Champ vectoriel conservateur

En calcul vectoriel , un champ vectoriel conservateur est un champ vectoriel qui est le gradient d'une fonction . Un champ vectoriel conservateur a la propriété que son intégrale de ligne est indépendante du chemin ; le choix du chemin entre deux points ne change pas la valeur de l'intégrale de ligne. L'indépendance du chemin de l'intégrale de ligne équivaut au fait que le champ vectoriel sous l'intégrale de ligne est conservateur. Un champ vectoriel conservateur est également irrotationnel ; en trois dimensions, cela signifie qu'il a un roulis nul . Un champ vectoriel irrotationnel est nécessairement conservateur à condition que le domaine soit simplement connexe .

Les champs vectoriels conservateurs apparaissent naturellement en mécanique : ce sont des champs vectoriels représentant des forces de systèmes physiques dans lesquels l'énergie est conservée . Pour un système conservateur, le travail effectué lors du déplacement le long d'un chemin dans un espace de configuration ne dépend que des extrémités du chemin, il est donc possible de définir une énergie potentielle indépendante du chemin réellement emprunté.

Dans un espace à deux et trois dimensions, il existe une ambiguïté dans la prise d'une intégrale entre deux points car il existe une infinité de chemins entre les deux points. Outre la ligne droite formée entre les deux points, on pourrait choisir un chemin courbe de plus grande longueur comme le montre la figure. Par conséquent, en général, la valeur de l'intégrale dépend du chemin emprunté. Cependant, dans le cas particulier d'un champ vectoriel conservateur, la valeur de l'intégrale est indépendante du chemin emprunté, qui peut être considéré comme une annulation à grande échelle de tous les éléments qui n'ont pas de composante le long de la ligne droite entre les deux points. Pour visualiser cela, imaginez deux personnes escaladant une falaise ; l'une décide de gravir la falaise en la remontant verticalement, et la seconde décide de marcher le long d'un chemin sinueux plus long que la hauteur de la falaise, mais à un angle seulement faible par rapport à l'horizontale. Bien que les deux randonneurs aient emprunté des itinéraires différents pour atteindre le sommet de la falaise, au sommet, ils auront tous deux gagné la même quantité d'énergie potentielle gravitationnelle. C'est parce qu'un champ gravitationnel est conservateur.

La lithographie de MC Escher Ascending and Descending illustre un champ vectoriel non conservateur, impossible à faire apparaître comme le gradient de la hauteur variable au-dessus du sol (potentiel gravitationnel) lorsque l'on se déplace le long de l'escalier. Le champ de force subi par la personne se déplaçant dans l'escalier n'est pas conservateur dans la mesure où l'on peut revenir au point de départ en montant plus que l'on descend ou vice versa, ce qui entraîne un travail de gravité non nul. Sur un escalier réel, la hauteur au-dessus du sol est un champ de potentiel scalaire : il faut monter exactement autant que l'on descend pour revenir au même endroit, auquel cas le travail de gravité total est nul. Cela suggère que le travail effectué sur l'escalier est indépendant du chemin ; de manière équivalente, le champ de force subi est conservateur (voir la section suivante : Indépendance du chemin et champ vectoriel conservateur). La situation décrite dans l'estampe est impossible.

Un champ vectoriel , où est un sous-ensemble ouvert de , est dit conservateur s'il existe un champ scalaire ( continuément différentiable ) sur tel que

Ici, désigne le gradient de . Puisque est continûment différentiable, est continue. Lorsque l'équation ci-dessus est vérifiée, est appelé un potentiel scalaire pour .

Le théorème fondamental du calcul vectoriel stipule que, dans certaines conditions de régularité, tout champ vectoriel peut être exprimé comme la somme d'un champ vectoriel conservateur et d'un champ solénoïdal .

Une intégrale de ligne d'un champ vectoriel est dite indépendante du chemin si elle dépend uniquement de deux extrémités du chemin intégral, quel que soit le chemin choisi entre eux :

pour toute paire de chemins entiers et entre une paire donnée de points d'extrémité de chemin dans .

L'indépendance du chemin est également exprimée de manière équivalente par

Une propriété clé d'un champ vectoriel conservateur est que son intégrale le long d'un chemin ne dépend que des extrémités de ce chemin, et non de l'itinéraire particulier emprunté. En d'autres termes, s'il s'agit d'un champ vectoriel conservateur, alors son intégrale de ligne est indépendante du chemin. Supposons que pour un champ scalaire ( continuément différentiable ) sur comme un sous-ensemble ouvert de (donc un champ vectoriel conservateur qui est continu) et est un chemin différentiable (c'est-à-dire qu'il peut être paramétré par une fonction différentiable ) dans avec un point initial et un point terminal . Alors le théorème du gradient (également appelé théorème fondamental du calcul pour les intégrales de ligne ) stipule que

Ceci est valable en raison de la définition d'une intégrale de ligne , de la règle de la chaîne et du deuxième théorème fondamental du calcul différentiel . Dans l'intégrale de ligne, il s'agit d'une différentielle exacte pour un système de coordonnées orthogonales (par exemple, des coordonnées cartésiennes , cylindriques ou sphériques ). Étant donné que le théorème du gradient est applicable à un chemin différentiable, l'indépendance du chemin d'un champ vectoriel conservateur sur des courbes différentielles par morceaux est également prouvée par la preuve par composante de courbe différentiable.

