Géométrie des distances

La géométrie des distances est la branche des mathématiques qui s'intéresse à la caractérisation et à l'étude d'ensembles de points basés uniquement sur des valeurs données des distances entre paires de points. De manière plus abstraite, il s'agit de l'étude des espaces semimétriques et des transformations isométriques entre eux. Dans cette optique, elle peut être considérée comme un sujet de topologie générale .

Historiquement, le premier résultat en géométrie des distances est la formule de Heron au 1er siècle après J.-C. La théorie moderne a débuté au 19e siècle avec les travaux d' Arthur Cayley , suivis de développements plus approfondis au 20e siècle par Karl Menger et d'autres.

Les problèmes de géométrie des distances surviennent chaque fois qu'il est nécessaire de déduire la forme d'une configuration de points ( positions relatives ) à partir des distances qui les séparent, comme en biologie , dans les réseaux de capteurs , dans l'arpentage , la navigation , la cartographie et la physique .

Introduction et définitions

Les concepts de la géométrie des distances seront d'abord expliqués en décrivant deux problèmes particuliers.

Considérons trois stations radio terrestres A, B, C, dont les emplacements sont connus. Un récepteur radio se trouve à un endroit inconnu. Les temps nécessaires à un signal radio pour se déplacer des stations au récepteur, , sont inconnus, mais les différences de temps, et , sont connues. À partir de ces différences, on connaît les différences de distance et , à partir desquelles la position du récepteur peut être trouvée. ${\displaystyle t_{A},t_{B},t_{C <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t_{A},t_{B},t_{C}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle t_{A}-t_{B <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t_{A}-t_{B}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle t_{A}-t_{C <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t_{A}-t_{C}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c(t_{A}-t_{B}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c(t_{A}-t_{B})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c(t_{A}-t_{C}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c(t_{A}-t_{C})}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Deuxième problème :réduction dimensionnelle

Dans l'analyse de données , on dispose souvent d'une liste de données représentées sous forme de vecteurs et il faut déterminer si elles se trouvent dans un sous-espace affine de faible dimension. Une représentation de données de faible dimension présente de nombreux avantages, comme l'économie d'espace de stockage, de temps de calcul et une meilleure compréhension des données. ${\displaystyle \mathbf {v} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {v} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Définitions

Nous formalisons maintenant quelques définitions qui découlent naturellement de l’examen de nos problèmes.

Espace semimétrique

Étant donnée une liste de points sur , , nous pouvons spécifier arbitrairement les distances entre paires de points par une liste de , . Ceci définit un espace semimétrique : un espace métrique sans inégalité triangulaire . ${\displaystyle R=\{P_{0},\ldots ,P_{n}\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R=\{P_{0},\ldots ,P_{n}\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n\geq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n\geq 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ $0 d_{je j} > 0$ 0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d88ebe0a3bef123885b0fd06a69d654ddb6030"> ${\displaystyle 0\leq i<j\leq n <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>je</mi> <mo><</mo> <mi>j</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\leq i<j\leq n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Explicitement, nous définissons un espace semimétrique comme un ensemble non vide muni d'une semimétrique telle que, pour tout , ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d:R imes R o [0,\infty ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mo>:</mo> <mi>R</mi> <mo>×</mo> <mi>R</mi> <mo>→</mo> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>∞</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d:R\fois R\à [0,\infty )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x,y\in R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x,y\dans R}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Positivité : si et seulement si . ${\displaystyle d(x,y)=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d(x,y)=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x=y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>et</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=y}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Symétrie : . ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Tout espace métrique est a fortiori un espace semimétrique. En particulier, , l' espace euclidien de dimension , est l' espace métrique canonique en géométrie des distances. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'inégalité triangulaire est omise dans la définition, car nous ne voulons pas imposer plus de contraintes sur les distances que la simple exigence qu'elles soient positives. ${\displaystyle d_{ij <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

