Opérateur linéaire fermé

En analyse fonctionnelle , branche des mathématiques, un opérateur linéaire fermé ou souvent un opérateur fermé est un opérateur linéaire dont le graphe est fermé (voir propriété du graphe fermé ). C'est un exemple basique d' opérateur non borné .

Le théorème du graphe fermé dit qu'un opérateur linéaire entre espaces de Banach est un opérateur fermé si et seulement s'il est un opérateur borné . Par conséquent, un opérateur linéaire fermé utilisé en pratique n'est généralement défini que sur un sous-espace dense d'un espace de Banach.

Il est courant dans l'analyse fonctionnelle de considérer des fonctions partielles , qui sont des fonctions définies sur un sous-ensemble d'un espace. Une fonction partielle est déclarée avec la notation qui indique qu'elle a un prototype (c'est-à-dire que son domaine est et son codomaine est ).

Chaque fonction partielle est, en particulier, une fonction et donc toute la terminologie des fonctions peut leur être appliquée. Par exemple, le graphe d'une fonction partielle est l'ensemble Cependant, une exception à cela est la définition de « graphe fermé ». On dit qu'une fonction partielle a un graphe fermé si est un sous-ensemble fermé de dans la topologie produit ; il est important de noter que l'espace produit est et non tel qu'il a été défini ci-dessus pour les fonctions ordinaires. En revanche, lorsque est considérée comme une fonction ordinaire (plutôt que comme la fonction partielle ), alors « avoir un graphe fermé » signifierait plutôt que est un sous-ensemble fermé de Si est un sous-ensemble fermé de alors c'est aussi un sous-ensemble fermé de bien que l'inverse ne soit pas garanti en général.

Définition : Si X et Y sont des espaces vectoriels topologiques (EVT) alors on appelle une application linéaire f : D ( f ) ⊆ X → Y un opérateur linéaire fermé si son graphe est fermé en X ×  Y .

Un opérateur linéaire estfermable ens'il existe unsous-espace vectoriel contenantet une fonction (resp. multifonction)dont le graphe est égal à la fermeture de l'ensembledansUne telleest appelée unefermeture dedans, est notée paret s'étend nécessairement

Si est un opérateur linéaire fermable alors unnoyau ou unle domaine essentiel deest un sous-ensembletel que la fermeture endu graphe de la restrictiondeàsoit égale à la fermeture du graphe dedans(c'est-à-dire que la fermeture dedansest égale à la fermeture dedans).

Un opérateur borné est un opérateur fermé. Voici des exemples d'opérateurs fermés qui ne sont pas bornés.

• Si est un TVS de Hausdorff et est une topologie vectorielle sur laquelle est strictement plus fine que alors l'application identité est un opérateur linéaire discontinu fermé.
• Considérons l' opérateur dérivé où est l'espace de Banach de toutes les fonctions continues sur un intervalle. Si l'on prend son domaine comme alors est un opérateur fermé, qui n'est pas borné. D'autre part, si est l'espace des fonctions lisses fonctions à valeurs scalaires alors ne sera plus fermé, mais il sera fermable, la fermeture étant son extension définie sur

Les propriétés suivantes sont facilement vérifiées pour un opérateur linéaire f : D ( f ) ⊆ X → Y entre espaces de Banach :

• Si A est fermé alors A − λ Id _{D ( f )} est fermé où λ est un scalaire et Id _{D ( f )} est la fonction identité ;
• Si f est fermé, alors son noyau (ou espace nul) est un sous-espace vectoriel fermé de X ;
• Si f est fermé et injectif alors son inverse f  ⁻¹ est également fermé ;
• Un opérateur linéaire f admet une fermeture si et seulement si pour tout x ∈ X et toute paire de séquences x _• = ( x _i )^∞
  _{i = 1}et y _• = ( y _i )^∞
  _{i = 1}dans D ( f ) tous deux convergents vers x dans X , tels que tous deux f ( x _• ) = ( f ( x _i ))^∞
  _{i = 1}et f ( y _• ) = ( f ( y _i ))^∞
  _{i = 1}convergent en Y , on a lim _{i → ∞} fx _i = lim _{i → ∞} fy _i .