Worldlex Wiki En théorie des nombres , les fonctions des entiers positifs qui respectent les produits sont importantes et sont appelées fonctions complètement multiplicatives ou fonctions totalement multiplicatives . Une condition plus faible est également importante : les fonctions ne respectent que les produits de nombres premiers entre eux et sont alors appelées fonctions multiplicatives . En dehors de la théorie des nombres, le terme « fonction multiplicative » est souvent considéré comme synonyme de « fonction complètement multiplicative », telle que définie dans cet article.
Définition
Une fonction complètement multiplicative (ou fonction totalement multiplicative) est une fonction arithmétique (c'est-à-dire une fonction dont le domaine est l' ensemble des entiers positifs ), telle que et soit vrai pour tous les entiers positifs a et b .
En notation logique : et a , b ∈ domaine( f ), f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) .
Sans l'exigence que , on pourrait avoir , ce qui impliquerait pour tous les entiers positifs a , un cas trivial qui est exclu par la définition choisie.
La définition ci-dessus peut être reformulée en utilisant le langage de l'algèbre : une fonction complètement multiplicative est un homomorphisme du monoïde
Exemples
L'exemple le plus simple d'une fonction complètement multiplicative est un monôme avec un coefficient dominant 1 : Pour tout entier positif particulier n , définissez f ( a ) = a n . Alors , et .
La fonction de Liouville est un exemple non trivial de fonction complètement multiplicative, tout comme les caractères de Dirichlet , le symbole de Jacobi et le symbole de Legendre .
Propriétés
Une fonction complètement multiplicative est entièrement déterminée par ses valeurs aux nombres premiers, conséquence du théorème fondamental de l'arithmétique . Ainsi, si n est un produit de puissances de nombres premiers distincts, par exemple , alors
Bien que la convolution de Dirichlet de deux fonctions multiplicatives soit multiplicative, la convolution de Dirichlet de deux fonctions complètement multiplicatives ne l'est pas nécessairement. Les fonctions arithmétiques qui peuvent s'écrire comme la convolution de Dirichlet de deux fonctions complètement multiplicatives sont dites quadratiques ou fonctions multiplicatives spécialement multiplicatives. Ce sont des fonctions arithmétiques rationnelles d'ordre ⋅ f , où μ est la fonction de Möbius .
Les fonctions complètement multiplicatives satisfont également à une loi de distributivité. Si f est complètement multiplicative, alors
Preuve de propriété distributive
Séries de Dirichlet
La fonction L de la série de Dirichlet complètement (ou totalement) multiplicative a ( n ) satisfait