Groupe de personnages

En mathématiques , un groupe de caractères est l' ensemble des représentations d'un groupe abélien par des fonctions à valeurs complexes . Ces fonctions peuvent être vues comme des représentations matricielles unidimensionnelles et constituent donc des cas particuliers des caractères de groupe qui apparaissent dans le cadre de la théorie des caractères . Lorsqu'un groupe est représenté par des matrices, la fonction définie par la trace de ces matrices est appelée un caractère ; cependant, ces traces ne forment pas, en général, un groupe. Certaines propriétés importantes de ces caractères unidimensionnels s'appliquent aux caractères en général :

Les caractères sont invariants sur les classes de conjugaison .
Les caractères des représentations irréductibles sont orthogonaux.

L'importance principale du groupe de caractères des groupes abéliens finis réside dans la théorie des nombres , où il sert à construire les caractères de Dirichlet . Le groupe de caractères du groupe cyclique intervient également dans la théorie de la transformée de Fourier discrète . Pour les groupes abéliens localement compacts , le groupe de caractères (sous l'hypothèse de continuité) est fondamental en analyse de Fourier .

Préliminaires

{\displaystyle G </span referrerpolicy=

Soit un groupe abélien. Une fonction

{\displaystyle f:G o \mathbb {C} ^{ imes <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>:</mo><mi>G</mi><mo>→</mo><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mo>×</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f:G o \mathbb {C} ^{ imes }}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle G <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \mathbb {C} ^{ imes }=\mathbb {C} \setminus \{0\ <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mo>×</mo></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>∖</mo><mo>{</mo><mn>0</mn><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {C} ^{ imes }=\mathbb {C} \setminus \{0\}}</annotation></semantics></math></span><img src=

personnage de

{\displaystyle G <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle f(g_{1}g_{2})=f(g_{1})f(g_{2}) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mi>g</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(g_{1}g_{2})=f(g_{1})f(g_{2})}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>g</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}</annotation></semantics></math></span><img src=

Si ${\displaystyle f <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f(g) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(g)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g\in G <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi><mo>∈</mo><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g\in G}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>N</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k\in \mathbb {N} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g^{k}=e <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>g</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>e</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g^{k}=e}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f(g)^{k}=f(g^{k})=f(e)=1 <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>g</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msup><mi>g</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>e</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(g)^{k}=f(g^{k})=f(e)=1}</annotation></semantics></math><img src=$

Chaque caractère f est une constante sur les classes de conjugaison de G , c'est-à-dire f ( hgh ⁻¹ ) = f ( g ). Pour cette raison, un caractère est parfois appelé fonction de classe .

Un groupe abélien fini d' ordre n possède exactement n caractères distincts. Ceux _- ci sont notés f₁ _, ..., fₙ _. La fonction f₁ est la représentation triviale, qui est donnée par ${\displaystyle f_{1}(g)=1 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{1}(g)=1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g\in G <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi><mo>∈</mo><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g\in G}</annotation></semantics></math><img src=$ caractère principal de G ; les autres sont appelés les caractères non principaux .

Définition

Si G est un groupe abélien, alors l'ensemble des caractères f _k forme un groupe abélien pour la multiplication terme à terme. Autrement dit, le produit des caractères ${\displaystyle f_{j <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{j}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f_{k <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{k}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (f_{j}f_{k})(g)=f_{j}(g)f_{k}(g) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mi>f</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>)</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (f_{j}f_{k})(g)=f_{j}(g)f_{k}(g)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g\in G <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi><mo>∈</mo><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g\in G}</annotation></semantics></math><img src=$ groupe de caractères de G et est parfois noté comme ${\displaystyle {\hat {G <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>G</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\hat {G}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\hat {G <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>G</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\hat {G}}}</annotation></semantics></math><img src=$ f ₁ , et l'inverse d'un caractère f _k est son réciproque 1/ f _k . Si ${\displaystyle G <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G}</annotation></semantics></math><img src=$ n , alors ${\displaystyle {\hat {G <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>G</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\hat {G}}}</annotation></semantics></math><img src=$ n . Dans ce cas, puisque ${\displaystyle |f_{k}(g)|=1 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>f</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle |f_{k}(g)|=1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g\in G <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi><mo>∈</mo><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g\in G}</annotation></semantics></math><img src=$

