Filtre passe-bas

Un filtre passe-bas est un filtre qui laisse passer les signaux dont la fréquence est inférieure à une fréquence de coupure sélectionnée et atténue les signaux dont les fréquences sont supérieures à la fréquence de coupure. La réponse en fréquence exacte du filtre dépend de la conception du filtre . Le filtre est parfois appelé filtre coupe-haut ou filtre coupe-aigus dans les applications audio. Un filtre passe-bas est le complément d'un filtre passe-haut .

En optique, les termes passe-haut et passe-bas peuvent avoir des significations différentes, selon qu'il s'agit de la fréquence ou de la longueur d'onde de la lumière, car ces variables sont inversement liées. Les filtres de fréquence passe-haut agissent comme des filtres de longueur d'onde passe-bas, et vice versa. Pour cette raison, il est recommandé de désigner les filtres de longueur d'onde par les termes passe-court et passe-long afin d'éviter toute confusion, qui correspondraient aux fréquences passe-haut et passe-bas .

Les filtres passe-bas existent sous de nombreuses formes différentes, notamment dans les circuits électroniques tels que les filtres anti-sifflement utilisés dans l'audio , les filtres anti-repliement pour le conditionnement des signaux avant la conversion analogique-numérique , les filtres numériques pour le lissage des ensembles de données, les barrières acoustiques, le flou des images, etc. L' opération de moyenne mobile utilisée dans des domaines tels que la finance est un type particulier de filtre passe-bas et peut être analysée avec les mêmes techniques de traitement du signal que celles utilisées pour les autres filtres passe-bas. Les filtres passe-bas fournissent une forme plus lisse d'un signal, supprimant les fluctuations à court terme et laissant la tendance à long terme.

Les concepteurs de filtres utilisent souvent la forme passe-bas comme filtre prototype . Il s'agit d'un filtre avec une bande passante et une impédance unitaire. Le filtre souhaité est obtenu à partir du prototype en le mettant à l'échelle pour la bande passante et l'impédance souhaitées et en le transformant en la forme de bande souhaitée (c'est-à-dire passe-bas, passe-haut, passe-bande ou coupe-bande ).

Des exemples de filtres passe-bas se produisent en acoustique , en optique et en électronique .

Une barrière physique rigide a tendance à réfléchir les fréquences sonores les plus élevées, agissant comme un filtre acoustique passe-bas pour la transmission du son. Lorsque de la musique est diffusée dans une autre pièce, les notes graves sont facilement entendues, tandis que les notes aiguës sont atténuées.

Un filtre optique ayant la même fonction peut être correctement appelé filtre passe-bas, mais il est traditionnellement appelé filtre passe-haut (la basse fréquence correspond à une grande longueur d'onde), pour éviter toute confusion.

Dans un filtre électronique passe-bas RC pour signaux de tension, les hautes fréquences du signal d'entrée sont atténuées, mais le filtre présente une faible atténuation en dessous de la fréquence de coupure déterminée par sa constante de temps RC . Pour les signaux de courant, un circuit similaire, utilisant une résistance et un condensateur en parallèle , fonctionne de manière similaire. (Voir le diviseur de courant décrit plus en détail ci-dessous.)

Les filtres passe-bas électroniques sont utilisés sur les entrées des caissons de basses et d'autres types de haut-parleurs , pour bloquer les aigus qu'ils ne peuvent pas reproduire efficacement. Les émetteurs radio utilisent des filtres passe-bas pour bloquer les émissions harmoniques qui pourraient interférer avec d'autres communications. Le bouton de tonalité de nombreuses guitares électriques est un filtre passe-bas utilisé pour réduire la quantité d'aigus dans le son. Un intégrateur est un autre filtre passe-bas à constante de temps .

Les lignes téléphoniques équipées de répartiteurs DSL utilisent des filtres passe-bas pour séparer les signaux DSL des signaux POTS (et passe-haut vice versa), qui partagent la même paire de fils ( canal de transmission ).

Les filtres passe-bas jouent également un rôle important dans la sculpture du son créé par les synthétiseurs analogiques et analogiques virtuels . Voir synthèse soustractive .

Un filtre passe-bas est utilisé comme filtre anti-aliasing avant l'échantillonnage et pour la reconstruction dans la conversion numérique-analogique .