Jusqu'à présent, il a été prouvé qu'un champ vectoriel conservateur est indépendant du chemin de l'intégrale de ligne. Inversement, si un champ vectoriel continu est indépendant du chemin de l'intégrale de ligne, alors il s'agit d'un champ vectoriel conservateur , donc l'énoncé biconditionnel suivant est valable :

La preuve de cette affirmation inverse est la suivante.

Choisissons le chemin montré à gauche de la figure de droite où un système de coordonnées cartésiennes à 2 dimensions est utilisé. Le deuxième segment de ce chemin est parallèle à l' axe, il n'y a donc aucun changement le long de l' axe. L'intégrale de droite le long de ce chemin est Par l'indépendance du chemin, sa dérivée partielle par rapport à (pour avoir des dérivées partielles, doit être continue.) est puisque et sont indépendants l'un de l'autre. Exprimons comme où et sont des vecteurs unitaires le long des axes et respectivement, alors, puisque , où la dernière égalité est issue du deuxième théorème fondamental du calcul infinitésimal .

Une approche similaire pour le chemin intégral de ligne montré à droite de la figure de droite donne comme résultat ce qui est prouvé pour le système de coordonnées cartésiennes à 2 dimensions. Cette méthode de preuve peut être étendue directement à un système de coordonnées orthogonales de dimension supérieure (par exemple, un système de coordonnées sphériques à 3 dimensions ), de sorte que l'énoncé inverse est prouvé. Une autre preuve est trouvée ici comme l'inverse du théorème du gradient.

Soit (l'espace à 3 dimensions) et soit un champ de vecteurs ( continuément différentiable ), avec un sous-ensemble ouvert de . Alors est dit irrotationnel si son roulage est partout dans , c'est-à-dire si

C'est pour cette raison que ces champs vectoriels sont parfois appelés champs vectoriels sans ondulation ou champs vectoriels sans ondulation. Ils sont également appelés champs vectoriels longitudinaux .

C'est une identité du calcul vectoriel selon laquelle pour tout corps scalaire ( continuellement différentiable à la dérivée 2 près ) sur , on a

Par conséquent, tout champ vectoriel conservateur dans est aussi un champ vectoriel irrotationnel dans . Ce résultat peut être facilement démontré en s'exprimant dans un système de coordonnées cartésiennes avec le théorème de Schwarz (également appelé théorème de Clairaut sur l'égalité des partiels mixtes).

À condition que soit un espace ouvert simplement connexe (en gros, un espace ouvert d'un seul tenant sans trou à l'intérieur), l'inverse est également vrai : tout champ vectoriel irrotationnel dans un espace ouvert simplement connexe est un champ vectoriel conservateur dans .

L'énoncé ci-dessus n'est pas vrai en général si n'est pas simplement connexe. Soit avec suppression de toutes les coordonnées sur l' axe - (donc pas un espace simplement connexe), c'est-à-dire . Maintenant, définissons un champ vectoriel sur par

Alors a un roulage nul partout dans ( en partout dans ), c'est-à-dire qu'il est irrotationnel. Cependant, la circulation de autour du cercle unité dans le plan est ; en coordonnées polaires , , donc l'intégrale sur le cercle unité est

Par conséquent, il ne possède pas la propriété d'indépendance de chemin évoquée ci-dessus et n'est donc pas conservateur même si l' espace où il est défini n'est pas un espace ouvert simplement connecté.

Disons encore une fois que dans une région ouverte simplement connexe, un champ vectoriel irrotationnel a la propriété d'indépendance de trajectoire (donc c'est un champ vectoriel conservateur). Cela peut être prouvé directement en utilisant le théorème de Stokes , pour toute surface lisse orientée dont la frontière est un chemin fermé simple . On en conclut donc que dans une région ouverte simplement connexe, tout champ vectoriel qui a la propriété d'indépendance de trajectoire (donc c'est un champ vectoriel conservateur) doit également être irrotationnel et vice versa.

Plus abstraitement, en présence d'une métrique riemannienne , les champs de vecteurs correspondent à des formes différentielles . Les champs de vecteurs conservateurs correspondent aux formes exactes , c'est-à-dire aux formes qui sont la dérivée extérieure d'une fonction (champ scalaire) sur . Les champs de vecteurs irrotationnels correspondent aux formes fermées , c'est-à-dire aux formes telles que . Comme , toute forme exacte est fermée, donc tout champ de vecteurs conservateur est irrotationnel. Inversement, toutes les formes fermées sont exactes si est simplement connexe .

La vorticité d'un champ vectoriel peut être définie par :

La vorticité d'un champ irrotationnel est nulle partout. Le théorème de circulation de Kelvin stipule qu'un fluide irrotationnel dans un écoulement non visqueux restera irrotationnel. Ce résultat peut être déduit de l' équation de transport de vorticité , obtenue en prenant la boucle des équations de Navier-Stokes .

Pour un champ bidimensionnel, la vorticité agit comme une mesure de la rotation locale des éléments fluides. La vorticité n'implique rien sur le comportement global d'un fluide. Il est possible qu'un fluide qui se déplace en ligne droite ait de la vorticité, et qu'un fluide qui se déplace en cercle soit irrotationnel.