Définition alternative

Il existe une autre définition de groupe de caractères ^{p. 29} qui utilise ${\displaystyle U(1)=\{z\in \mathbb {C} ^{*}:|z|=1\ <semantics><mrow><mstyle><mi>U</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>{</mo><mi>z</mi><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>:</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>z</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle U(1)=\{z\in \mathbb {C} ^{*}:|z|=1\}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{* <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle V/\Lambda <semantics><mrow><mstyle><mi>V</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>Λ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V/\Lambda }</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle { ext{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong V^{\vee }\!/\Lambda ^{\vee }=X^{\vee <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>Hom</mtext></mrow><mo>(</mo><mi>Λ</mi><mo>,</mo><mi>U</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>≅</mo><msup><mi>V</mi><mrow><mo>∨</mo></mrow></msup><mspace></mspace><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mi>Λ</mi><mrow><mo>∨</mo></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>X</mi><mrow><mo>∨</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong V^{\vee }\!/\Lambda ^{\vee }=X^{\vee }}</annotation></semantics></math><img src=$

Nous pouvons exprimer les éléments explicites du groupe de caractères comme suit : rappelons que les éléments de ${\displaystyle U(1) <semantics><mrow><mstyle><mi>U</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle U(1)}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle e^{2\pi ix <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>e</mi><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi><mi>x</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle e^{2\pi ix}}</annotation></semantics></math><img src=$

pour ${\displaystyle x\in \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x\in \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle V <semantics><mrow><mstyle><mi>V</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \phi :\Lambda o U(1) <semantics><mrow><mstyle><mi>ϕ</mi><mo>:</mo><mi>Λ</mi><mo>→</mo><mi>U</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \phi</annotation></semantics></math>:\Lambda o U(1)} <img src=$

peut être factorisé comme une carte

${\displaystyle \phi :\Lambda o \mathbb {R} \xrightarrow {\exp({2\pi i\cdot })} U(1) <semantics><mrow><mstyle><mi>ϕ</mi><mo>:</mo><mi>Λ</mi><mo>→</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mover><mo>→</mo><mpadded><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi><mo>⋅</mo></mrow><mo>)</mo></mpadded></mover><mi>U</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \phi</annotation></semantics></math>:\Lambda o \mathbb {R} \xrightarrow {\exp({2\pi i\cdot })} U(1)} <img src=$

Cela découle des propriétés élémentaires des homomorphismes. Notez que

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (x+y)&=\exp({2\pi i}f(x+y))\\&=\phi (x)+\phi (y)\\&=\exp(2\pi if(x))\exp(2\pi if(y))\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>ϕ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi></mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>ϕ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>ϕ</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\phi (x+y)&=\exp({2\pi i}f(x+y))\\&=\phi (x)+\phi (y)\\&=\exp(2\pi if(x))\exp(2\pi if(y))\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

nous donnant la factorisation souhaitée. En tant que groupe

${\displaystyle { ext{Hom}}(\Lambda ,\mathbb {R} )\cong { ext{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} ) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>Hom</mtext></mrow><mo>(</mo><mi>Λ</mi><mo>,</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>≅</mo><mrow><mtext>Hom</mtext></mrow><mo>(</mo><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{Hom}}(\Lambda ,\mathbb {R} )\cong { ext{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )}</annotation></semantics></math><img src=$

nous avons l'isomorphisme du groupe des caractères, en tant que groupe, avec le groupe des homomorphismes de ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2n <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle { ext{Hom}}(\mathbb {Z} ,G)\cong G <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>Hom</mtext></mrow><mo>(</mo><mrow><mi>Z</mi></mrow><mo>,</mo><mi>G</mi><mo>)</mo><mo>≅</mo><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{Hom}}(\mathbb {Z} ,G)\cong G}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle { ext{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{2n <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>Hom</mtext></mrow><mo>(</mo><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>≅</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{2n}}</annotation></semantics></math><img src=$

Après composition avec l'exponentielle complexe, nous constatons que

${\displaystyle { ext{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},U(1))\cong \mathbb {R} ^{2n}/\mathbb {Z} ^{2n <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>Hom</mtext></mrow><mo>(</mo><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi>U</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>≅</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},U(1))\cong \mathbb {R} ^{2n}/\mathbb {Z} ^{2n}}</annotation></semantics></math><img src=$

ce qui est le résultat attendu.