Un filtre passe-bas idéal élimine complètement toutes les fréquences supérieures à la fréquence de coupure tout en laissant passer celles qui sont inférieures sans modification ; sa réponse en fréquence est une fonction rectangulaire et constitue un filtre à parois de briques . La région de transition présente dans les filtres pratiques n'existe pas dans un filtre idéal. Un filtre passe-bas idéal peut être réalisé mathématiquement (théoriquement) en multipliant un signal par la fonction rectangulaire dans le domaine fréquentiel ou, de manière équivalente, par convolution avec sa réponse impulsionnelle , une fonction sinc , dans le domaine temporel.

Cependant, le filtre idéal est impossible à réaliser sans avoir également des signaux d'étendue infinie dans le temps, et doit donc généralement être approximé pour les signaux réels en cours, car la région de support de la fonction sinc s'étend à tous les temps passés et futurs. Le filtre aurait donc besoin d'un retard infini, ou d'une connaissance du futur et du passé infinis, pour effectuer la convolution. Il est effectivement réalisable pour les signaux numériques préenregistrés en supposant des extensions de zéro dans le passé et le futur, ou, plus généralement, en rendant le signal répétitif et en utilisant l'analyse de Fourier.

Les filtres réels pour les applications en temps réel se rapprochent du filtre idéal en tronquant et en fenêtrant la réponse impulsionnelle infinie pour créer une réponse impulsionnelle finie ; l'application de ce filtre nécessite de retarder le signal pendant une période de temps modérée, ce qui permet au calcul de « voir » un peu dans le futur. Ce retard se manifeste par un déphasage . Une plus grande précision dans l'approximation nécessite un délai plus long.

La troncature d'un filtre passe-bas idéal entraîne des artefacts de sonnerie via le phénomène de Gibbs , qui peuvent être réduits ou aggravés par le choix de la fonction de fenêtrage. La conception et le choix de filtres réels impliquent la compréhension et la minimisation de ces artefacts. Par exemple, une simple troncature de la fonction sinc créera de graves artefacts de sonnerie, qui peuvent être réduits à l'aide de fonctions de fenêtrage qui disparaissent plus doucement sur les bords.

La formule d'interpolation Whittaker-Shannon décrit comment utiliser un filtre passe-bas parfait pour reconstruire un signal continu à partir d'un signal numérique échantillonné . Les convertisseurs numériques-analogiques réels utilisent des approximations de filtre réel.

La réponse temporelle d'un filtre passe-bas est trouvée en résolvant la réponse au filtre RC passe-bas simple.

En utilisant les lois de Kirchhoff, nous arrivons à l'équation différentielle

Si nous laissons une fonction en escalier de la grandeur alors l'équation différentielle a pour solution

où est la fréquence de coupure du filtre.

La façon la plus courante de caractériser la réponse en fréquence d'un circuit est de trouver sa fonction de transfert de transformée de Laplace , . En prenant la transformée de Laplace de notre équation différentielle et en résolvant pour, nous obtenons

Une équation de différence discrète est facilement obtenue en échantillonnant la réponse d'entrée en échelon ci-dessus à intervalles réguliers de où et est le temps entre les échantillons. En prenant la différence entre deux échantillons consécutifs, nous avons

En résolvant pour nous obtenons

Où

En utilisant la notation et , et en remplaçant notre valeur échantillonnée, , nous obtenons l'équation de différence

En comparant le signal de sortie reconstruit à partir de l'équation de différence, , à la réponse d'entrée en échelon, , nous constatons qu'il existe une reconstruction exacte (erreur de 0 %). Il s'agit de la sortie reconstruite pour une entrée invariante dans le temps. Cependant, si l'entrée est variable dans le temps , comme , ce modèle approxime le signal d'entrée comme une série de fonctions en échelon dont la durée produit une erreur dans le signal de sortie reconstruit. L'erreur produite par les entrées variables dans le temps est difficile à quantifier mais diminue à mesure que .

De nombreux filtres numériques sont conçus pour offrir des caractéristiques passe-bas. Les filtres passe-bas à réponse impulsionnelle infinie et à réponse impulsionnelle finie , ainsi que les filtres utilisant des transformées de Fourier , sont largement utilisés.

L'effet d'un filtre passe-bas à réponse impulsionnelle infinie peut être simulé sur un ordinateur en analysant le comportement d'un filtre RC dans le domaine temporel, puis en discrétisant le modèle.

