Géométrie descriptive

La géométrie descriptive est la branche de la géométrie qui permet la représentation d'objets tridimensionnels en deux dimensions en utilisant un ensemble spécifique de procédures. Les techniques qui en résultent sont importantes pour l'ingénierie , l'architecture , le design et l' art . La base théorique de la géométrie descriptive est fournie par les projections géométriques planes . La première publication connue sur la technique est « Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt » ( Observation de la mesure avec le compas et le niveau à bulle ), publiée à Linien, Nuremberg : 1525, par Albrecht Dürer . L'architecte italien Guarino Guarini a également été un pionnier de la géométrie projective et descriptive, comme le montrent clairement ses Placita Philosophica (1665), Euclides Adauctus (1671) et Architettura Civile (1686 - non publiée avant 1737), anticipant les travaux de Gaspard Monge (1746-1818), à qui l'on attribue généralement l'invention de la géométrie descriptive. Gaspard Monge est généralement considéré comme le « père de la géométrie descriptive » en raison de ses développements dans la résolution de problèmes géométriques. Ses premières découvertes datent de 1765 alors qu'il travaillait comme dessinateur pour des fortifications militaires, bien que ses découvertes aient été publiées plus tard.

Les protocoles de Monge permettent de dessiner un objet imaginaire de manière à ce qu'il puisse être modélisé en trois dimensions. Tous les aspects géométriques de l'objet imaginaire sont pris en compte en taille réelle/à l'échelle et en forme, et peuvent être représentés comme vus depuis n'importe quelle position dans l'espace. Toutes les images sont représentées sur une surface bidimensionnelle.

La géométrie descriptive utilise la technique de création d'images à partir de projecteurs parallèles imaginaires émanant d'un objet imaginaire et coupant un plan de projection imaginaire à angle droit. Les points cumulés d'intersections créent l'image souhaitée.

• Projetez deux images d'un objet dans des directions arbitraires mutuellement perpendiculaires. Chaque vue d'image prend en compte trois dimensions de l'espace, deux dimensions affichées sous forme d'axes mutuellement perpendiculaires à pleine échelle et une sous forme d'axe invisible (vue ponctuelle) s'éloignant dans l'espace de l'image (profondeur). Chacune des deux vues d'image adjacentes partage une vue à pleine échelle de l'une des trois dimensions de l'espace.
• Chacune de ces images peut servir de point de départ à une troisième projection. La troisième projection peut être le point de départ d'une quatrième projection, et ainsi de suite. Ces projections séquentielles représentent chacune un virage de 90° dans l'espace afin de voir l'objet depuis une direction différente.
• Chaque nouvelle projection utilise une dimension à pleine échelle qui apparaît comme dimension de point de vue dans la vue précédente. Pour obtenir la vue à pleine échelle de cette dimension et l'intégrer dans la nouvelle vue, il faut ignorer la vue précédente et passer à la deuxième vue précédente où cette dimension apparaît à pleine échelle.
• Chaque nouvelle vue peut être créée en projetant dans une infinité de directions, perpendiculaires à la direction de projection précédente. (Imaginez les nombreuses directions des rayons d'une roue de wagon, chacune perpendiculaire à la direction de l'essieu.) Le résultat est celui d'un contournement d'un objet en faisant des virages à 90° et en regardant l'objet à chaque pas. Chaque nouvelle vue est ajoutée en tant que vue supplémentaire à un affichage de projection orthographique et apparaît dans un « dépliage du modèle de boîte en verre ».

Outre les six vues principales standard orthographiques (face avant, côté droit, côté gauche, dessus, dessous, arrière), la géométrie descriptive s'efforce de produire quatre vues de solution de base : la vraie longueur d'une ligne (c'est-à-dire en taille réelle, non raccourcie), la vue ponctuelle (vue d'extrémité) d'une ligne, la vraie forme d'un plan (c'est-à-dire en taille réelle à l'échelle, ou non raccourcie) et la vue de bord d'un plan (c'est-à-dire la vue d'un plan avec la ligne de visée perpendiculaire à la ligne de visée associée à la ligne de visée pour produire la vraie forme d'un plan). Ceux-ci servent souvent à déterminer la direction de projection pour la vue suivante. Par le processus de pas de 90°, la projection dans n'importe quelle direction à partir de la vue ponctuelle d'une ligne donne sa vraie vue de longueur ; la projection dans une direction parallèle à une vue de ligne de vraie longueur donne sa vue ponctuelle, la projection de la vue ponctuelle de n'importe quelle ligne sur un plan donne la vue de bord du plan ; la projection dans une direction perpendiculaire à la vue de bord d'un plan donnera la vraie vue de forme (à l'échelle). Ces différents points de vue peuvent être utilisés pour aider à résoudre les problèmes d'ingénierie posés par les principes de la géométrie solide.

