Distribution de probabilité conditionnelle

En théorie des probabilités et en statistique , la distribution de probabilité conditionnelle est une distribution de probabilité qui décrit la probabilité d'un résultat étant donné la survenance d'un événement particulier. Étant donné deux variables aléatoires distribuées conjointement et , la distribution de probabilité conditionnelle de donnée est la distribution de probabilité de lorsque est connue pour être une valeur particulière ; dans certains cas, les probabilités conditionnelles peuvent être exprimées sous forme de fonctions contenant la valeur non spécifiée de comme paramètre. Lorsque et sont toutes deux des variables catégorielles , un tableau de probabilité conditionnelle est généralement utilisé pour représenter la probabilité conditionnelle. La distribution conditionnelle contraste avec la distribution marginale d'une variable aléatoire, qui est sa distribution sans référence à la valeur de l'autre variable.

Si la distribution conditionnelle de donnée est une distribution continue , alors sa fonction de densité de probabilité est appelée fonction de densité conditionnelle . Les propriétés d'une distribution conditionnelle, telles que les moments , sont souvent désignées par des noms correspondants tels que la moyenne conditionnelle et la variance conditionnelle .

Plus généralement, on peut se référer à la distribution conditionnelle d'un sous-ensemble d'un ensemble de plus de deux variables ; cette distribution conditionnelle dépend des valeurs de toutes les variables restantes, et si plus d'une variable est incluse dans le sous-ensemble, alors cette distribution conditionnelle est la distribution conjointe conditionnelle des variables incluses.

Pour les variables aléatoires discrètes , la fonction de masse de probabilité conditionnelle donnée peut être écrite selon sa définition comme :

En raison de la présence de dans le dénominateur, ceci est défini uniquement pour les valeurs non nulles (donc strictement positives)

La relation avec la distribution de probabilité donnée est :

Considérons le lancer d'un dé équitable et disons si le nombre est pair (c'est-à-dire 2, 4 ou 6) et sinon. De plus, disons si le nombre est premier (c'est-à-dire 2, 3 ou 5) et sinon.

Ensuite, la probabilité inconditionnelle est de 3/6 = 1/2 (puisqu'il y a six lancers de dés possibles, dont trois sont pairs), tandis que la probabilité conditionnelle est de 1/3 (puisqu'il y a trois lancers de nombres premiers possibles - 2, 3 et 5 - dont un est pair).

De même, pour les variables aléatoires continues , la fonction de densité de probabilité conditionnelle de étant donné l'occurrence de la valeur de peut s'écrire comme

où donne la densité conjointe de et , tandis que donne la densité marginale pour . Dans ce cas également, il est nécessaire que . $0f_X\left(x\right)>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a59e1d2780218984d906bee9f1c73c18f3f56f">

La relation avec la distribution de probabilité donnée est donnée par :

Le concept de distribution conditionnelle d'une variable aléatoire continue n'est pas aussi intuitif qu'il y paraît : le paradoxe de Borel montre que les fonctions de densité de probabilité conditionnelles ne doivent pas nécessairement être invariantes sous les transformations de coordonnées.

Le graphique montre une densité normale conjointe bivariée pour les variables aléatoires et . Pour voir la distribution de conditionnelle à , on peut d'abord visualiser la ligne dans le plan , puis visualiser le plan contenant cette ligne et perpendiculaire au plan. L'intersection de ce plan avec la densité normale conjointe, une fois redimensionnée pour donner l'aire unitaire sous l'intersection, est la densité conditionnelle pertinente de .

Les variables aléatoires , sont indépendantes si et seulement si la distribution conditionnelle de donnée est, pour toutes les réalisations possibles de , égale à la distribution inconditionnelle de . Pour les variables aléatoires discrètes, cela signifie pour toutes les réalisations possibles de et avec . Pour les variables aléatoires continues et , ayant une fonction de densité conjointe , cela signifie pour toutes les réalisations possibles de et avec . $0P(X=x)>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e865b191d2915dac79312558c5fc49d0d9d8d84a">$0f_X\left(x\right)>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a59e1d2780218984d906bee9f1c73c18f3f56f">

Considérée comme une fonction de pour donné , c'est une fonction de masse de probabilité et donc la somme sur l'ensemble (ou intégrale s'il s'agit d'une densité de probabilité conditionnelle) est 1. Considérée comme une fonction de pour donné , c'est une fonction de vraisemblance , de sorte que la somme (ou intégrale) sur l'ensemble n'a pas besoin d'être 1.

De plus, une marge d'une distribution conjointe peut être exprimée comme l'espérance de la distribution conditionnelle correspondante. Par exemple, .

Soit un espace de probabilités, un -corps dans . Étant donné , le théorème de Radon-Nikodym implique qu'il existe une variable aléatoire mesurable , appelée probabilité conditionnelle , telle que pour tout , et une telle variable aléatoire soit définie de manière unique jusqu'à des ensembles de probabilité nulle. Une probabilité conditionnelle est dite régulière si est une mesure de probabilité sur pour tout ae

Cas particuliers :

• Pour l'algèbre sigma triviale , la probabilité conditionnelle est la fonction constante
• Si , alors , la fonction indicatrice (définie ci-dessous).

Soit une variable aléatoire à valeurs multiples. Pour chaque , on définit Pour tout , la fonction est appelée distribution de probabilité conditionnelle de donnée . Si c'est une mesure de probabilité sur , alors elle est dite régulière .

Pour une variable aléatoire à valeur réelle (par rapport au corps borélien sur ), toute distribution de probabilité conditionnelle est régulière. Dans ce cas, presque sûrement.

Pour tout événement , définissez la fonction indicatrice :

qui est une variable aléatoire. Notez que l'espérance de cette variable aléatoire est égale à la probabilité de A elle-même :

Étant donné un champ , la probabilité conditionnelle est une version de l' espérance conditionnelle de la fonction indicatrice pour :

L'espérance d'une variable aléatoire par rapport à une probabilité conditionnelle régulière est égale à son espérance conditionnelle.

Considérons l'espace de probabilité et un corps sous-sigma . Le corps sous-sigma peut être vaguement interprété comme contenant un sous-ensemble des informations de . Par exemple, nous pourrions considérer comme la probabilité de l'événement étant donné les informations de .

Rappelons également qu'un événement est indépendant d'un corps sous-sigma si pour tout . Il est incorrect de conclure en général que l'information dans ne nous dit rien sur la probabilité que l'événement se produise. Cela peut être démontré avec un contre-exemple :

Considérons un espace de probabilités sur l'intervalle unitaire, . Soit le corps sigma de tous les ensembles dénombrables et des ensembles dont le complément est dénombrable. Ainsi, chaque ensemble de a pour mesure ou et est donc indépendant de chaque événement de . Cependant, notez que contient également tous les événements singleton de (ces ensembles qui ne contiennent qu'un seul ). Ainsi, savoir lequel des événements de s'est produit équivaut à savoir exactement lequel s'est produit ! Ainsi, dans un sens, ne contient aucune information sur (il est indépendant de celui-ci), et dans un autre sens, il contient toutes les informations de .