Exemples

Groupes abéliens de type fini

Puisque tout groupe abélien de type fini est isomorphe à

${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{m}\mathbb {Z} /a_{i <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>≅</mo><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>⊕</mo><munderover><mo>⨁</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></munderover><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><msub><mi>un</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G\cong \mathbb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{m}\mathbb {Z} /a_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$

Le groupe de caractères se calcule aisément dans tous les cas de type fini. À partir de propriétés universelles et de l'isomorphisme entre produits finis et coproduits, on obtient les groupes de caractères de ${\displaystyle G <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle { ext{Hom}}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{k}{ ext{Hom}}(\mathbb {Z} /n_{i},\mathbb {C} ^{*}) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>Hom</mtext></mrow><mo>(</mo><mrow><mi>Z</mi></mrow><mo>,</mo><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><msup><mo>)</mo><mrow><mo>⊕</mo><mi>n</mi></mrow></msup><mo>⊕</mo><munderover><mo>⨁</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover><mrow><mtext>Hom</mtext></mrow><mo>(</mo><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{Hom}}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{k}{ ext{Hom}}(\mathbb {Z} /n_{i},\mathbb {C} ^{*})}</annotation></semantics></math><img src=$

Dans le premier cas, ceci est isomorphe à ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><msup><mo>)</mo><mrow><mo>⊕</mo><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} /n_{i <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mo>∈</mo><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1\in \mathbb {Z} /n_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \zeta _{n_{i}}=\exp(2\pi i/n_{i}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ζ</mi><mrow><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \zeta _{n_{i}}=\exp(2\pi i/n_{i})}</annotation></semantics></math><img src=$

Orthogonalité des caractères

Considérez le ${\displaystyle n imes n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n imes n}</annotation></semantics></math><img src=$ A = A ( G ) dont les éléments matriciels sont ${\displaystyle A_{jk}=f_{j}(g_{k}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{jk}=f_{j}(g_{k})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g_{k <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>g</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g_{k}}</annotation></semantics></math><img src=$ k -ième élément de G.

La somme des éléments de la j -ième ligne de A est donnée par

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{jk}=\sum _{k=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0 <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>f</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{jk}=\sum _{k=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle j eq 1 <semantics><mrow><mstyle><mi>j</mi><mo>≠</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle j eq 1}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{1k}=n <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{1k}=n}</annotation></semantics></math></span><img src=

La somme des éléments de la k -ième colonne de A est donnée par

{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{jk}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0 <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>f</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{jk}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle k eq 1 <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi><mo>≠</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k eq 1}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{j1}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(e)=n <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>f</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>e</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{j1}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(e)=n}</annotation></semantics></math></span><img src=

Laisser ${\displaystyle A^{\ast <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>UN</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A^{\ast }}</annotation></semantics></math><img src=$ A.

{\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A=nI <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mi>UN</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>je</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A=nI}</annotation></semantics></math></span><img src=

Cela implique la relation d'orthogonalité souhaitée pour les caractères : c'est-à-dire,

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{f_{k}}^{*}(g_{i})f_{k}(g_{j})=n\delta _{ij <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msup><mrow><msub><mi>f</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{f_{k}}^{*}(g_{i})f_{k}(g_{j})=n\delta _{ij}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle \delta _{ij <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta _{ij}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f_{k}^{*}(g_{i}) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>f</mi><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{k}^{*}(g_{i})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f_{k}(g_{i}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{k}(g_{i})}</annotation></semantics></math><img src=$