Artefacts de sonnerie

En traitement de signal , en particulier en traitement d'image numérique , les artéfacts de sonnerie sont des artéfacts qui apparaissent comme des signaux parasites à proximité de transitions brusques dans un signal. Visuellement, ils apparaissent comme des bandes ou des « fantômes » à proximité des bords ; à l'audition, ils apparaissent comme des « échos » à proximité des transitoires , en particulier des sons d' instruments à percussion ; les plus remarquables sont les pré-échos . Le terme « sonnerie » est dû au fait que le signal de sortie oscille à une vitesse de décoloration autour d'une transition brusque dans l'entrée, à la manière d'une cloche après avoir été frappée. Comme pour d'autres artéfacts, leur minimisation est un critère de conception de filtre .

La principale cause des artefacts de sonnerie est due au fait qu'un signal est limité en bande passante (plus précisément, qu'il n'a pas de hautes fréquences) ou qu'il passe à travers un filtre passe-bas ; c'est la description du domaine fréquentiel . En termes de domaine temporel , la cause de ce type de sonnerie est les ondulations de la fonction sinc , qui est la réponse impulsionnelle (représentation du domaine temporel) d'un filtre passe-bas parfait. Mathématiquement, cela s'appelle le phénomène de Gibbs .

On peut distinguer le dépassement (et le sous-dépassement), qui se produit lorsque les transitions sont accentuées – la sortie est plus élevée que l'entrée – de la sonnerie, où après un dépassement, le signal surcorrige et est maintenant en dessous de la valeur cible ; ces phénomènes se produisent souvent ensemble, et sont donc souvent confondus et appelés conjointement « sonnerie ».

Le terme « sonnerie » est le plus souvent utilisé pour les ondulations dans le domaine temporel , bien qu'il soit également parfois utilisé pour les effets du domaine fréquentiel : le fenêtrage d'un filtre dans le domaine temporel par une fonction rectangulaire provoque des ondulations dans le domaine fréquentiel pour la même raison qu'un filtre passe-bas de type brick-wall (fonction rectangulaire dans le domaine fréquentiel ) provoque des ondulations dans le domaine temporel , dans chaque cas la transformée de Fourier de la fonction rectangulaire étant la fonction sinc.

Il existe des artefacts connexes causés par d’autres effets du domaine de fréquence , ainsi que des artefacts similaires dus à des causes indépendantes.

Par définition, la sonnerie se produit lorsqu'une entrée non oscillante produit une sortie oscillante : formellement, lorsqu'un signal d'entrée qui est monotone sur un intervalle a une réponse de sortie qui n'est pas monotone. Cela se produit le plus sévèrement lorsque la réponse impulsionnelle ou la réponse en échelon d'un filtre présente des oscillations - moins formellement, si pour une entrée de pic, respectivement une entrée en échelon (une transition brusque), la sortie présente des bosses. La sonnerie fait le plus souvent référence à la sonnerie en échelon, et c'est ce qui sera au centre de l'attention.

Le phénomène de sonnerie est étroitement lié au dépassement et au sous-dépassement, qui se produisent lorsque la sortie prend des valeurs supérieures à la valeur d'entrée maximale (respectivement inférieures à la valeur d'entrée minimale) : on peut avoir l'un sans l'autre, mais dans des cas importants, comme un filtre passe-bas , on a d'abord un dépassement, puis la réponse rebondit en dessous du niveau de régime permanent, provoquant le premier anneau, puis oscille d'avant en arrière au-dessus et en dessous du niveau de régime permanent. Ainsi, le dépassement est la première étape du phénomène, tandis que la sonnerie est la deuxième étape et les suivantes. En raison de ce lien étroit, les termes sont souvent confondus, « sonnerie » faisant référence à la fois au dépassement initial et aux anneaux suivants.

Si l'on dispose d'un filtre invariant dans le temps linéaire (LTI), on peut alors comprendre le filtre et la sonnerie en termes de réponse impulsionnelle (vue du domaine temporel), ou en termes de sa transformée de Fourier, la réponse en fréquence (vue du domaine fréquentiel). La sonnerie est un artefact du domaine temporel et, dans la conception du filtre, elle est compensée par les caractéristiques souhaitées du domaine fréquentiel : la réponse en fréquence souhaitée peut provoquer une sonnerie, tandis que la réduction ou l'élimination de la sonnerie peut aggraver la réponse en fréquence.

L'exemple central, et souvent ce que l'on entend par « artefacts sonores », est le filtre passe-bas idéal ( mur de briques ) , le filtre sinc . Il a une fonction de réponse impulsionnelle oscillatoire, comme illustré ci-dessus, et la réponse en échelon – son intégrale, l' intégrale sinusoïdale – présente donc également des oscillations, comme illustré à droite.

Ces artefacts de sonnerie ne sont pas le résultat d'une mise en œuvre ou d'un fenêtrage imparfaits : le filtre passe-bas idéal, tout en possédant la réponse en fréquence souhaitée, provoque nécessairement des artefacts de sonnerie dans le domaine temporel .

En termes de réponse impulsionnelle, la correspondance entre ces artefacts et le comportement de la fonction est la suivante :

• le dépassement d'impulsion est équivalent à une réponse impulsionnelle ayant des valeurs négatives,
• la sonnerie impulsionnelle (sonnerie près d'un point) est précisément équivalente à la réponse impulsionnelle présentant des oscillations, ce qui équivaut à la dérivée de la réponse impulsionnelle alternant entre des valeurs négatives et positives,
• et il n'y a pas de notion de dépassement d'impulsion, car l'impulsion unitaire est supposée avoir une hauteur infinie (et une intégrale 1 - une fonction delta de Dirac ), et ne peut donc pas être dépassée.

En ce qui concerne la réponse en échelon, la réponse en échelon est l'intégrale de la réponse impulsionnelle ; formellement, la valeur de la réponse en échelon à l'instant a est l'intégrale de la réponse impulsionnelle. Ainsi, les valeurs de la réponse en échelon peuvent être comprises en termes d' intégrales de queue de la réponse impulsionnelle.

Supposons que l'intégrale globale de la réponse impulsionnelle soit de 1, elle envoie donc une entrée constante à la même constante que la sortie – sinon le filtre a un gain et la mise à l'échelle par gain donne une intégrale de 1.

• Un dépassement inférieur est équivalent à une intégrale de queue négative, auquel cas l'amplitude du dépassement inférieur est la valeur de l'intégrale de queue.
• Le dépassement d'échelon est équivalent à une intégrale de queue supérieure à 1, auquel cas l'ampleur du dépassement est la quantité par laquelle l'intégrale de queue dépasse 1 – ou de manière équivalente la valeur de la queue dans l'autre sens, puisque ces deux valeurs s'additionnent pour atteindre 1.
• L'oscillation par paliers est équivalente à des intégrales de queue alternant entre des valeurs croissantes et décroissantes – en prenant des dérivées, cela équivaut à une réponse impulsionnelle alternant entre des valeurs positives et négatives. Les régions où une réponse impulsionnelle est inférieure ou supérieure à l' axe des x (formellement, les régions entre les zéros) sont appelées lobes, et l'amplitude d'une oscillation (du pic au creux) est égale à l'intégrale du lobe correspondant.

La réponse impulsionnelle peut avoir de nombreux lobes négatifs, et donc de nombreuses oscillations, chacune produisant un anneau, bien que ceux-ci s'atténuent pour les filtres pratiques, et ainsi on ne voit généralement que quelques anneaux, le premier étant généralement le plus prononcé.

Notez que si la réponse impulsionnelle présente de petits lobes négatifs et de plus grands lobes positifs, elle présentera alors une résonance mais pas de dépassement ou de sous-dépassement : l'intégrale de queue sera toujours comprise entre 0 et 1, mais oscillera vers le bas à chaque lobe négatif. Cependant, dans le filtre sinc, les lobes diminuent de manière monotone en amplitude et alternent en signe, comme dans la série harmonique alternée , et donc les intégrales de queue alternent également en signe, de sorte qu'elle présente un dépassement ainsi qu'une résonance.

Inversement, si la réponse impulsionnelle est toujours non négative, c'est-à-dire qu'elle ne présente pas de lobes négatifs (la fonction est une distribution de probabilité ), la réponse impulsionnelle ne présentera ni oscillations, ni dépassements ou sous-dépassements : ce sera une fonction monotone croissante de 0 à 1, comme une fonction de distribution cumulative . Ainsi, la solution de base du point de vue du domaine temporel consiste à utiliser des filtres à réponse impulsionnelle non négative.

La perspective du domaine fréquentiel est que la sonnerie est causée par la coupure nette de la bande passante rectangulaire dans le domaine fréquentiel, et est donc réduite par une atténuation plus douce , comme indiqué ci-dessous.

Les solutions dépendent des paramètres du problème : si la cause est un filtre passe-bas, on peut choisir une conception de filtre différente, qui réduit les artefacts au détriment des performances dans le domaine fréquentiel. En revanche, si la cause est un signal à bande limitée, comme dans le JPEG, on ne peut pas simplement remplacer un filtre, et les artefacts de sonnerie peuvent s'avérer difficiles à corriger – ils sont présents dans le JPEG 2000 et dans de nombreux codecs de compression audio (sous la forme de pré-écho ), comme indiqué dans les exemples.

Si la cause est l'utilisation d'un filtre passe-bas de type brick-wall, il est possible de remplacer le filtre par un autre qui réduit les artefacts du domaine temporel, au détriment des performances du domaine fréquentiel. Cela peut être analysé du point de vue du domaine temporel ou du domaine fréquentiel.

Dans le domaine temporel, la cause est une réponse impulsionnelle qui oscille, prenant des valeurs négatives. Cela peut être résolu en utilisant un filtre dont la réponse impulsionnelle est non négative et n'oscille pas, mais partage les caractéristiques souhaitées. Par exemple, pour un filtre passe-bas, le filtre gaussien est non négatif et non oscillatoire, il ne provoque donc pas de sonnerie. Cependant, il n'est pas aussi bon qu'un filtre passe-bas : il s'atténue dans la bande passante et fuit dans la bande d'arrêt : en termes d'image, un filtre gaussien "flou" le signal, ce qui reflète l'atténuation des signaux de fréquence plus élevée souhaités dans la bande passante.

Une solution générale consiste à utiliser une fonction de fenêtre sur le filtre sinc, qui coupe ou réduit les lobes négatifs : ceux-ci éliminent et réduisent respectivement le dépassement et la résonance. Notez que la troncature de certains lobes mais pas de tous les lobes élimine la résonance au-delà de ce point, mais ne réduit pas l'amplitude de la résonance qui n'est pas tronquée (car elle est déterminée par la taille du lobe), et augmente l'amplitude du dépassement si le dernier lobe non coupé est négatif, puisque l'amplitude du dépassement est l'intégrale de la queue, qui n'est plus annulée par les lobes positifs.

De plus, dans les implémentations pratiques, on tronque au moins sinc, sinon on doit utiliser une infinité de points de données (ou plutôt, tous les points du signal) pour calculer chaque point de la sortie – la troncature correspond à une fenêtre rectangulaire, et rend le filtre pratiquement implémentable, mais la réponse en fréquence n'est plus parfaite. En fait, si l'on prend un filtre passe-bas de type mur de briques (sinc dans le domaine temporel, rectangulaire dans le domaine fréquentiel) et que l'on le tronque (on le multiplie par une fonction rectangulaire dans le domaine temporel), cela convolue le domaine fréquentiel avec sinc (transformée de Fourier de la fonction rectangulaire) et provoque une sonnerie dans le domaine fréquentiel , qui est appelée ondulation . Dans les symboles, la sonnerie de fréquence dans la bande d'arrêt est également appelée lobes secondaires . Une réponse plate dans la bande passante est souhaitable, donc on fenêtre avec des fonctions dont la transformée de Fourier a moins d'oscillations, donc le comportement dans le domaine fréquentiel est meilleur.

La multiplication dans le domaine temporel correspond à la convolution dans le domaine fréquentiel, donc la multiplication d'un filtre par une fonction de fenêtre correspond à la convolution de la transformée de Fourier du filtre d'origine par la transformée de Fourier de la fenêtre, ce qui a un effet de lissage - ainsi le fenêtrage dans le domaine temporel correspond au lissage dans le domaine fréquentiel, et réduit ou élimine le dépassement et la sonnerie.

Dans le domaine fréquentiel , la cause peut être interprétée comme étant due à la coupure nette (mur de briques) et à la réduction de la sonnerie par l'utilisation d'un filtre avec une atténuation plus douce. C'est le cas du filtre gaussien, dont le diagramme de Bode en amplitude est une parabole à ouverture vers le bas (atténuation quadratique), car sa transformée de Fourier est à nouveau gaussienne, donc (à l'échelle près) – la prise de logarithmes donne

Dans les filtres électroniques , le compromis entre la réponse dans le domaine fréquentiel et les artefacts de résonance dans le domaine temporel est bien illustré par le filtre Butterworth : la réponse en fréquence d'un filtre Butterworth descend linéairement sur l'échelle logarithmique, avec un filtre de premier ordre ayant une pente de −6 dB par octave , un filtre de second ordre de –12 dB par octave et un filtre d'ordre n ayant une pente de dB par octave – à la limite, cela se rapproche d'un filtre à paroi de briques. Ainsi, parmi ceux-ci, le filtre de premier ordre s'atténue le plus lentement et présente donc le moins d'artefacts dans le domaine temporel, mais fuit le plus dans la bande d'arrêt, tandis qu'à mesure que l'ordre augmente, la fuite diminue, mais les artefacts augmentent.