D'après le schéma de circuit à droite, selon les lois de Kirchhoff et la définition de la capacité :

( )

( )

( )

où est la charge stockée dans le condensateur à l'instant t . En remplaçant l'équation Q dans l'équation I , on obtient , qui peut être substituée dans l'équation V de sorte que

Cette équation peut être discrétisée. Pour simplifier, supposons que des échantillons de l'entrée et de la sortie sont prélevés à des moments régulièrement espacés dans le temps, séparés par le temps. Soit les échantillons de représentés par la séquence , et soit représentés par la séquence , qui correspondent aux mêmes moments dans le temps. En faisant ces substitutions,

La réorganisation des termes donne la relation de récurrence

Autrement dit, cette implémentation à temps discret d'un simple filtre passe-bas RC est la moyenne mobile pondérée exponentiellement

Par définition, le facteur de lissage est compris dans la plage . L'expression de α donne la constante de temps équivalente RC en termes de période d'échantillonnage et de facteur de lissage α ,

Rappelant que

notez α et sont liés par,

et

Si α = 0,5, alors la constante de temps RC est égale à la période d'échantillonnage. Si , alors RC est significativement plus grand que l'intervalle d'échantillonnage, et .

La relation de récurrence du filtre permet de déterminer les échantillons de sortie en fonction des échantillons d'entrée et de la sortie précédente. L' algorithme de pseudo-code suivant simule l'effet d'un filtre passe-bas sur une série d'échantillons numériques :

// Renvoie les échantillons de sortie du filtre passe-bas RC, étant donné les échantillons d'entrée, // intervalle de temps dt et constante de temps fonction RC lowpass( real[1..n] x, real dt, real RC) var real[1..n] y var real α := dt / (RC + dt)

 y[1] := α * x[1] pour i de 2 à n y[i] := α * x[i] + (1-α) * y[i-1] retourner y 

La boucle qui calcule chacune des n sorties peut être refactorisée en l'équivalent :

pour i de 2 à n y[i] := y[i-1] + α * (x[i] - y[i-1]) 

Autrement dit, le changement d'une sortie de filtre à la suivante est proportionnel à la différence entre la sortie précédente et l'entrée suivante. Cette propriété de lissage exponentiel correspond à la décroissance exponentielle observée dans le système à temps continu. Comme prévu, à mesure que la constante de temps RC augmente, le paramètre de lissage à temps discret diminue et les échantillons de sortie répondent plus lentement à un changement dans les échantillons d'entrée ; le système a plus d' inertie . Ce filtre est un filtre passe-bas unipolaire à réponse impulsionnelle infinie (IIR).

Il est possible de construire des filtres à réponse impulsionnelle finie qui se rapprochent de la réponse temporelle de la fonction sinc d'un filtre passe-bas à coupure nette idéal. Pour une distorsion minimale, le filtre à réponse impulsionnelle finie possède un nombre illimité de coefficients fonctionnant sur un signal illimité. En pratique, la réponse temporelle doit être tronquée dans le temps et est souvent de forme simplifiée ; dans le cas le plus simple, une moyenne mobile peut être utilisée, donnant une réponse temporelle carrée.

Pour le filtrage non temps réel, pour obtenir un filtre passe-bas, l'ensemble du signal est généralement considéré comme un signal en boucle, la transformée de Fourier est prise, filtrée dans le domaine fréquentiel, suivie d'une transformée de Fourier inverse. Seules O(n log(n)) opérations sont nécessaires par rapport à O(n ² ) pour l'algorithme de filtrage dans le domaine temporel.

Cela peut également parfois être réalisé en temps réel, où le signal est retardé suffisamment longtemps pour effectuer la transformation de Fourier sur des blocs plus courts et qui se chevauchent.

Il existe de nombreux types de circuits de filtrage différents, avec des réponses différentes aux changements de fréquence. La réponse en fréquence d'un filtre est généralement représentée à l'aide d'un diagramme de Bode , et le filtre est caractérisé par sa fréquence de coupure et son taux de décroissance de fréquence . Dans tous les cas, à la fréquence de coupure, le filtre atténue la puissance d'entrée de moitié ou de 3 dB. Ainsi, l' ordre du filtre détermine la quantité d'atténuation supplémentaire pour les fréquences supérieures à la fréquence de coupure.

• Un filtre du premier ordre , par exemple, réduit l'amplitude du signal de moitié (donc la puissance est réduite d'un facteur 4, ou 6 dB) à chaque fois que la fréquence double (monte d'une octave ) ; plus précisément, la réduction de puissance approche 20 dB par décennie dans la limite des hautes fréquences. Le diagramme de Bode de magnitude pour un filtre du premier ordre ressemble à une ligne horizontale en dessous de la fréquence de coupure et à une ligne diagonale au-dessus de la fréquence de coupure. Il existe également une « courbe de coude » à la frontière entre les deux, qui effectue une transition en douceur entre les deux régions en ligne droite. Si la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre a un zéro ainsi qu'un pôle , le diagramme de Bode s'aplatit à nouveau, à une certaine atténuation maximale des hautes fréquences ; un tel effet est causé par exemple par une petite fuite de l'entrée autour du filtre à un pôle ; ce filtre à un pôle–un zéro est toujours un passe-bas du premier ordre. Voir Diagramme pôle–zéro et Circuit RC .
• Un filtre de second ordre atténue les hautes fréquences de manière plus prononcée. Le diagramme de Bode pour ce type de filtre ressemble à celui d'un filtre de premier ordre, sauf qu'il diminue plus rapidement. Par exemple, un filtre Butterworth de second ordre réduit l'amplitude du signal à un quart de son niveau d'origine chaque fois que la fréquence double (donc la puissance diminue de 12 dB par octave, ou de 40 dB par décade). D'autres filtres de second ordre tous pôles peuvent s'atténuer à des taux différents initialement en fonction de leur facteur Q , mais approcher le même taux final de 12 dB par octave ; comme pour les filtres de premier ordre, les zéros dans la fonction de transfert peuvent modifier l'asymptote haute fréquence. Voir Circuit RLC .
• Les filtres d'ordre 3 et supérieur sont définis de la même manière. En général, le taux final de réduction de puissance pour un filtre tous pôles d'ordre n est de 6 n dB par octave (20 n dB par décade).

Sur n'importe quel filtre Butterworth, si l'on prolonge la ligne horizontale vers la droite et la ligne diagonale vers le coin supérieur gauche (les asymptotes de la fonction), elles se coupent exactement à la fréquence de coupure , 3 dB en dessous de la ligne horizontale. Les différents types de filtres ( filtre Butterworth , filtre Chebyshev , filtre Bessel , etc.) ont tous des courbes de coude d'aspect différent . De nombreux filtres du second ordre ont un « pic » ou une résonance qui place leur réponse en fréquence au-dessus de la ligne horizontale à ce pic.

La signification des termes « bas » et « haut », c'est-à-dire la fréquence de coupure , dépend des caractéristiques du filtre. Le terme « filtre passe-bas » fait simplement référence à la forme de la réponse du filtre ; un filtre passe-haut peut être construit avec une fréquence de coupure inférieure à celle de n'importe quel filtre passe-bas ; ce sont leurs réponses qui les distinguent. Des circuits électroniques peuvent être conçus pour n'importe quelle gamme de fréquences souhaitée, jusqu'aux fréquences micro-ondes (au-dessus de 1 GHz) et au-delà.

Les filtres à temps continu peuvent également être décrits en termes de transformée de Laplace de leur réponse impulsionnelle , d'une manière qui permet d'analyser facilement toutes les caractéristiques du filtre en considérant le motif des pôles et des zéros de la transformée de Laplace dans le plan complexe. (En temps discret, on peut également considérer la transformée en Z de la réponse impulsionnelle.)

Par exemple, un filtre passe-bas du premier ordre peut être décrit en notation de Laplace comme :

où s est la variable de transformée de Laplace, τ est la constante de temps du filtre et K est le gain du filtre dans la bande passante .

Un circuit de filtre passe-bas simple se compose d'une résistance en série avec une charge et d'un condensateur en parallèle avec la charge. Le condensateur présente une réactance et bloque les signaux basse fréquence, les forçant à traverser la charge. À des fréquences plus élevées, la réactance chute et le condensateur fonctionne effectivement comme un court-circuit. La combinaison de la résistance et de la capacité donne la constante de temps du filtre (représentée par la lettre grecque tau ). La fréquence de coupure, également appelée fréquence de retournement, fréquence de coupure ou fréquence de coupure (en hertz), est déterminée par la constante de temps :

ou de manière équivalente (en radians par seconde) :

Ce circuit peut être compris en considérant le temps dont le condensateur a besoin pour se charger ou se décharger à travers la résistance :

• À basse fréquence, le condensateur a largement le temps de se charger jusqu'à atteindre pratiquement la même tension que la tension d'entrée.
• À haute fréquence, le condensateur n'a le temps de se charger que légèrement avant que l'entrée ne change de direction. La sortie monte et descend seulement sur une petite fraction de la valeur de la montée et de la descente de l'entrée. À une fréquence deux fois plus élevée, il n'a le temps de se charger que de la moitié de la valeur.

