Nombre parfait

En théorie des nombres , un nombre parfait est un entier positif égal à la somme de ses diviseurs propres positifs , c'est-à-dire des diviseurs excluant le nombre lui-même. Par exemple, 6 a des diviseurs propres 1, 2 et 3, et 1 + 2 + 3 = 6, donc 6 est un nombre parfait. Le nombre parfait suivant est 28, puisque 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Les quatre premiers nombres parfaits sont 6 , 28 , 496 et 8128. ]

La somme des diviseurs propres d'un nombre est appelée somme aliquote , donc un nombre parfait est un nombre égal à sa somme aliquote. De manière équivalente, un nombre parfait est un nombre qui est la moitié de la somme de tous ses diviseurs positifs ; en symboles, où est la fonction somme des diviseurs .

Cette définition est ancienne, apparaissant dès les Éléments d'Euclide (VII.22) où elle est appelée τέλειος ἀριθμός ( nombre parfait , idéal ou complet ). Euclide a également prouvé une règle de formation (IX.36) selon laquelle est un nombre pair parfait chaque fois que est un nombre premier de la forme pour un entier positif — ce qu'on appelle maintenant un nombre premier de Mersenne . Deux millénaires plus tard, Leonhard Euler a prouvé que tous les nombres pairs parfaits sont de cette forme. C'est ce qu'on appelle le théorème d'Euclide-Euler .

On ne sait pas s’il existe des nombres parfaits impairs, ni s’il existe une infinité de nombres parfaits.

Vers 300 av. J.-C., Euclide a montré que si 2 ^p − 1 est premier, alors 2 ^{p − 1} (2 ^p − 1) est parfait. Les quatre premiers nombres parfaits étaient les seuls connus des premiers mathématiciens grecs , et le mathématicien Nicomaque a noté 8128 dès 100 apr. J.-C. Dans le langage moderne, Nicomaque affirme sans preuve que tout nombre parfait est de la forme où est premier. Il semble ignorer que n lui-même doit être premier. Il dit également (à tort) que les nombres parfaits se terminent alternativement par 6 ou 8. (Les 5 premiers nombres parfaits se terminent par les chiffres 6, 8, 6, 8, 6 ; mais le sixième se termine également par 6.) Philon d'Alexandrie dans son livre du premier siècle « Sur la création » mentionne les nombres parfaits, affirmant que le monde a été créé en 6 jours et que la lune tourne autour de lui en 28 jours parce que 6 et 28 sont parfaits. Philon est suivi par Origène , et par Didyme l'Aveugle , qui ajoute l'observation qu'il n'y a que quatre nombres parfaits qui sont inférieurs à 10 000. (Commentaire sur la Genèse 1. 14–19). Saint Augustin définit les nombres parfaits dans la Cité de Dieu (Livre XI, chapitre 30) au début du Ve siècle après J.-C., répétant l'affirmation selon laquelle Dieu a créé le monde en 6 jours parce que 6 est le plus petit nombre parfait. Le mathématicien égyptien Ismail ibn Fallūs (1194–1252) a mentionné les trois nombres parfaits suivants (33 550 336 ; 8 589 869 056 ; et 137 438 691 328) et en a énuméré quelques autres qui sont maintenant connus comme étant incorrects. La première mention européenne connue du cinquième nombre parfait est un manuscrit écrit entre 1456 et 1461 par un mathématicien inconnu. En 1588, le mathématicien italien Pietro Cataldi a identifié le sixième (8 589 869 056) et le septième (137 438 691 328) nombres parfaits, et a également prouvé que tout nombre parfait obtenu à partir de la règle d'Euclide se termine par un 6 ou un 8.

Euclide a démontré que est un nombre pair parfait chaque fois que est premier ( Éléments , Prop. IX.36).