Bien que les artefacts de sonnerie soient généralement considérés comme indésirables, le dépassement initial (halo) aux transitions augmente l'acuité (netteté apparente) en augmentant la dérivée à travers la transition, et peut donc être considéré comme une amélioration.

Un autre artefact est le dépassement (et le dépassement inférieur), qui ne se manifeste pas sous forme d'anneaux, mais sous forme d'un saut accru au niveau de la transition. Il est lié à l'anneau et se produit souvent en combinaison avec lui.

Le dépassement et le sous-dépassement sont causés par une queue négative – dans le sinc, l'intégrale du premier zéro à l'infini, y compris le premier lobe négatif. Alors que la sonnerie est causée par une queue positive suivante – dans le sinc, l'intégrale du deuxième zéro à l'infini, y compris le premier lobe positif non central. Ainsi, le dépassement est nécessaire pour la sonnerie, filtre de Lanczos à 2 lobes n'a qu'un seul lobe négatif de chaque côté, sans lobe positif suivant, et présente donc un dépassement mais pas de sonnerie, tandis que le filtre de Lanczos à 3 lobes présente à la fois un dépassement et une sonnerie, bien que le fenêtrage réduise cela par rapport au filtre sinc ou au filtre sinc tronqué.

De même, le noyau de convolution utilisé dans l'interpolation bicubique est similaire à un sinc fenêtré à 2 lobes, prenant des valeurs négatives, et produit ainsi des artefacts de dépassement, qui apparaissent comme des halos lors des transitions.

Le dépassement et le sous-dépassement entraînent un écrêtage . Si le signal est limité, par exemple un entier de 8 ou 16 bits, ce dépassement et ce sous-dépassement peuvent dépasser la plage de valeurs autorisées, provoquant ainsi un écrêtage.

Strictement parlant, l'écrêtage est causé par la combinaison d'un dépassement et d'une précision numérique limitée, mais il est étroitement associé à la sonnerie et se produit souvent en combinaison avec elle.

L'écrêtage peut également se produire pour des raisons indépendantes de la volonté, à partir d'un signal dépassant simplement la portée d'un canal.

D'autre part, le découpage peut être exploité pour masquer les sonneries dans les images. Certains codecs JPEG modernes, tels que mozjpeg et ISO libjpeg , utilisent une telle astuce pour réduire les sonneries en provoquant délibérément des dépassements dans les résultats IDCT. Cette idée est née d'un patch mozjpeg.

Dans le traitement du signal et les domaines connexes, le phénomène général d'oscillation dans le domaine temporel est appelé sonnerie , tandis que les oscillations dans le domaine fréquentiel sont généralement appelées ondulation , bien que généralement pas « ondulation ».

Une source clé d'ondulation dans le traitement du signal numérique est l'utilisation de fonctions de fenêtre : si l'on prend un filtre à réponse impulsionnelle infinie (RII), tel que le filtre sinc, et qu'on le fenêtre pour lui donner une réponse impulsionnelle finie , comme dans la méthode de conception de fenêtre , alors la réponse en fréquence du filtre résultant est la convolution de la réponse en fréquence du filtre RII avec la réponse en fréquence de la fonction de fenêtre. Notamment, la réponse en fréquence du filtre rectangulaire est la fonction sinc (la fonction rectangulaire et la fonction sinc sont duales de Fourier l'une de l'autre), et donc la troncature d'un filtre dans le domaine temporel correspond à la multiplication par le filtre rectangulaire, donc à la convolution par le filtre sinc dans le domaine fréquentiel, provoquant une ondulation. Dans les symboles, la réponse en fréquence de est En particulier, la troncature de la fonction sinc elle-même donne dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel, donc tout comme le filtrage passe-bas (troncature dans le domaine fréquentiel) provoque une sonnerie dans le domaine temporel, la troncature dans le domaine temporel (fenêtrage par un filtre rectangulaire) provoque une ondulation dans le domaine fréquentiel.