Une autre façon de comprendre ce circuit est d'utiliser le concept de réactance à une fréquence particulière :

• Étant donné que le courant continu (CC) ne peut pas circuler à travers le condensateur, l'entrée CC doit s'écouler par le chemin marqué (de manière analogue au retrait du condensateur).
• Étant donné que le courant alternatif (CA) circule très bien à travers le condensateur, presque aussi bien qu'il circule à travers un fil solide, l'entrée CA circule à travers le condensateur, court-circuitant efficacement la terre (de manière analogue au remplacement du condensateur par un simple fil).

Le condensateur n'est pas un objet « marche/arrêt » (comme l'explication fluidique du blocage ou du passage ci-dessus). Le condensateur agit de manière variable entre ces deux extrêmes. C'est le diagramme de Bode et la réponse en fréquence qui montrent cette variabilité.

Un circuit résistance-inductance ou filtre RL est un circuit électrique composé de résistances et d'inductances alimentées par une source de tension ou de courant . Un circuit RL du premier ordre est composé d'une résistance et d'une inductance et constitue le type de circuit RL le plus simple.

Un circuit RL du premier ordre est l'un des filtres électroniques analogiques à réponse impulsionnelle infinie les plus simples . Il est constitué d'une résistance et d'une inductance , soit en série alimentées par une source de tension , soit en parallèle alimentées par une source de courant.

Un circuit RLC (les lettres R, L et C peuvent être dans une séquence différente) est un circuit électrique composé d'une résistance , d'un inducteur et d'un condensateur , connectés en série ou en parallèle. La partie RLC du nom est due au fait que ces lettres sont les symboles électriques habituels pour la résistance , l'inductance et la capacité , respectivement. Le circuit forme un oscillateur harmonique pour le courant et résonne de la même manière qu'un circuit LC . La principale différence que fait la présence de la résistance est que toute oscillation induite dans le circuit s'éteindra avec le temps si elle n'est pas entretenue par une source. Cet effet de la résistance est appelé amortissement . La présence de la résistance réduit également quelque peu la fréquence de résonance de crête. Une certaine résistance est inévitable dans les circuits réels, même si une résistance n'est pas spécifiquement incluse en tant que composant. Un circuit LC pur idéal est une abstraction aux fins de la théorie.

Ce circuit a de nombreuses applications. Il est utilisé dans de nombreux types de circuits oscillateurs . Une autre application importante est le réglage , comme dans les récepteurs radio ou les téléviseurs , où ils sont utilisés pour sélectionner une plage étroite de fréquences à partir des ondes radio ambiantes. Dans ce rôle, le circuit est souvent appelé circuit accordé. Un circuit RLC peut être utilisé comme filtre passe-bande , filtre coupe-bande , filtre passe-bas ou filtre passe-haut . Le filtre RLC est décrit comme un circuit du second ordre , ce qui signifie que toute tension ou tout courant dans le circuit peut être décrit par une équation différentielle du second ordre dans l'analyse des circuits.

La fonction de transfert d'un filtre passe-bas du second ordre peut être exprimée en fonction de la fréquence comme indiqué dans l'équation 1, la forme standard du filtre passe-bas du second ordre.

Dans cette équation, est la variable de fréquence, est la fréquence de coupure, est le facteur d'échelle de fréquence et est le facteur de qualité. L'équation 1 décrit trois régions de fonctionnement : en dessous de la coupure, dans la zone de coupure et au-dessus de la coupure. Pour chaque zone, l'équation 1 se réduit à :

L'atténuation aux fréquences supérieures à s'accroissant d'une puissance de deux, la dernière formule décrit un filtre passe-bas du second ordre. Le facteur d'échelle de fréquence est utilisé pour mettre à l'échelle la fréquence de coupure du filtre afin qu'il suive les définitions données précédemment.

Des filtres passifs d’ordre supérieur peuvent également être construits (voir le diagramme pour un exemple de troisième ordre).

Un filtre passe-bas actif ajoute un dispositif actif pour créer un filtre actif qui permet un gain dans la bande passante.

Dans le circuit amplificateur opérationnel représenté sur la figure, la fréquence de coupure (en hertz ) est définie comme :

ou de manière équivalente (en radians par seconde) :

Le gain dans la bande passante est de − R ₂ / R ₁ et la bande d'arrêt chute à −6 dB par octave (soit −20 dB par décennie) car il s'agit d'un filtre du premier ordre.