Catégorie virgule

En mathématiques , une catégorie virgule (un cas particulier étant une catégorie de tranche ) est une construction de la théorie des catégories . Elle fournit une autre façon de considérer les morphismes : au lieu de simplement relier les objets d'une catégorie les uns aux autres, les morphismes deviennent des objets à part entière. Cette notion a été introduite en 1963 par FW Lawvere (Lawvere, 1963 p. 36), bien que la technique ne soit que de nombreuses années plus tard. Plusieurs concepts mathématiques peuvent être traités comme des catégories virgule. Les catégories virgule garantissent également l'existence de certaines limites et colimites . Le nom vient de la notation utilisée à l'origine par Lawvere, qui impliquait la ponctuation virgule . Le nom persiste même si la notation standard a changé, car l'utilisation d'une virgule comme opérateur est potentiellement déroutante, et même Lawvere n'aime pas le terme peu informatif de « catégorie virgule » (Lawvere, 1963 p. 13).

La construction la plus générale d'une catégorie de virgule implique deux foncteurs ayant le même codomaine. Souvent, l'un d'eux aura le domaine 1 (la catégorie à un objet et un morphisme). Certaines théories des catégories ne prennent en compte que ces cas particuliers, mais le terme catégorie de virgule est en fait beaucoup plus général.

Supposons que , , et sont des catégories, et et (pour la source et la cible) sont des foncteurs :

Nous pouvons former la catégorie virgule comme suit :

• Les objets sont tous des triplets avec un objet dans , un objet dans , et un morphisme dans .
• Les morphismes de à sont tous des couples où et sont des morphismes dans et respectivement, tels que le diagramme suivant commute :

Les morphismes sont composés en prenant pour , chaque fois que cette dernière expression est définie. Le morphisme identité sur un objet est .

Le premier cas particulier se produit lorsque , le foncteur est le foncteur identité , et (la catégorie avec un objet et un morphisme). Alors pour un objet dans .

Dans ce cas, la catégorie virgule s'écrit , et est souvent appelée catégorie de tranche sur ou catégorie d' objets sur . Les objets peuvent être simplifiés en paires , où . Parfois, est noté . Un morphisme de à dans la catégorie de tranche peut alors être simplifié en une flèche, ce qui fait commuter le diagramme suivant :

Le concept dual d'une catégorie de tranches est une catégorie de coslices. Ici, , a pour domaine et est un foncteur identité.

Dans ce cas, la catégorie virgule est souvent écrite , où est l'objet de sélectionné par . On l'appelle la catégorie coslice par rapport à , ou la catégorie des objets sous . Les objets sont des paires avec . Étant donné et , un morphisme dans la catégorie coslice est une application faisant commuter le diagramme suivant :

Dans ce cas, la catégorie virgule est la catégorie flèche . Ses objets sont les morphismes de , et ses morphismes sont des carrés commutants dans .

Dans le cas de la catégorie slice ou coslice, le foncteur identité peut être remplacé par un autre foncteur ; cela donne une famille de catégories particulièrement utile dans l'étude des foncteurs adjoints . Par exemple, si est le foncteur oublieux associant un groupe abélien à son ensemble sous-jacent , et est un ensemble fixe (considéré comme un foncteur de 1 ), alors la catégorie virgule a des objets qui sont des applications de à un ensemble sous-jacent à un groupe. Cela se rapporte à l'adjoint gauche de , qui est le foncteur qui associe un ensemble au groupe abélien libre ayant cet ensemble comme base. En particulier, l' objet initial de est l'injection canonique , où est le groupe libre engendré par .

Un objet de est appelé un morphisme de à ou une flèche -costructurée de domaine . Un objet de est appelé un morphisme de à ou une flèche -costructurée de codomaine .

Un autre cas particulier se produit lorsque et sont tous deux des foncteurs de domaine . Si et , alors la catégorie virgule , notée , est la catégorie discrète dont les objets sont des morphismes de à .

Une catégorie d'insertion est une sous-catégorie (non complète) de la catégorie virgule où et sont obligatoires. La catégorie virgule peut également être considérée comme l'insertion de et , où et sont les deux foncteurs de projection hors de la catégorie produit .

Pour chaque catégorie de virgule, il existe des foncteurs oublieux.

• Foncteur de domaine, , qui mappe :
  • objets : ;
  • morphismes : ;
• Foncteur de codomaine, , qui mappe :
  • objets : ;
  • morphismes : .
• Foncteur flèche, , qui mappe :
  • objets : ;
  • morphismes : ;

Plusieurs catégories intéressantes ont une définition naturelle en termes de catégories de virgules.