En pratique, les espaces semimétriques naissent naturellement de mesures imprécises. Par exemple, étant donné trois points sur une droite, avec , une mesure imprécise pourrait donner , ce qui violerait l'inégalité triangulaire. ${\displaystyle A,B,C <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A,B,C}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d_{AB}=1,d_{BC}=1,d_{AC}=2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>UN</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>UN</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle d_ {AB} = 1, d_ {BC} = 1, d_ {AC} = 2}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d_{AB}=0.99,d_{BC}=0.98,d_{AC}=2.00 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>UN</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0,99</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0,98</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>UN</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2,00</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{AB}=0.99,d_{BC}=0.98,d_{AC}=2.00}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Incorporation isométrique

Étant donné deux espaces semimétriques, , un plongement isométrique de à est une application qui préserve le semimétrique, c'est-à-dire pour tout , . ${\displaystyle (R,d),(R',d') <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>R</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>d</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (R,d),(R',d')}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R' <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>R</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R'}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f:R o R' <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>R</mi> <mo>→</mo> <msup> <mi>R</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:R o R'}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x,y\in R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x,y\in R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d(x,y)=d'(f(x),f(y)) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>d</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d(x,y)=d'(f(x),f(y))}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Par exemple, étant donné l'espace semimétrique fini défini ci-dessus, un plongement isométrique de à est défini par des points , tels que pour tout . ${\displaystyle (R,d) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (R,d)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d(A_{i},A_{j})=d_{ij <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d(A_{i},A_{j})=d_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0\leq i<j\leq n <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>i</mi> <mo><</mo> <mi>j</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\leq i<j\leq n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Indépendance affine

Étant donné les points , ils sont définis comme étant affinement indépendants , ssi ils ne peuvent pas s'insérer dans un sous-espace affine unidimensionnel de , pour tout , ssi le ssimplexe qu'ils couvrent, , a un volume positif, c'est-à-dire . ${ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle l <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle l}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \ell <n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ℓ</mi> <mo><</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \ell <n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle v_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle v_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ $0 {Vol}_{n} (v_{n}) > 0$ 0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14a2cb6ae42c47e84a15c3937dc9d5f4cfca4bc4">

En général, lorsque , ils sont affinement indépendants, car un n -simplexe générique est non dégénéré. Par exemple, 3 points dans le plan, en général, ne sont pas colinéaires, car le triangle qu'ils encadrent ne dégénère pas en un segment de droite. De même, 4 points dans l'espace, en général, ne sont pas coplanaires, car le tétraèdre qu'ils encadrent ne dégénère pas en un triangle plat. ${\displaystyle k\geq n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k\geq n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Lorsque , ils doivent être affinement dépendants. Ceci peut être vu en notant que tout -simplex qui peut s'insérer à l'intérieur doit être « plat ». $k n > k$ k}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8afbc0693bee3f48a31d2c991ddc8b6b4a35322"> ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Déterminants de Cayley-Menger

Les déterminants de Cayley-Menger, nommés d'après Arthur Cayley et Karl Menger, sont des déterminants de matrices de distances entre des ensembles de points.

Soit n + 1 points dans un espace semimétrique, leur déterminant de Cayley - Menger est défini par ${ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \operatorname {CM} (A_{0},\cdots ,A_{n})={\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>01</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>02</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>01</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>12</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>02</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>12</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋱</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {CM} (A_{0},\cdots ,A_{n})={\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Si , alors ils constituent les sommets d'un n -simplex éventuellement dégénéré dans . On peut montrer que le volume n -dimensionnel du simplexe satisfait ${ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle v_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle v_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle v_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle v_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(v_{n})^{2}={\frac {(-1)^{n+1}}{(n!)^{2}2^{n}}}\operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{n}). <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Vol</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(v_{n})^{2}={\frac {(-1)^{n+1}}{(n!)^{2}2^{n}}}\operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{n}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Notez que, pour le cas de , nous avons , ce qui signifie que le « volume de dimension 0 » d'un 0-simplex est 1, c'est-à-dire qu'il y a 1 point dans un 0-simplex. ${\displaystyle n=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {Vol} _{0}(v_{0})=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Vol</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Vol} _{0}(v_{0})=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ $0 {Vol}_{n} (v_{n}) > 0$ 0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14a2cb6ae42c47e84a15c3937dc9d5f4cfca4bc4"> $0 (- 1)^{n + 1} CM (A_{0}, \dots, A_{n}) > 0$ 0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/486b6489458e09307e26528fbd66b3e333eb18bb">

Si , alors les points doivent être affinement dépendants, donc . L'article de Cayley de 1841 a étudié le cas particulier de , c'est-à-dire que cinq points quelconques dans l'espace à 3 dimensions doivent avoir . ${\displaystyle k<n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo><</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k<n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{n})=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{n})=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k=3,n=4 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k=3,n=4}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{4 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{4}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{4})=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{4})=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Histoire

Le premier résultat en géométrie des distances est la formule de Heron , du 1er siècle après J.-C., qui donne l'aire d'un triangle à partir des distances entre ses 3 sommets. La formule de Brahmagupta , du 7e siècle après J.-C., la généralise aux quadrilatères cycliques . Tartaglia , du 16e siècle après J.-C., la généralise pour donner le volume d'un tétraèdre à partir des distances entre ses 4 sommets.

La théorie moderne de la géométrie des distances a commencé avec Arthur Cayley et Karl Menger . Cayley a publié le déterminant de Cayley en 1841, qui est un cas particulier du déterminant général de Cayley-Menger. Menger a prouvé en 1928 un théorème de caractérisation de tous les espaces semimétriques qui sont isométriquement intégrables dans l' espace euclidien à n dimensions . En 1931, Menger a utilisé les relations de distance pour donner un traitement axiomatique de la géométrie euclidienne. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le livre de Leonard Blumenthal donne un aperçu général de la géométrie à distance au niveau universitaire, dont une grande partie est traitée en anglais pour la première fois lors de sa publication.

Théorème de caractérisation de Menger

Menger a démontré le théorème de caractérisation suivant des espaces semimétriques :

Un espace semimétrique est isométriquement immersible dans l' espace euclidien de dimension , mais pas dans tout , si et seulement si : ${\displaystyle (R,d) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (R,d)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0\leq m<n <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>m</mi> <mo><</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\leq m<n}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (n+1) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (n+1)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (n+1) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (n+1)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

un sous-ensemble quelconque de , obtenu en ajoutant deux points supplémentaires de à , est congru à un sous-ensemble quelconque de . ${\displaystyle (n+3) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (n+3)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S' <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>S</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S'}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (n+3) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (n+3)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Une preuve de ce théorème sous une forme légèrement affaiblie (pour les espaces métriques au lieu des espaces semi-métriques) est disponible dans

Caractérisation par les déterminants de Cayley-Menger

Les résultats suivants sont prouvés dans le livre de Blumethal.

Incorporationn+ 1 point dans les nombres réels

Étant donné un espace semimétrique , avec , et , , un plongement isométrique de dans est défini par , tel que pour tout . ${\displaystyle (S,d) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (S,d)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S=\{P_{0},\ldots ,P_{n}\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S=\{P_{0},\ldots ,P_{n}\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d(P_{i},P_{j})=d_{ij}\geq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d(P_{i},P_{j})=d_{ij}\geq 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0\leq i<j\leq n <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>i</mi> <mo><</mo> <mi>j</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\leq i<j\leq n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (S,d) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (S,d)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d(A_{i},A_{j})=d_{ij <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d(A_{i},A_{j})=d_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0\leq i<j\leq n <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>i</mi> <mo><</mo> <mi>j</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\leq i<j\leq n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Encore une fois, on se demande si une telle intégration isométrique existe pour . ${\displaystyle (S,d) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (S,d)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Une condition nécessaire est facile à voir : pour tout , soit le k -simplex formé par , alors ${\displaystyle k=1,\ldots ,n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k=1,\ldots ,n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle v_{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle v_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})=(-1)^{k+1}\operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{k})=2^{k}(k!)^{k}\operatorname {Vol} _{k}(v_{k})^{2}\geq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>!</mo> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>Vol</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})=(-1)^{k+1}\operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{k})=2^{k}(k!)^{k}\operatorname {Vol} _{k}(v_{k})^{2}\geq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

L'inverse est également vrai. C'est-à-dire que si pour tout , ${\displaystyle k=1,\ldots ,n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k=1,\ldots ,n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0, <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

alors une telle intégration existe.

De plus, un tel plongement est unique à une isométrie près dans . C'est-à-dire que, étant donné deux plongements isométriques quelconques définis par , et , il existe une isométrie (pas nécessairement unique) , telle que pour tout . Tel est unique si et seulement si , c'est-à-dire sont affinement indépendants. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A'_{0},A'_{1},\ldots ,A'_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A'_{0},A'_{1},\ldots ,A'_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n} o \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>→</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n} o \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T(A_{k})=A'_{k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T(A_{k})=A'_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k=0,\ldots ,n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n}) eq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n}) eq 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Incorporationn+ 2 etn+ 3 points

Si des points peuvent être intégrés dans comme , alors, outre les conditions ci-dessus, une condition supplémentaire nécessaire est que le -simplexe formé par , ne doit pas avoir de volume à -dimension. C'est-à -dire . ${\displaystyle n+2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n+2}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n+1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n+1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (n+1) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (n+1)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n+1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (n+1) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (n+1)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0, <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

alors une telle intégration existe.

Pour intégrer des points dans , les conditions nécessaires et suffisantes sont similaires : ${\displaystyle n+3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n+3}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pour tous , ; ${\displaystyle k=1,\ldots ,n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k=1,\ldots ,n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0; <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0;}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+2})=0; <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+2})=0;}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1},P_{n+2})=0. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1},P_{n+2})=0.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Intégrer un nombre arbitraire de points

L' affaire s'avère en général suffisante. ${\displaystyle n+3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n+3}</annotation> </semantics> </math><img src=$

En général, étant donné un espace semimétrique , il peut être plongé isométriquement dans si et seulement s'il existe , tel que, pour tout , et pour tout , ${\displaystyle (R,d) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (R,d)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n}\in R <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n}\in R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k=1,\ldots ,n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P_{n+1},P_{n+2}\in R <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n+1},P_{n+2}\in R}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0; <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0;}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+2})=0; <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+2})=0;}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1},P_{n+2})=0. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1},P_{n+2})=0.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Et une telle intégration est unique jusqu'à l'isométrie dans . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

De plus, si , alors il ne peut être intégré isométriquement dans aucun . Et un tel encastrement est unique jusqu'à une isométrie unique dans . ${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n}) eq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>CM</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n}) eq 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},m<n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo><</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{m},m<n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ainsi, les déterminants de Cayley-Menger donnent un moyen concret de calculer si un espace semimétrique peut être plongé dans , pour un nombre fini , et si oui, quel est le . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Applications

Il existe de nombreuses applications de la géométrie des distances.

Dans les réseaux de télécommunication tels que le GPS , les positions de certains capteurs sont connues (appelées ancres) et certaines distances entre les capteurs sont également connues : le problème est d'identifier les positions de tous les capteurs. La navigation hyperbolique est une technologie pré-GPS qui utilise la géométrie de distance pour localiser les navires en fonction du temps nécessaire aux signaux pour atteindre les ancres.

Il existe de nombreuses applications en chimie. Des techniques telles que la RMN peuvent mesurer les distances entre des paires d'atomes d'une molécule donnée, et le problème est de déduire la forme tridimensionnelle de la molécule à partir de ces distances.

Certains progiciels pour les applications sont :

DGSOL. Résout les problèmes de géométrie à grande distance dans la modélisation macromoléculaire .
Xplor-NIH. Basé sur X-PLOR , il permet de déterminer la structure des molécules à partir de données issues d'expériences de RMN. Il résout les problèmes de géométrie de distance avec des méthodes heuristiques (telles que le recuit simulé ) et des méthodes de recherche locale (telles que la minimisation du gradient conjugué ).
TINKER. Modélisation et conception moléculaires. Il peut résoudre des problèmes de géométrie de distance.
SNLSDPclique. Code MATLAB permettant de localiser des capteurs dans un réseau de capteurs en fonction des distances entre les capteurs.