Diviseur

En mathématiques , un diviseur d'un entier également appelé facteur de est un entier qui peut être multiplié par un entier pour produire Dans ce cas, on dit aussi que est un multiple de Un entier est divisible ou divisible par un autre entier si est un diviseur de ; cela implique que diviser par ne laisse aucun reste.

Un entier est divisible par un entier différent de zéro s'il existe un entier tel que Ceci s'écrit comme

Cela peut être lu comme si divise est un diviseur de est un facteur de ou est un multiple de Si ne divise pas alors la notation est

Il existe deux conventions, qui se distinguent selon qu'il est permis ou non d'avoir une valeur nulle :

• Avec la convention sans contrainte supplémentaire sur pour tout entier
• Avec la convention qui doit être non nul, pour tout entier non nul

Les diviseurs peuvent être aussi bien négatifs que positifs, bien que le terme soit souvent limité aux diviseurs positifs. Par exemple, il existe six diviseurs de 4 : 1, 2, 4, −1, −2 et −4, mais seuls les diviseurs positifs (1, 2 et 4) sont généralement mentionnés.

1 et −1 divisent (sont des diviseurs de) tout entier. Tout entier (et sa négation) est un diviseur de lui-même. Les entiers divisibles par 2 sont dits pairs , et les entiers non divisibles par 2 sont dits impairs .

1, −1 et sont connus comme les diviseurs triviaux de Un diviseur de qui n'est pas un diviseur trivial est appelé diviseur non trivial (ou diviseur strict ). Un entier non nul avec au moins un diviseur non trivial est appelé nombre composé , tandis que les unités −1 et 1 et les nombres premiers n'ont pas de diviseurs non triviaux.

Il existe des règles de divisibilité qui permettent de reconnaître certains diviseurs d'un nombre à partir des chiffres du nombre.

• 7 est un diviseur de 42 car on peut donc dire qu'on peut aussi dire que 42 est divisible par 7, que 42 est un multiple de 7, que 7 divise 42 ou que 7 est un facteur de 42.
• Les diviseurs non triviaux de 6 sont 2, −2, 3, −3.
• Les diviseurs positifs de 42 sont 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• L' ensemble de tous les diviseurs positifs de 60, partiellement ordonnés par divisibilité, a le diagramme de Hasse :

Il y a quelques règles élémentaires :

• Si et alors , c'est-à-dire que la divisibilité est une relation transitive .
• Si et alors ou (C'est-à-dire, et sont associés .)
• Si et alors est vrai, comme Cependant, si et alors n'est pas toujours vrai (par exemple, et mais 5 ne divise pas 6).

Si et alors Ceci est appelé lemme d’Euclide .

Si est un nombre premier et alors ou

Un diviseur positif qui est différent de est appelé undiviseur propre ou unpartie aliquote de(par exemple, les diviseurs propres de 6 sont 1, 2 et 3). Un nombre qui ne se divise pas uniformémentmais laisse un reste est parfois appelé unpartie aliquante de

Un entier dont le seul diviseur propre est 1 est appelé un nombre premier . De manière équivalente, un nombre premier est un entier positif qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. $1n>1$1}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64">

Tout diviseur positif de est un produit de diviseurs premiers de élevé à une puissance donnée. C'est une conséquence du théorème fondamental de l'arithmétique .

Un nombre est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres, déficient si la somme de ses diviseurs propres est inférieure à et abondant si cette somme dépasse

Le nombre total de diviseurs positifs de est une fonction multiplicative, ce qui signifie que lorsque deux nombres et sont premiers entre eux , alors Par exemple, ; les huit diviseurs de 42 sont 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42. Cependant, le nombre de diviseurs positifs n'est pas une fonction totalement multiplicative : si les deux nombres et partagent un diviseur commun, alors il se peut que La somme des diviseurs positifs de est une autre fonction multiplicative (par exemple, ). Ces deux fonctions sont des exemples de fonctions diviseurs .

Si la factorisation première de est donnée par

alors le nombre de diviseurs positifs de est

et chacun des diviseurs a la forme

où pour chaque

Pour chaque naturel

Également,

où est la constante d'Euler-Mascheroni . Une interprétation de ce résultat est qu'un entier positif n choisi au hasard possède un nombre moyen de diviseurs d'environ Cependant, il s'agit d'un résultat provenant des contributions de nombres avec un nombre « anormalement élevé » de diviseurs .

Dans les définitions qui admettent que le diviseur soit égal à 0, la relation de divisibilité transforme l'ensemble des entiers non négatifs en un ensemble partiellement ordonné qui est un treillis distributif complet . Le plus grand élément de ce treillis est 0 et le plus petit est 1. L'opération de jonction ∧ est donnée par le plus grand diviseur commun et l'opération de jonction ∨ par le plus petit multiple commun . Ce treillis est isomorphe au dual du treillis des sous-groupes du groupe cyclique infini Z.