• La catégorie des ensembles pointés est une catégorie virgule, avec (un foncteur sélectionnant) tout ensemble singleton , et (le foncteur identité de) la catégorie des ensembles . Chaque objet de cette catégorie est un ensemble, ainsi qu'une fonction sélectionnant un élément de l'ensemble : le "point de base". Les morphismes sont des fonctions sur les ensembles qui font correspondre des points de base à des points de base. De la même manière, on peut former la catégorie des espaces pointés .
• La catégorie des algèbres associatives sur un anneau est la catégorie des coslices , puisque tout homomorphisme d'anneau induit une structure d'algèbre associative sur , et vice versa. Les morphismes sont alors des applications qui font commuter le diagramme.
• La catégorie des graphes est , le foncteur prenant un ensemble à . Les objets sont alors constitués de deux ensembles et d'une fonction ; est un ensemble d'indexation, est un ensemble de nœuds et choisit des paires d'éléments de pour chaque entrée de . C'est-à-dire, sélectionne certaines arêtes dans l'ensemble des arêtes possibles. Un morphisme de cette catégorie est constitué de deux fonctions, l'une sur l'ensemble d'indexation et l'autre sur l'ensemble de nœuds. Elles doivent « concorder » selon la définition générale ci-dessus, ce qui signifie qu'elles doivent satisfaire à . En d'autres termes, l'arête correspondant à un certain élément de l'ensemble d'indexation, une fois translatée, doit être la même que l'arête de l'index translaté.
• De nombreuses opérations d'« augmentation » ou d'« étiquetage » peuvent être exprimées en termes de catégories à virgule. Soit le foncteur amenant chaque graphe à l'ensemble de ses arêtes, et soit (un foncteur sélectionnant) un ensemble particulier : alors est la catégorie des graphes dont les arêtes sont étiquetées par des éléments de . Cette forme de catégorie à virgule est souvent appelée objets -sur - étroitement liée aux « objets sur » discutés ci-dessus. Ici, chaque objet prend la forme , où est un graphe et une fonction des arêtes de à . Les nœuds du graphe pourraient être étiquetés essentiellement de la même manière.
• Une catégorie est dite localement cartésienne fermée si toutes ses tranches sont cartésiennes fermées (voir ci-dessus pour la notion de tranche ). Les catégories localement cartésiennes fermées sont les catégories classificatrices des théories des types dépendants .

Les limites et les colimites dans les catégories à virgule peuvent être « héritées ». Si et sont complets , est un foncteur continu et est un autre foncteur (pas nécessairement continu), alors la catégorie à virgule produite est complète, et les foncteurs de projection et sont continus. De même, si et sont cocomplets, et est cocontinu , alors est cocomplet et les foncteurs de projection sont cocontinus.

Par exemple, notez que dans la construction ci-dessus de la catégorie des graphes comme catégorie virgule, la catégorie des ensembles est complète et cocomplète, et le foncteur identité est continu et cocontinu. Ainsi, la catégorie des graphes est complète et cocomplète.

La notion de morphisme universel vers une colimite particulière, ou à partir d'une limite, peut être exprimée en termes de catégorie virgule. Essentiellement, nous créons une catégorie dont les objets sont des cônes, et où le cône limitant est un objet terminal ; alors, chaque morphisme universel pour la limite est simplement le morphisme vers l'objet terminal. Cela fonctionne dans le cas dual, avec une catégorie de cocons ayant un objet initial. Par exemple, soit une catégorie avec le foncteur prenant chaque objet vers et chaque flèche vers . Un morphisme universel de vers consiste, par définition, en un objet et un morphisme avec la propriété universelle que pour tout morphisme il existe un unique morphisme avec . En d'autres termes, c'est un objet de la catégorie virgule ayant un morphisme vers tout autre objet de cette catégorie ; il est initial. Cela sert à définir le coproduit dans , quand il existe.

William Lawvere a montré que les foncteurs et sont adjoints si et seulement si les catégories virgules et , avec et les foncteurs identités sur et respectivement, sont isomorphes, et que des éléments équivalents dans la catégorie virgule peuvent être projetés sur le même élément de . Cela permet de décrire des adjonctions sans impliquer d'ensembles, et était en fait la motivation originale pour l'introduction des catégories virgules.

Si les domaines de sont égaux, alors le diagramme qui définit les morphismes dans avec est identique au diagramme qui définit une transformation naturelle . La différence entre les deux notions est qu'une transformation naturelle est une collection particulière de morphismes de type de la forme , tandis que les objets de la catégorie virgule contiennent tous les morphismes de type de cette forme. Un foncteur de la catégorie virgule sélectionne cette collection particulière de morphismes. Ceci est décrit succinctement par une observation de SA Huq selon laquelle une transformation naturelle , avec , correspond à un foncteur qui associe chaque objet à et associe chaque morphisme à . Il s'agit d'une correspondance bijective entre les transformations naturelles et les foncteurs qui sont des sections des deux foncteurs oublieux de .

• Catégorie virgule au n Lab
• Lawvere, W (1963). « Sémantique fonctorielle des théories algébriques » et « Quelques problèmes algébriques dans le contexte de la sémantique fonctorielle des théories algébriques ». http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf