Nombre insuffisant

En théorie des nombres , un nombre déficient est un entier positif à . Par exemple, les diviseurs propres de 8 sont 8 est déficient.

Exemples

Les premiers nombres déficients sont

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... dans l' OEIS )

Prenons l'exemple du nombre 21. Ses diviseurs propres sont 1, 3 et 7, et leur somme est 11. Puisque 11 est inférieur à 21, le nombre 21 est incomplet. Son incomplet est de 21 − 11 = 10.

Propriétés

Puisque la somme des facteurs premiers est égale à 1, tous les nombres premiers sont déficients. Plus généralement, tous les nombres impairs ayant un ou deux facteurs premiers distincts sont déficients. Il s'ensuit qu'il existe une infinité de nombres impairs déficients. Il existe également une infinité de nombres pairs déficients, car la somme de toutes les puissances de deux est égale à ( ). La famille infinie des nombres de la forme 2 ^{n − 1} × p ^m, où m > 0 et p est un nombre premier > 2 ⁿ − 1, est également déficiente.

Plus généralement, toutes les puissances premières ${\displaystyle p^{k <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>p</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p^{k}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 1,p,p^{2},\dots ,p^{k-1 <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>,</mo><msup><mi>p</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msup><mi>p</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1,p,p^{2},\dots ,p^{k-1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {p^{k}-1}{p-1 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>p</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {p^{k}-1}{p-1}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle p^{k}-1 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>p</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p^{k}-1}</annotation></semantics></math><img src=$

Tous les diviseurs propres des nombres déficients sont déficients. De plus, tous les diviseurs propres des nombres parfaits sont déficients.

Il existe au moins un nombre déficient dans l'intervalle ${\displaystyle [n,n+(\log n)^{2}] <semantics><mrow><mstyle><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mi>n</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>]</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle [n, n + (log n) ^ {2}]}</annotation></semantics></math><img src=$ n suffisamment grand .

Exemples

Propriétés

Concepts connexes