Opérateur non borné

En mathématiques , plus précisément en analyse fonctionnelle et en théorie des opérateurs , la notion d' opérateur non borné fournit un cadre abstrait pour traiter les opérateurs différentiels , les observables non bornées en mécanique quantique et d'autres cas.

Le terme « opérateur non borné » peut être trompeur, car

Il faut parfois comprendre « illimité » comme « pas nécessairement limité » ;
Le terme « opérateur » doit être compris comme « opérateur linéaire » (comme dans le cas de « l'opérateur borné ») ;
le domaine de l'opérateur est un sous-espace linéaire , pas nécessairement l'espace entier ;
ce sous-espace linéaire n'est pas nécessairement fermé ; souvent (mais pas toujours), on suppose qu'il est dense ;
Dans le cas particulier d'un opérateur borné, on suppose néanmoins généralement que le domaine est l'espace entier.

Contrairement aux opérateurs bornés , les opérateurs non bornés sur un espace donné ne forment pas une algèbre , ni même un espace linéaire, car chacun est défini sur son propre domaine.

Le terme « opérateur » signifie souvent « opérateur linéaire borné », mais dans le contexte de cet article, il signifie « opérateur non borné », sous réserve des réserves mentionnées ci-dessus.

Bref historique

La théorie des opérateurs non bornés s'est développée à la fin des années 1920 et au début des années 1930 dans le cadre de l'élaboration d'un cadre mathématique rigoureux pour la mécanique quantique . Ce développement est dû à John von Neumann et Marshall Stone . Von Neumann a introduit l'utilisation des graphes pour analyser les opérateurs non bornés en 1932.

Définitions et propriétés fondamentales

Soient des espaces de Banach . Un opérateur non borné (ou simplement opérateur ) : D ( T ) → Y est une application linéaire — le domaine de Contrairement à la convention habituelle,

Le graphe d'un opérateur ${\displaystyle T <semantics><mrow><mstyle><mi>T</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Y <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}. <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mi>x</mi><msub><mo>‖</mo><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><msqrt><mo>‖</mo><mi>x</mi><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>‖</mo><mi>T</mi><mi>x</mi><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

opérateur [ Ceci inclut également les opérateurs définis sur l'espace et

Si : D ( T ) → Y est fermée, densément définie et continue sur son domaine, alors son domaine est tout l'espace des fonctions continues sur l'intervalle unité, et soit l'espace des fonctions continûment différentiables sur l'intervalle unité. Nous équipons ${\displaystyle C([0,1]) <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi><mo>(</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C([0,1])}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mo>⋅</mo><msub><mo>‖</mo><mrow><mi>∞</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}</annotation></semantics></math><img src=$ d / dx ⁠ : C ¹ ([0, 1]) → C ([0, 1]) par la formule usuelle :

{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}f ight)(x)=\lim _{h o 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1]. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>f</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>h</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mrow><mfrac><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>h</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mi>h</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo><mspace></mspace><mi>∀</mi><mi>x</mi><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}f ight)(x)=\lim _{h o 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1].}</annotation></semantics></math></span><img src=

Toute fonction différentiable est continue, donc . Nous affirmons que nous faut montrer que ${\displaystyle {\frac {d}{dx <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1]) <semantics><mrow><mstyle><mo>{</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msub><mo>}</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>⊂</mo><msup><mi>C</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1])}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }=1 <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msub><mo>‖</mo><mrow><mi>∞</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }=1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sup _{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty }=+\infty <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>souper</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></munder><mo>‖</mo><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msub><mo>‖</mo><mrow><mi>∞</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sup _{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty }=+\infty }</annotation></semantics></math><img src=$

Il s'agit d'un opérateur linéaire, puisqu'une combinaison linéaire f + bg de deux fonctions continûment différentiables est également continûment différentiable, et

{\displaystyle \left({ frac {d}{dx}} ight)(af+bg)=a\left({ frac {d}{dx}}f ight)+b\left({ frac {d}{dx}}g ight). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>(</mo><mrow><mstyle><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>(</mo><mi>un</mi><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>g</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>un</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mstyle><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mi>f</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mstyle><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mi>g</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left({ frac {d}{dx}} ight)(af+bg)=a\left({ frac {d}{dx}}f ight)+b\left({ frac {d}{dx}}g ight).}</annotation></semantics></math></span><img src=

