Worldlex Wiki En algèbre linéaire , un vecteur colonne avec éléments est une matrice constituée d'une seule colonne de entrées, par exemple,
De même, un vecteur de ligne est une matrice pour certains , composée d'une seule ligne de entrées, (tout au long de cet article, le gras est utilisé pour les vecteurs de ligne et de colonne.)
La transposée (indiquée par T ) de tout vecteur ligne est un vecteur colonne, et la transposée de tout vecteur colonne est un vecteur ligne : et
L'ensemble de tous les vecteurs de lignes avec n entrées dans un champ donné (comme les nombres réels ) forme un espace vectoriel à n dimensions ; de même, l'ensemble de tous les vecteurs de colonnes avec m entrées forme un espace vectoriel à m dimensions.
L'espace des vecteurs lignes à n entrées peut être considéré comme l' espace dual de l'espace des vecteurs colonnes à n entrées, puisque toute fonctionnelle linéaire sur l'espace des vecteurs colonnes peut être représentée comme la multiplication à gauche d'un vecteur ligne unique.
Notation
Pour simplifier l'écriture des vecteurs de colonnes en ligne avec d'autres textes, ils sont parfois écrits sous forme de vecteurs de lignes avec l'opération de transposition qui leur est appliquée.
ou
Certains auteurs utilisent également la convention d'écrire à la fois les vecteurs de colonnes et les vecteurs de lignes sous forme de lignes, mais en séparant les éléments de vecteurs de lignes par des virgules et les éléments de vecteurs de colonnes par des points-virgules (voir la notation alternative 2 dans le tableau ci-dessous).
Opérations
La multiplication de matrice implique l'action de multiplier chaque vecteur de ligne d'une matrice par chaque vecteur de colonne d'une autre matrice.
Le produit scalaire de deux vecteurs colonnes a , b , considérés comme éléments d'un espace de coordonnées, est égal au produit matriciel de la transposée de a avec b ,
Par la symétrie du produit scalaire, le produit scalaire de deux vecteurs colonnes a , b est également égal au produit matriciel de la transposée de b avec a ,
Le produit matriciel d'un vecteur colonne et d'un vecteur ligne donne le produit extérieur de deux vecteurs a , b , un exemple du produit tensoriel plus général . Le produit matriciel de la représentation vectorielle colonne de a et de la représentation vectorielle ligne de b donne les composantes de leur produit dyadique,
qui est la transposée du produit matriciel de la représentation vectorielle colonne de b et de la représentation vectorielle ligne de a ,
Transformations matricielles
Une matrice n × n M peut représenter une application linéaire et agir sur les vecteurs lignes et colonnes comme matrice de transformation de l'application linéaire . Pour un vecteur ligne v , le produit v M est un autre vecteur ligne p :
Une autre matrice n × n Q peut agir sur p ,
On peut alors écrire t = p Q = v MQ , donc la transformation du produit matriciel MQ mappe v directement sur t . En continuant avec les vecteurs de lignes, des transformations matricielles reconfigurant davantage l'espace n peuvent être appliquées à droite des sorties précédentes.
Lorsqu'un vecteur colonne est transformé en un autre vecteur colonne sous une action matricielle n × n , l'opération se produit à gauche,
conduisant à l'expression algébrique QM v T pour la sortie composée de l'entrée v T. Les transformations matricielles montent vers la gauche dans cette utilisation d'un vecteur colonne pour l'entrée vers la transformation matricielle.