <mrow> <mtext> dB Gain</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}{ ext{ (from the example below)}}\\&B_{arith}^{2}=10^{20/10}=0.01{ ext{ (the arithmetic gain squared)}}\\&\\&{ ext{Find }}H(s)'{ ext{ such that }}|H(s)'|=-20{ ext{ dB at }}\omega =1{ ext{.}}\\&H(s)H(-s)={\frac {225}{-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225}}\\&P(s)=225-B_{arith}^{2}(-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225)=0.01s^{6}-0.06s^{4}+0.45s^{2}+222.75{ ext{ (polynomial to be factored)}}\\&R=j5.0771344{ ext{ (the positive imaginary root for the above polynomial)}}\\&{ ext{For even order filters, use the positive real root.}}\\&\\&\omega _{-20{ ext{ dB atten}}}=\omega _{c}=5.0771344{ ext{ rad/sec (20 dB attenuation frequency)}}\\&H(s)'=H(s)_{A=20{ ext{ dB at }}\omega =1}={\frac {15}{(5.0771344^{3})s^{3}+(6 imes 5.0771344^{2})s^{2}+(15 imes 5.0771344)s+15}}\\&={\frac {15}{130.87478s^{3}+154.66376s^{2}+76.157016s+15}}\\&\\&{ ext{Check:}}\\&|H(j)'|={\bigg |}{\frac {15}{130.87478j^{3}+154.66376j^{2}+76.157016j+15}}{\bigg |}=0.1=-20{ ext{ dB Gain}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Exemple

La fonction de transfert pour un filtre passe-bas de Bessel du troisième ordre (trois pôles) avec est ${\displaystyle \omega _{0}=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega _{0}=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>15</mn> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>15</mn> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mn>15</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où le numérateur a été choisi pour donner un gain unitaire à fréquence nulle ( ). Les racines du polynôme dénominateur, les pôles du filtre, incluent un pôle réel à , et une paire de pôles conjugués complexes à , tracés ci-dessus. ${\displaystyle s=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s=-2.3222 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2.3222</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s=-2.3222}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s=-1.8389\pm j1.7544 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1.8389</mn> <mo>±</mo> <mi>j</mi> <mn>1.7544</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s=-1.8389\pm j1.7544}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le gain est alors

{\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}.\, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>G</mi> <mo>(</mo> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>15</mn> <msqrt> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>45</mn> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>225</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}.\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Le point −3 dB, où se produit à . C'est ce qu'on appelle traditionnellement la fréquence de coupure. ${\displaystyle |H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {2}}},\, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {2}}},\,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega =1.756 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mn>1.756</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega =1.756}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La phase est

{\displaystyle \phi (\omega )=-\arg(H(j\omega ))=\arctan \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}} ight).\, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> <mo>(</mo> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>arg</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>15</mn> <mi>ω</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>15</mn> <mo>−</mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi (\omega )=-\arg(H(j\omega ))=\arctan \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}} ight).\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Le retard de groupe est

{\displaystyle D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}.\, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>D</mi> <mo>(</mo> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>ϕ</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>ω</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>6</mn> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>45</mn> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>225</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>45</mn> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>225</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}.\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Le développement de la série de Taylor du retard de groupe est

{\displaystyle D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>D</mi> <mo>(</mo> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mn>225</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </msup> <mn>1125</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots .}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Notez que les deux termes de et sont nuls, ce qui donne un retard de groupe très plat à . C'est le plus grand nombre de termes qui peuvent être mis à zéro, car il y a un total de quatre coefficients dans le polynôme de Bessel du troisième ordre, ce qui nécessite quatre équations pour être défini. Une équation spécifie que le gain est égal à un à et une seconde spécifie que le gain est nul à , ce qui laisse deux équations pour spécifier que deux termes du développement en série sont nuls. Il s'agit d'une propriété générale du retard de groupe pour un filtre de Bessel d'ordre : les premiers termes du développement en série du retard de groupe seront nuls, maximisant ainsi la planéité du retard de groupe à . ${\displaystyle \omega ^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega ^{4 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega ^{4}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega =0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega =0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega =0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega =0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega =\infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega =\infty }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n-1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega =0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega =0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Numérique

Bien que la transformation bilinéaire soit utilisée pour convertir des filtres à temps continu (analogiques) en filtres à réponse impulsionnelle infinie (RII) à temps discret (numérique) avec une réponse en fréquence comparable, les filtres RII obtenus par la transformation bilinéaire n'ont pas de retard de groupe constant. Étant donné que la caractéristique importante d'un filtre de Bessel est son retard de groupe extrêmement plat, la transformation bilinéaire n'est pas appropriée pour convertir un filtre de Bessel analogique en une forme numérique.

L'équivalent numérique est le filtre Thiran, également un filtre passe-bas tous pôles avec un délai de groupe extrêmement plat, qui peut également être transformé en filtre passe-tout, pour mettre en œuvre des délais fractionnaires.