L'opérateur n'est pas borné. Par exemple,

{\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1] o [-1,1]\\f_{n}(x)=\sin(2\pi nx)\end{cases <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>:</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>→</mo><mo>[</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>n</mi><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1] o [-1,1]\\f_{n}(x)=\sin(2\pi nx)\end{cases}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

satisfaire

{\displaystyle \left\|f_{n} ight\|_{\infty }=1, <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mo>‖</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>‖</mo></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left\|f_{n} ight\|_{\infty }=1,}</annotation></semantics></math></span><img src=

mais

{\displaystyle \left\|\left({ frac {d}{dx}}f_{n} ight) ight\|_{\infty }=2\pi n o \infty <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mo>‖</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mstyle><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>‖</mo></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>n</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left\|\left({ frac {d}{dx}}f_{n} ight) ight\|_{\infty }=2\pi n o \infty }</annotation></semantics></math></span><img src=

comme ${\displaystyle n o \infty <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n o \infty }</annotation></semantics></math><img src=$

L'opérateur est défini de manière dense (ce qui peut être démontré par le théorème d'approximation de Weierstrass, puisque l'ensemble des fonctions polynomiales sur [0,1] est contenu dans , tout en étant également dense dans ) et fermé.

Un même opérateur peut être considéré comme un opérateur pour de nombreux espaces de Banach pour d'autres paires d'espaces de Banach , et également comme un opérateur pour certains espaces vectoriels topologiques intervalle ouvert et considérons

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}} ight) o \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty } ight), <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>:</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>C</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>je</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mo>‖</mo><mo>⋅</mo><msub><mo>‖</mo><mrow><msup><mi>C</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>→</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>je</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mo>‖</mo><mo>⋅</mo><msub><mo>‖</mo><mrow><mi>∞</mi></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}} ight) o \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty } ight),}</annotation></semantics></math></span><img src=

où:

{\displaystyle \|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }. <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mi>f</mi><msub><mo>‖</mo><mrow><msup><mi>C</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></msub><mo>=</mo><mo>‖</mo><mi>f</mi><msub><mo>‖</mo><mrow><mi>∞</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mo>‖</mo><msup><mi>f</mi><mo>′</mo></msup><msub><mo>‖</mo><mrow><mi>∞</mi></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Adjoint

L'adjoint d'un opérateur non borné peut être défini de deux manières équivalentes. Soit ${\displaystyle T:D(T)\subseteq H_{1} o H_{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>T</mi><mo>:</mo><mi>D</mi><mo>(</mo><mi>T</mi><mo>)</mo><mo>⊆</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T:D(T)\subseteq H_{1} o H_{2}}</annotation></semantics></math><img src=$

Premièrement, on peut la définir de manière analogue à la définition de l'adjoint d'un opérateur borné. Autrement dit, l'adjoint ${\displaystyle T^{*}:D\left(T^{*} ight)\subseteq H_{2} o H_{1 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>:</mo><mi>D</mi><mrow><mo>(</mo><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mo>⊆</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T^{*}:D\left(T^{*} ight)\subseteq H_{2} o H_{1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \langle Tx\mid y angle _{2}=\left\langle x\mid T^{*}y ight angle _{1},\qquad x\in D(T). <mrow><mstyle><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T^{*}y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle y\in H_{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>∈</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y\in H_{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y angle <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>↦</mo><mo>⟨</mo><mi>T</mi><mi>x</mi><mo>∣</mo><mi>y</mi><mo>⟩</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y angle }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle y <mrow><mstyle><mi>D</mi><mrow><mo>(</mo><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle D\left(T^{*} ight),}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle z <semantics><mrow><mstyle><mi>z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle z}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle H_{1 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>H</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H_{1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \langle Tx\mid y angle _{2}=\langle x\mid z angle _{1},\qquad x\in D(T), <semantics><mrow><mstyle><mo>⟨</mo><mi>T</mi><mi>x</mi><mo>∣</mo><mi>y</mi><msub><mo>⟩</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>⟨</mo><mi>x</mi><mo>∣</mo><mi>z</mi><msub><mo>⟩</mo><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>D</mi><mo>(</mo><mi>T</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \langle Tx\mid y angle _{2}=\langle x\mid z angle _{1},\qquad x\in D(T),}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle H_{1 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>H</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H_{1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle z <semantics><mrow><mstyle><mi>z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle z}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle y <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y angle <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>↦</mo><mo>⟨</mo><mi>T</mi><mi>x</mi><mo>∣</mo><mi>y</mi><mo>⟩</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y angle }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{*}y=z <mrow><mstyle><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T^{*},}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{*}y <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T^{*}y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{* <mrow><mstyle><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle H_{2 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>H</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H_{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y angle <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>↦</mo><mo>⟨</mo><mi>T</mi><mi>x</mi><mo>∣</mo><mi>y</mi><mo>⟩</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y angle }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{* <mrow><mstyle><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T^{*}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{* <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T^{*}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{* <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T^{*}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{* <mrow><mstyle><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T^{**}.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{* </span referrerpolicy=$ est borné.

