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distribution de probabilité conditionnelle
En théorie des probabilités et en statistique , la distribution de probabilité conditionnelle est une distribution de probabilité qui décrit la probabilité d'un résultat sachant...
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En théorie des probabilités et en statistique , la distribution de probabilité conditionnelle est une distribution de probabilité qui décrit la probabilité d'un résultat sachant qu'un événement particulier s'est produit. Étant donné deux variables aléatoires conjointement distribuées et, la distribution de probabilité conditionnelle dedonnéest la distribution de probabilité dequandest connue pour être une valeur particulière ; dans certains cas, les probabilités conditionnelles peuvent être exprimées comme des fonctions contenant la valeur non spécifiéedecomme paramètre. Lorsque les deuxetPour les variables catégorielles , on utilise généralement un tableau de probabilités conditionnelles afin de représenter leur probabilité conditionnelle. La distribution conditionnelle contraste avec la distribution marginale d'une variable aléatoire, qui est sa distribution indépendamment de la valeur de l'autre variable.
Si la distribution conditionnelle dedonnéSi une distribution est continue , sa fonction de densité de probabilité est appelée fonction de densité conditionnelle . Les propriétés d'une distribution conditionnelle, telles que les moments , sont souvent désignées par des noms correspondants tels que la moyenne conditionnelle et la variance conditionnelle .
Plus généralement, on peut se référer à la distribution conditionnelle d'un sous-ensemble d'un ensemble de plus de deux variables ; cette distribution conditionnelle dépend des valeurs de toutes les autres variables, et si plus d'une variable est incluse dans le sous-ensemble, alors cette distribution conditionnelle est la distribution conjointe conditionnelle des variables incluses.
Distributions discrètes conditionnelles Pour les variables aléatoires discrètes , la fonction de masse de probabilité conditionnelle dedonnépeut s'écrire, conformément à sa définition, comme suit :
En raison de l'occurrence deau dénominateur, ceci n'est défini que pour les valeurs non nulles (donc strictement positives).
La relation avec la distribution de probabilité dedonnéest:
Exemple Considérons le lancer d'un dé équilibré et laissons faire.si le nombre est pair (c'est-à-dire 2, 4 ou 6) etsinon. De plus, laissezsi le nombre est premier (c'est-à-dire 2, 3 ou 5) etsinon.
Alors la probabilité inconditionnelle queest de 3/6 = 1/2 (puisqu'il y a six lancers de dé possibles, dont trois sont pairs), tandis que la probabilité queconditionnellement àest 1/3 (puisqu'il y a trois nombres premiers possibles — 2, 3 et 5 — dont un est pair).
Distributions continues conditionnelles De même, pour les variables aléatoires continues , la fonction de densité de probabilité conditionnelle deétant donné l'apparition de la valeurdepeut s'écrire comme
oùdonne la densité conjointe deet, alors quedonne la densité marginale pour. Dans ce cas également, il est nécessaire que0 f X ( x ) > 0 {\displaystyle f_{X}(x)>0}
La relation avec la distribution de probabilité dedonnéest donné par :
Le concept de distribution conditionnelle d'une variable aléatoire continue n'est pas aussi intuitif qu'il n'y paraît : le paradoxe de Borel montre que les fonctions de densité de probabilité conditionnelle ne sont pas nécessairement invariantes sous les transformations de coordonnées.
Exemple densité conjointe normale bivariéeLe graphique représente une densité conjointe normale bivariée pour les variables aléatoires.et. Pour voir la répartition deconditionnellement à, on peut d'abord visualiser la lignedans leplan , puis visualisez le plan contenant cette ligne et perpendiculaire au plan.plan. L'intersection de ce plan avec la densité normale conjointe, une fois mise à l'échelle pour donner une aire unitaire sous l'intersection, est la densité conditionnelle pertinente de.
Rapport à l'indépendance variables aléatoires,sont indépendants si et seulement si la distribution conditionnelle dedonnéest, pour toutes les réalisations possibles de, égale à la distribution inconditionnelle dePour les variables aléatoires discrètes, cela signifiepour tous les possiblesetavec0 P ( X = x ) > 0 {\displaystyle P(X=x)>0} et, ayant une fonction de densité conjointe , cela signifiepour tous les possiblesetavec0 f X ( x ) > 0 {\displaystyle f_{X}(x)>0}
Propriétés Considéré comme une fonction depour donné,est une fonction de masse de probabilité et donc la somme sur tous(ou intégrale s'il s'agit d'une densité de probabilité conditionnelle) vaut 1. Considérée comme une fonction depour donné, il s'agit d'une fonction de vraisemblance , de sorte que la somme (ou l'intégrale) sur tousIl n'est pas nécessaire que ce soit 1.
De plus, la marginale d'une distribution conjointe peut être exprimée comme l'espérance de la distribution conditionnelle correspondante. Par exemple,.
Laissersoit un espace de probabilité ,un-champ dans. Donné, le théorème de Radon-Nikodym implique qu'il existe un-variable aléatoire mesurable, appelée probabilité conditionnelle , telle quepour chaqueet une telle variable aléatoire est définie de manière unique à des ensembles de probabilité nulle près. Une probabilité conditionnelle est dite régulière est une mesure de probabilité surpour tousae
Cas particuliers :
Pour l'algèbre sigma triviale, la probabilité conditionnelle est la fonction constante Si, alors, la fonction indicatrice (définie ci-dessous ). Laisserêtre unvariable aléatoire à valeurs p. Pour chaque, définirPour tout, la fonctionest appelée la distribution de probabilité conditionnelle dedonnéS'il s'agit d'une mesure de probabilité sur, alors on l'appelle régulier
Pour une variable aléatoire à valeurs réelles (par rapport à la loi de Borel)-champsur), toute distribution de probabilité conditionnelle est régulière. Dans ce cas,presque certainement .
Relation avec l'espérance conditionnelle Pour tout événement, définir la fonction indicatrice :
qui est une variable aléatoire. Notez que l'espérance de cette variable aléatoire est égale à la probabilité de A elle-même :
Étant donné un -champ, la probabilité conditionnelleest une version de l' espérance conditionnelle de la fonction indicatrice pour:
L'espérance d'une variable aléatoire par rapport à une probabilité conditionnelle régulière est égale à son espérance conditionnelle.
Interprétation du conditionnement sur un champ sigma Considérons l'espace de probabilité et un champ sous-sigmaLe champ sous-sigmapeut être interprété de manière générale comme contenant un sous-ensemble des informations contenues dansPar exemple, on pourrait penser àcomme la probabilité de l'événementcompte tenu des informations dans.
Rappelons également qu'un événementest indépendant d'un champ sous-sigmasipour tousIl est incorrect de conclure de manière générale que les informations contenues dansne nous dit rien sur la probabilité de l'événementCela se produit. On peut le démontrer par un contre-exemple :
Considérons un espace de probabilité sur l' intervalle unité ,. LaisserSoit le corps sigma de tous les ensembles dénombrables et des ensembles dont le complémentaire est dénombrable. Ainsi, chaque ensemble dea mesuréouet est donc indépendant de chaque événement dansNotez toutefois quecontient également tous les événements singleton dans(ces ensembles qui ne contiennent qu'un seul). Donc, savoir lequel des événements dansLe fait que cela se soit produit équivaut à savoir exactement lequelC'est arrivé ! Donc, en un sens,ne contient aucune information sur(il en est indépendant), et en un autre sens, il contient toutes les informations dans.
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