Théorème de la portée fermée

Dans la théorie mathématique des espaces de Banach , le théorème de portée fermée donne les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un opérateur fermé densément défini ait une portée fermée .

Le théorème a été prouvé par Stefan Banach dans sa Théorie des opérations linéaires de 1932 .

Déclaration

Soient et des espaces de Banach, un opérateur linéaire fermé dont le domaine est dense en et la transposée de . Le théorème affirme que les conditions suivantes sont équivalentes : ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T:D(T) o Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>:</mo> <mi>D</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> <mo>→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T:D(T)\à Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle D(T) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>D</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle D(T)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T' <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T'}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle R(T), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R(T),}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle R(T'), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R(T'),}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T', <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T',}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X', <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>X</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X',}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle R(T)=N(T')^{\perp }=\left\{y\in Y:\langle x^{*},y angle =0\quad { ext{for all}}\quad x^{*}\in N(T') ight\}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>⊥</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>et</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> <mo>:</mo> <mo>⟨</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mtext>pour tous</mtext> </mrow> <mspace></mspace> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R(T)=N(T')^{\perp }=\gauche\{y\in Y:\langle x^{*},y angle =0\quad { ext{pour tout}}\quad x^{*}\in N(T')\droite\}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle R(T')=N(T)^{\perp }=\left\{x^{*}\in X':\langle x^{*},y angle =0\quad { ext{for all}}\quad y\in N(T) ight\}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>⊥</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <msup> <mi>X</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>:</mo> <mo>⟨</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mtext>pour tous</mtext> </mrow> <mspace></mspace> <mi>et</mi> <mo>∈</mo> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R(T')=N(T)^{\perp }=\gauche\{x^{*}\dans X':\langle x^{*},y angle =0\quad { ext{pour tout}}\quad y\dans N(T)\droite\}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Où et sont les espaces nuls de et , respectivement. ${\displaystyle N(T) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle N(T)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle N(T') <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle N(T')}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T' <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T'}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Notez qu'il y a toujours une inclusion , car si et , alors . De même, il y a une inclusion . Ainsi, la partie non triviale du théorème ci-dessus est l'inclusion opposée dans les deux dernières puces. ${\displaystyle R(T)\subseteq N(T')^{\perp <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> <mo>⊆</mo> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>⊥</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R(T)\subseteq N(T')^{\perp }}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle y=Tx <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>et</mi> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y=Tx}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x^{*}\in N(T') <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x^{*}\dans N(T')}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \langle x^{*},y angle =\langle T'x^{*},x angle =0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⟨</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mo>⟨</mo> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \langle x^{*},y angle =\langle T'x^{*},x angle =0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R(T')\subseteq N(T)^{\perp <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> <mo>⊆</mo> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>⊥</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R(T')\subseteq N(T)^{\perp }}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Corollaires

Plusieurs corollaires découlent immédiatement du théorème. Par exemple, un opérateur fermé densément défini comme ci-dessus a si et seulement si la transposée a un inverse continu. De même, si et seulement si a un inverse continu. ${\displaystyle T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R(T)=Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R(T)=Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T' <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T'}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R(T')=X' <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>X</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R(T')=X'}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Esquisse de la preuve

Le graphe de T étant fermé, la preuve se réduit au cas où est un opérateur borné entre espaces de Banach. Maintenant, facteurs comme . Dualement, est ${\displaystyle T:X o Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T:X\à Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X{\overset {p}{ o }}X/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{ o }}\operatorname {im} T{\overset {i}{\hookrightarrow }}Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mrow> <mover> <mo>→</mo> <mi>p</mi> </mover> </mrow> <mi>X</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>ker</mi> <mo>⁡</mo> <mi>T</mi> <mrow> <mover> <mo>→</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mover> </mrow> <mi>je suis</mi> <mo>⁡</mo> <mi>T</mi> <mrow> <mover> <mo>↪</mo> <mi>je</mi> </mover> </mrow> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X{\overset {p}{ o }}X/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{ o }}\operatorname {im} T{\overset {i}{ \hookrightarrow }}Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T' <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T'}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle Y' o (\operatorname {im} T)'{\overset {T_{0}'}{ o }}(X/\operatorname {ker} T)' o X'. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>Y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>→</mo> <mo>(</mo> <mi>je suis</mi> <mo>⁡</mo> <mi>T</mi> <msup> <mo>)</mo> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mover> <mo>→</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mover> </mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>ker</mi> <mo>⁡</mo> <mi>T</mi> <msup> <mo>)</mo> <mo>′</mo> </msup> <mo>→</mo> <msup> <mi>X</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y'\à ( om_opérateur {im} T)'{\overset {T_{0}'}{\à }}(X/ om_opérateur {ker} T)'\à X'.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Or, si est fermé, alors c'est Banach et donc par le théorème d'application ouverte , est un isomorphisme topologique. Il s'ensuit que est un isomorphisme et alors . (Plus de travail est nécessaire pour les autres implications.) ${\displaystyle \operatorname {im} T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>je suis</mi> <mo>⁡</mo> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {im} T}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T_{0}' <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T_{0}'}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {im} (T')=\operatorname {ker} (T)^{\bot <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>je suis</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>ker</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>⊥</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {im} (T')=\operatorname {ker} (T)^{\bot }}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \square <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>◻</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \carré}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Théorie des opérations linéaires ] (PDF) . Monographie Matematyczne (en français). Vol. 1. Varsovie : Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Archivé de l'original (PDF) le 11/01/2014 .
Yosida, K. (1980), Analyse fonctionnelle , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Principes fondamentaux des sciences mathématiques), vol. 123 (6e éd.), Berlin, New York : Springer-Verlag.

Thèmes de l'espace Banach