L'autre définition équivalente de l'adjoint peut être obtenue en remarquant un fait général. Définissons un opérateur linéaire ${\displaystyle J <semantics><mrow><mstyle><mi>J</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{cases}J:H_{1}\oplus H_{2} o H_{2}\oplus H_{1}\\J(x\oplus y)=-y\oplus x\end{cases <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><mi>J</mi><mo>:</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>⊕</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>⊕</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>J</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>⊕</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>⊕</mo><mi>x</mi></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{cases}J:H_{1}\oplus H_{2} o H_{2}\oplus H_{1}\\J(x\oplus y)=-y\oplus x\end{cases}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle J <semantics><mrow><mstyle><mi>J</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle J(\Gamma (T))^{\bot <semantics><mrow><mstyle><mi>J</mi><mo>(</mo><mi>Γ</mi><mo>(</mo><mi>T</mi><mo>)</mo><msup><mo>)</mo><mrow><mi>⊥</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J(\Gamma (T))^{\bot }}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S <mrow><mstyle><mo>⟨</mo><mi>T</mi><mi>x</mi><mo>∣</mo><mi>y</mi><msub><mo>⟩</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>⟨</mo><mi>x</mi><mo>∣</mo><mi>S</mi><mi>y</mi><msub><mo>⟩</mo><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \langle Tx\mid y angle _{2}=\langle x\mid Sy angle _{1},}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{* <mrow><mstyle><mi>T</mi><mo>=</mo><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T=T^{*}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{**}=T. </span referrerpolicy=$

Certaines propriétés bien connues des opérateurs bornés se généralisent aux opérateurs fermés et densément définis. Le noyau d'un opérateur fermé est fermé. De plus, le noyau d'un opérateur fermé et densément défini est fermé. ${\displaystyle T:H_{1} o H_{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>T</mi><mo>:</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T:H_{1} o H_{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }. <semantics><mrow><mstyle><mi>ker</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>T</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>couru</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><msup><mo>)</mo><mrow><mi>⊥</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{*}T <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mi>T</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T^{*}T}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle TT^{* <semantics><mrow><mstyle><mi>T</mi><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle TT^{*}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle I+T^{*}T <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mo>+</mo><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mi>T</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I+T^{*}T}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle I+TT^{* <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mo>+</mo><mi>T</mi><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I+TT^{*}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{* <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T^{*}}</annotation></semantics></math><img src=$ $0 K > 0$ 0 tel que ${\displaystyle \|f\|_{2}\leq K\left\|T^{*}f ight\|_{1 <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mi>f</mi><msub><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>K</mi><msub><mrow><mo>‖</mo><mrow><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mi>f</mi></mrow><mo>‖</mo></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|f\|_{2}\leq K\left\|T^{*}f ight\|_{1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle D\left(T^{*} ight). <semantics><mrow><mstyle><mi>D</mi><mrow><mo>(</mo><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle D\left(T^{*} ight).}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{* </span referrerpolicy=$ a une portée fermée.

Contrairement au cas borné, il n'est pas nécessaire que ${\displaystyle (TS)^{*}=S^{*}T^{*}, <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>T</mi><mi>S</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>S</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (TS)^{*}=S^{*}T^{*},}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (TS)^{* <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>T</mi><mi>S</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (TS)^{*}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle T^{*}T=TT^{* </span referrerpolicy=$ ;

le domaine de

{\displaystyle T^{*}, </span referrerpolicy=

{\displaystyle \|Tx\|=\left\|T^{*}x ight\| <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mi>T</mi><mi>x</mi><mo>‖</mo><mo>=</mo><mrow><mo>‖</mo><mrow><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mi>x</mi></mrow><mo>‖</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|Tx\|=\left\|T^{*}x ight\|}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle A,B </span referrerpolicy=

tel que

{\displaystyle T=A+iB, <semantics><mrow><mstyle><mi>T</mi><mo>=</mo><mi>UN</mi><mo>+</mo><mi>je</mi><mi>B</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T=A+iB,}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle T^{*}=A-iB, <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>=</mo><mi>UN</mi><mo>−</mo><mi>je</mi><mi>B</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T^{*}=A-iB,}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|Bx\|^{2 <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mi>T</mi><mi>x</mi><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mo>‖</mo><mi>UN</mi><mi>x</mi><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>‖</mo><mi>B</mi><mi>x</mi><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|Bx\|^{2}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Tout opérateur auto-adjoint est normal.

Transposer

{\displaystyle T:B_{1} o B_{2 </span referrerpolicy=

Soit un opérateur entre espaces de Banach. Alors la transposée (ou duale )

{\displaystyle {}^{t}T:{B_{2}}^{*} o {B_{1}}^{* <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup><mi>T</mi><mo>:</mo><msup><mrow><msub><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>→</mo><msup><mrow><msub><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {}^{t}T:{B_{2}}^{*} o {B_{1}}^{*}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle T <semantics><mrow><mstyle><mi>T</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \langle Tx,y' angle =\langle x,\left({}^{t}T ight)y' angle <semantics><mrow><mstyle><mo>⟨</mo><mi>T</mi><mi>x</mi><mo>,</mo><msup><mi>y</mi><mo>′</mo></msup><mo>⟩</mo><mo>=</mo><mo>⟨</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mrow></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup><mi>T</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><msup><mi>y</mi><mo>′</mo></msup><mo>⟩</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \langle Tx,y' angle =\langle x,\left({}^{t}T ight)y' angle }</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle x\in B_{1 <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>∈</mo><msub><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x\in B_{1}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle y\in B_{2}^{*}. <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>∈</mo><msubsup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y\in B_{2}^{*}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \langle x,x' angle =x'(x). <semantics><mrow><mstyle><mo>⟨</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><msup><mi>x</mi><mo>′</mo></msup><mo>⟩</mo><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \langle x,x' angle =x'(x).}</annotation></semantics></math></span><img src=

La condition nécessaire et suffisante pour la transposée de ${\displaystyle T <semantics><mrow><mstyle><mi>T</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T <semantics><mrow><mstyle><mi>T</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour tout espace de Hilbert ${\displaystyle H, <semantics><mrow><mstyle><mi>H</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle J:H^{*} o H <semantics><mrow><mstyle><mi>J</mi><mo>:</mo><msup><mi>H</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>→</mo><mi>H</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J:H^{*} o H}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Jf=y <semantics><mrow><mstyle><mi>J</mi><mi>f</mi><mo>=</mo><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Jf=y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f(x)=\langle x\mid y angle _{H},(x\in H). <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>⟨</mo><mi>x</mi><mo>∣</mo><mi>y</mi><msub><mo>⟩</mo><mrow><mi>H</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>H</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(x)=\langle x\mid y angle _{H},(x\in H).}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {}^{t}T <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup><mi>T</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {}^{t}T}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{* <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T^{*}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle T^{*}=J_{1}\left({}^{t}T ight)J_{2}^{-1}, <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>=</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mrow></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup><mi>T</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><msubsup><mi>J</mi><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle T^{*}=J_{1}\left({}^{t}T ight)J_{2}^{-1},}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle J_{j}:H_{j}^{*} o H_{j <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>:</mo><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>→</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{j}:H_{j}^{*} o H_{j}}</annotation></semantics></math><img src=$

Opérateurs linéaires fermés

deux espaces de Banach . Un opérateur linéaire : D ( A ) ⊆ X → Y est fermé si, pour toute { D vers x que lorsque a et . De manière équivalente,

Étant donné un opérateur linéaire est le graphe d'un certain opérateur, cet opérateur est appelé l' adhérence de est fermable . On note Il s'ensuit que à .