L'étude de la géométrie descriptive présente une valeur heuristique. Elle favorise la visualisation et les capacités d'analyse spatiale, ainsi que la capacité intuitive à reconnaître la direction du regard pour présenter au mieux un problème géométrique en vue de sa solution. Exemples représentatifs :

• Deux lignes obliques (des tuyaux, peut-être) dans des positions générales afin de déterminer l'emplacement de leur connecteur le plus court (perpendiculaire commune)
• Deux lignes obliques (tuyaux) dans des positions générales telles que leur connecteur le plus court est vu à grande échelle
• Deux lignes obliques dans des positions générales telles que le connecteur le plus court parallèle à un plan donné est vu à grande échelle (par exemple, pour déterminer la position et la dimension du connecteur le plus court à une distance constante d'une surface rayonnante)
• Une surface plane telle qu'un trou percé perpendiculairement soit vu à grande échelle, comme si l'on regardait à travers le trou (par exemple, pour tester les jeux avec d'autres trous percés)
• Un plan équidistant de deux lignes obliques dans des positions générales (par exemple, pour confirmer la distance de rayonnement sûre ?)
• La distance la plus courte entre un point et un plan (par exemple, pour localiser la position la plus économique pour le contreventement)
• La ligne d'intersection entre deux surfaces, y compris les surfaces courbes (par exemple, pour le dimensionnement le plus économique des sections ?)
• La vraie taille de l'angle entre deux plans

Aucune norme de présentation de vues de modélisation informatique analogues aux projections séquentielles orthographiques n'a encore été adoptée. Un candidat à cette fin est présenté dans les illustrations ci-dessous. Les images des illustrations ont été créées à l'aide d'images informatiques tridimensionnelles d'ingénierie.

La modélisation informatique tridimensionnelle produit un espace virtuel « derrière le tube », pour ainsi dire, et peut produire n'importe quelle vue d'un modèle depuis n'importe quelle direction dans cet espace virtuel. Elle le fait sans avoir besoin de vues orthographiques adjacentes et peut donc sembler rendre obsolète le protocole tortueux et progressif de la géométrie descriptive. Cependant, étant donné que la géométrie descriptive est la science de l'imagerie légitime ou autorisée d'un espace tridimensionnel ou plus , sur un plan plat, elle constitue une étude indispensable pour améliorer les possibilités de modélisation informatique.

Étant donné les coordonnées X, Y et Z de P, R, S et U, les projections 1 et 2 sont dessinées à l'échelle sur les plans XY et XZ, respectivement.

Pour obtenir une vue réelle (la longueur dans la projection est égale à la longueur dans l'espace 3D) de l'une des lignes : SU dans cet exemple, la projection 3 est dessinée avec la ligne d'articulation H _2,3 parallèle à S ₂ U ₂ . Pour obtenir une vue d'extrémité de SU, la projection 4 est dessinée avec la ligne d'articulation H _3,4 perpendiculaire à S ₃ U ₃ . La distance perpendiculaire d donne la distance la plus courte entre PR et SU.

Pour obtenir les points Q et T sur ces lignes donnant cette distance la plus courte, la projection 5 est tracée avec la ligne d'articulation H _4,5 parallèle à P ₄ R ₄ , ce qui fait de P ₅ R ₅ et S ₅ U ₅ des vues vraies (toute projection d'une vue d'extrémité est une vue vraie). La projection de l'intersection de ces lignes, Q ₅ et T _5, vers la projection 1 (lignes magenta et étiquettes) permet de lire leurs coordonnées sur les axes X, Y et Z.

Les solutions générales sont une classe de solutions au sein de la géométrie descriptive qui contiennent toutes les solutions possibles à un problème. La solution générale est représentée par un objet unique en trois dimensions, généralement un cône, dont les directions des éléments correspondent à la direction de visualisation (projection) souhaitée pour l'une quelconque d'un nombre infini de vues de solution.

Par exemple : pour trouver la solution générale telle que deux lignes obliques de longueur inégale dans des positions générales (par exemple, des fusées en vol ?) apparaissent :

• Longueur égale
• De longueur égale et parallèle
• De longueur égale et perpendiculaire (par exemple, pour un ciblage idéal d'au moins un)
• Égal aux longueurs d'un rapport spécifié
• autres.

Dans les exemples, la solution générale pour chaque solution caractéristique souhaitée est un cône, dont chaque élément produit l'une des infinies vues de solution. Lorsque deux ou plusieurs caractéristiques, par exemple celles énumérées ci-dessus, sont souhaitées (et pour lesquelles une solution existe), la projection dans la direction de l'un des deux éléments d'intersections (un élément, si les cônes sont tangents) entre les deux cônes produit la vue de solution souhaitée. Si les cônes ne se croisent pas, il n'existe pas de solution. Les exemples ci-dessous sont annotés pour montrer les principes géométriques descriptifs utilisés dans les solutions. TL = True-Length ; EV = Edge View.

Les figures 1 à 3 ci-dessous illustrent (1) la géométrie descriptive, les solutions générales et (2) simultanément, une norme potentielle pour présenter ces solutions dans des formats orthographiques, multivues et de mise en page.

La norme potentielle utilise deux vues orthographiques standard adjacentes (ici, de face et de dessus) avec une « ligne de pliage » standard entre elles. Comme il n'est pas nécessaire de faire ensuite un « détour » de 90° autour de l'objet, dans les séquences standard en deux étapes pour arriver à une vue de solution (il est possible d'aller directement à la vue de solution), ce protocole plus court est pris en compte dans la mise en page. Lorsque le protocole en une étape remplace le protocole en deux étapes, des lignes de « double pliage » sont utilisées. En d'autres termes, lorsque l'on croise les doubles lignes, on ne fait pas un détour de 90° mais un virage non orthodirectionnel directement vers la vue de solution. Comme la plupart des logiciels d'infographie d'ingénierie génèrent automatiquement les six vues principales du modèle de boîte de verre, ainsi qu'une vue isométrique, ces vues sont parfois ajoutées par curiosité heuristique.

Figure 1 : Géométrie descriptive - lignes obliques apparaissant perpendiculaires

Figure 2 : Géométrie descriptive - les lignes obliques semblent avoir la même longueur

Figure 3 : Géométrie descriptive – les lignes obliques apparaissent dans le rapport de longueur spécifié