La compression JPEG peut introduire des artefacts de sonnerie lors des transitions nettes, qui sont particulièrement visibles dans le texte.

Cela est dû à la perte de composants haute fréquence, comme dans le cas d'une sonnerie à réponse échelonnée. Le JPEG utilise des blocs 8×8 , sur lesquels la transformée en cosinus discrète (DCT) est effectuée. La DCT est une transformée de Fourier , et la sonnerie se produit en raison de la perte de composants haute fréquence ou de la perte de précision des composants haute fréquence.

Elles peuvent également se produire au bord d'une image : comme le JPEG divise les images en blocs de 8 × 8, si une image n'est pas un nombre entier de blocs, le bord ne peut pas être facilement codé, et des solutions telles que le remplissage avec une bordure noire créent une transition nette dans la source, d'où des artefacts de sonnerie dans l'image codée.

La sonnerie se produit également dans le format JPEG 2000 basé sur les ondelettes .

Les formats JPEG et JPEG 2000 présentent d'autres artefacts, comme illustré ci-dessus, tels que le blocage (« jaggies ») et le bruit de bord (« mosquito noise »), bien que ceux-ci soient dus aux spécificités des formats et ne soient pas des sonneries comme celles décrites ici.

Quelques illustrations :

• Artefacts JPEG de base et JPEG2000 illustrés

Dans le traitement du signal audio , la sonnerie peut provoquer l'apparition d'échos avant et après les transitoires , comme le son impulsif des instruments à percussion , comme les cymbales (il s'agit de sonnerie impulsionnelle ). L'écho ( causal ) après le transitoire n'est pas entendu, car il est masqué par le transitoire, un effet appelé masquage temporel . Ainsi, seul l'écho ( anti-causal ) avant le transitoire est entendu, et le phénomène est appelé pré-écho .

Ce phénomène se produit comme un artefact de compression dans les algorithmes de compression audio qui utilisent des transformées de Fourier , telles que MP3 , AAC et Vorbis .

D'autres phénomènes ont des symptômes similaires à ceux de la sonnerie, mais sont par ailleurs distincts dans leurs causes. Dans les cas où ils provoquent des artefacts circulaires autour de sources ponctuelles, ceux-ci peuvent être qualifiés d'« anneaux » en raison de leur forme ronde (formellement, un anneau ), qui n'est pas liée au phénomène de fréquence de « sonnerie » (décroissance oscillatoire) décrit sur cette page.

L'amélioration des contours , qui vise à augmenter les contours, peut provoquer des phénomènes de sonnerie, en particulier lors d'applications répétées, par exemple par un lecteur DVD suivi d'un téléviseur. Cela peut être réalisé par un filtrage passe- haut , plutôt que par un filtrage passe-bas.

De nombreuses fonctions spéciales présentent une décroissance oscillatoire, et donc la convolution avec une telle fonction produit une sonnerie dans la sortie ; on peut considérer ces sonneries ou restreindre le terme aux artefacts involontaires dans le traitement du signal dans le domaine fréquentiel.

La diffraction de Fraunhofer donne le disque d'Airy comme fonction d'étalement de points , qui présente un motif de sonnerie.

La fonction de Bessel de première espèce, qui est liée à la fonction d'Airy , présente une telle décroissance.

Dans les appareils photo, une combinaison de défocalisation et d'aberration sphérique peut produire des artefacts circulaires (motif « en anneau »). Cependant, le motif de ces artefacts ne doit pas nécessairement être similaire à celui d'un anneau (comme indiqué sur cette page) : ils peuvent présenter une décroissance oscillatoire (cercles d'intensité décroissante) ou d'autres motifs d'intensité, comme une seule bande lumineuse.

Le ghosting est une forme d' interférence de télévision dans laquelle une image est répétée. Bien qu'il ne s'agisse pas d'une sonnerie, on peut l'interpréter comme une convolution avec une fonction qui est 1 à l'origine et ε (l'intensité du fantôme) à une certaine distance, ce qui est formellement similaire aux fonctions ci-dessus (un seul pic discret, plutôt qu'une oscillation continue).

En photographie, le flare est un défaut dans lequel divers cercles peuvent apparaître autour des hautes lumières et avec des fantômes sur toute une photo, en raison d'une lumière indésirable, comme la réflexion et la diffusion d'éléments dans l'objectif.

Des illusions visuelles peuvent se produire lors de transitions, comme dans les bandes de Mach , qui présentent perceptuellement un dépassement/dépassement similaire au phénomène de Gibbs.