Un noyau (ou domaine essentiel ) d'un opérateur fermable est un sous-ensemble tel que la fermeture de la restriction de soit .

Exemple

Considérons l' opérateur de dérivation / dx , où Banach des fonctions continues sur l' intervalle . Si son domaine est , alors , alors .

Opérateurs symétriques et opérateurs auto-adjoints

, on a

{\displaystyle \langle Tx\mid y angle =\langle x\mid Ty angle <semantics><mrow><mstyle><mo>⟨</mo><mi>T</mi><mi>x</mi><mo>∣</mo><mi>y</mi><mo>⟩</mo><mo>=</mo><mo>⟨</mo><mi>x</mi><mo>∣</mo><mi>T</mi><mi>y</mi><mo>⟩</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \langle Tx\mid y angle =\langle x\mid Ty angle }</annotation></semantics></math></span><img src=

En général, si T est définie de manière dense et symétrique, le domaine de son adjoint T ^* n'est pas nécessairement égal à celui de T. Si T est symétrique et que son domaine et celui de son adjoint coïncident, alors on dit que T est auto-adjoint . Notons que, lorsque T est auto-adjoint, l'existence de son adjoint implique que T est définie de manière dense et, puisque T ^* est nécessairement fermée, T est fermée.

Un opérateur T à définition dense est symétrique si le sous-espace (défini dans une section précédente) est orthogonal à son image par J (où J ( x , y ):=( y , -x ) ).

De manière équivalente, un opérateur T est auto-adjoint s'il est densément défini, fermé, symétrique et satisfait la quatrième condition : les deux opérateurs , sont surjectifs, c'est-à-dire qu'ils appliquent le domaine de T sur tout l'espace H . En d'autres termes : pour tout x dans H, il existe y et z dans le domaine de T tels que et .

Un opérateur T est auto-adjoint si les deux sous-espaces , sont orthogonaux et si leur somme est l'espace entier. ${\displaystyle H\oplus H. <semantics><mrow><mstyle><mi>H</mi><mo>⊕</mo><mi>H</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H\oplus H.}</annotation></semantics></math><img src=$

Cette approche ne couvre pas les opérateurs fermés non définis de manière dense. Les opérateurs symétriques non définis de manière dense peuvent être définis directement ou via des graphes, mais pas via des opérateurs adjoints.

Un opérateur symétrique est souvent étudié via sa transformée de Cayley .

Un opérateur T sur un espace de Hilbert complexe est symétrique si et seulement si le nombre ${\displaystyle \langle Tx\mid x angle <semantics><mrow><mstyle><mo>⟨</mo><mi>T</mi><mi>x</mi><mo>∣</mo><mi>x</mi><mo>⟩</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \langle Tx\mid x angle }</annotation></semantics></math><img src=$ x dans le domaine de T .

Un opérateur symétrique fermé T, défini de manière dense , est auto-adjoint si et seulement si T ^* est symétrique. Il se peut qu'il ne le soit pas.

Un opérateur T à définition dense est dit positif (ou non négatif ) si sa forme quadratique est non négative, c'est-à-dire, ${\displaystyle \langle Tx\mid x angle \geq 0 <semantics><mrow><mstyle><mo>⟨</mo><mi>T</mi><mi>x</mi><mo>∣</mo><mi>x</mi><mo>⟩</mo><mo>≥</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \langle Tx\mid x angle \geq 0}</annotation></semantics></math><img src=$ x dans le domaine de T. Un tel opérateur est nécessairement symétrique.

L'opérateur T ^∗T est auto-adjoint et positif pour tout T fermé densément défini .

Un opérateur symétrique défini de manière dense sur un espace de Hilbert est un opérateur positif pour un certain nombre réel tout (ou, de manière équivalente, a arbitraire). Si sont tous deux minorés, alors borné.

Par définition, un opérateur T est une extension d'un opérateur S si . Une définition directe équivalente : pour tout x appartenant au domaine de S , x appartient au domaine de T et .

Il est à noter que pour tout opérateur, il existe une extension définie partout, ce qui est un fait purement algébrique expliqué dans la Théorème général d'existence) et fondé sur l' axiome du choix . Si l'opérateur donné n'est pas borné, alors l'extension est une application linéaire discontinue . Elle est peu utile car elle ne peut pas préserver les propriétés importantes de l'opérateur donné (voir ci-dessous) et est généralement loin d'être unique.

Un opérateur T est dit fermable s'il satisfait les conditions équivalentes suivantes :

T possède une extension fermée ;
la fermeture du graphe de T est le graphe d'un opérateur ;
pour toute séquence ( x _n ) de points du domaine de T telle que x _n → 0 et aussi Tx _n → y, il s'ensuit que .

Tous les opérateurs ne sont pas fermables.

Un opérateur fermable T possède l'extension fermée minimale ${\displaystyle {\overline {T <semantics><mrow><mstyle><mrow><mover><mi>T</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overline {T}}}</annotation></semantics></math><img src=$ fermeture de T. La fermeture du graphe de T est égale au graphe de ${\displaystyle {\overline {T}}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mover><mi>T</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overline {T}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Un opérateur T à définition dense est fermable si et seulement si T ^∗ est à définition dense. Dans ce cas ${\displaystyle {\overline {T}}=T^{** <semantics><mrow><mstyle><mrow><mover><mi>T</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mo>=</mo><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo><mo>∗</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overline {T}}=T^{**}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle ({\overline {T}})^{*}=T^{*}. <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mrow><mover><mi>T</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><msup><mo>)</mo><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>T</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle ({\overline {T}})^{*}=T^{*}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Si S est densément défini et T est une extension de S, alors S ^∗ est une extension de T ^∗ .

Tout opérateur symétrique est fermable.

Un opérateur symétrique est dit maximal symétrique s'il n'admet aucune extension symétrique autre que lui-même. Tout opérateur auto-adjoint est maximal symétrique. La réciproque est fausse.

Un opérateur est dit essentiellement auto-adjoint si sa fermeture est auto-adjointe. Un opérateur est essentiellement auto-adjoint si et seulement s'il possède une et une seule extension auto-adjointe.

Un opérateur symétrique peut avoir plusieurs extensions auto-adjointes, voire un continuum de celles-ci.

Un opérateur symétrique à définition dense T est essentiellement auto-adjoint si et seulement si les deux opérateurs , ont une image dense.

Soit T un opérateur à définition dense. En notant la relation « T est une extension de S » par S ⊂ T (une abréviation conventionnelle pour Γ( S ) ⊆ Γ( T )), on a ce qui suit.

Si T est symétrique, alors T ⊂ T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
Si T est fermé et symétrique, alors T = T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
Si T est auto-adjoint, alors T = T ^∗∗ = T ^∗ .
Si T est essentiellement auto-adjoint, alors T ⊂ T ^∗∗ = T ^∗ .

Importance des opérateurs auto-adjoints

La classe des opérateurs auto-adjoints est particulièrement importante en physique mathématique. Tout opérateur auto-adjoint est défini de manière dense, fermé et symétrique. La réciproque est vraie pour les opérateurs bornés, mais n'est pas vraie en général. L'auto-adjonction est une propriété bien plus restrictive que ces trois propriétés. Le célèbre théorème spectral s'applique aux opérateurs auto-adjoints. Combiné au théorème de Stone sur les groupes unitaires à un paramètre, il montre que les opérateurs auto-adjoints sont précisément les générateurs infinitésimaux de groupes unitaires à un paramètre fortement continus. De tels groupes unitaires sont particulièrement importants pour décrire l'évolution temporelle en mécanique classique et quantique.