Par exemple, les quatre premiers nombres parfaits sont générés par la formule avec p un nombre premier , comme suit :

Les nombres premiers de la forme sont appelés nombres premiers de Mersenne , d'après le moine Marin Mersenne du XVIIe siècle , qui étudia la théorie des nombres et les nombres parfaits. Pour être premier, il faut que p lui-même soit premier. Cependant, tous les nombres de la forme avec un nombre premier p ne sont pas premiers ; par exemple, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 n'est pas un nombre premier. En fait, les nombres premiers de Mersenne sont très rares : des nombres premiers jusqu'à 68 874 199, p est premier pour seulement 48 d'entre eux.

Alors que Nicomaque avait déclaré (sans preuve) que tous les nombres parfaits étaient de la forme où est premier (bien qu'il l'ait déclaré quelque peu différemment), Ibn al-Haytham (Alhazen) vers 1000 après J.-C. n'était pas disposé à aller aussi loin, déclarant à la place (également sans preuve) que la formule ne donnait que tous les nombres pairs parfaits. Ce n'est qu'au XVIIIe siècle que Leonhard Euler a prouvé que la formule donnera tous les nombres pairs parfaits. Ainsi, il existe une correspondance bijective entre les nombres pairs parfaits et les nombres premiers de Mersenne ; chaque nombre premier de Mersenne génère un nombre pair parfait, et vice versa. Ce résultat est souvent appelé le théorème d'Euclide-Euler .

Une recherche exhaustive menée par le projet de calcul distribué GIMPS a montré que les 48 premiers nombres parfaits pairs sont pour

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 et 57885161 (séquence A000043 dans l' OEIS ).

Quatre nombres parfaits supérieurs ont également été découverts, à savoir ceux pour lesquels p = 74207281, 77232917, 82589933 et 136279841. Bien qu'il soit toujours possible qu'il en existe d'autres dans cette gamme, des tests initiaux mais exhaustifs de GIMPS n'ont révélé aucun autre nombre parfait pour p inférieur à 109332539. En octobre 2024 , 52 nombres premiers de Mersenne sont connus, et donc 52 nombres parfaits pairs (dont le plus grand est 2 ^136279840 × (2 ^136279841 − 1) avec 82 048 640 chiffres). On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres parfaits, ni s'il existe une infinité de nombres premiers de Mersenne.

En plus d'avoir la forme , chaque nombre pair parfait est le -ième nombre triangulaire (et donc égal à la somme des entiers de 1 à ) et le -ième nombre hexagonal . De plus, chaque nombre pair parfait, à l'exception de 6, est le -ième nombre nonagonal centré et est égal à la somme des premiers cubes impairs (cubes impairs jusqu'au cube de ) :

Même les nombres parfaits (sauf 6) sont de la forme

avec chaque nombre triangulaire résultant T ₇ = 28 , T ₃₁ = 496 , T ₁₂₇ = 8128 (après avoir soustrait 1 du nombre parfait et divisé le résultat par 9) se terminant par 3 ou 5, la séquence commençant par T ₂ = 3 , T ₁₀ = 55 , T ₄₂ = 903 , T ₂₇₃₀ = 3727815, ... Il s'ensuit qu'en additionnant les chiffres de tout nombre parfait pair (sauf 6), puis en additionnant les chiffres du nombre résultant, et en répétant ce processus jusqu'à ce qu'un seul chiffre (appelé racine numérique ) soit obtenu, produit toujours le nombre 1. Par exemple, la racine numérique de 8128 est 1, car 8 + 1 + 2 + 8 = 19 , 1 + 9 = 10 et 1 + 0 = 1 . Cela fonctionne avec tous les nombres parfaits avec un nombre premier impair p et, en fait, avec tous les nombres de la forme pour entier impair (pas nécessairement premier) m .

En raison de leur forme, tout nombre pair parfait est représenté sous forme binaire par p uns suivis de p − 1 zéros ; par exemple :

Ainsi, tout nombre pair parfait est un nombre pernicieux .

Tout nombre pair parfait est aussi un nombre pratique (cf. Concepts apparentés).

On ne sait pas s'il existe des nombres impairs parfaits, bien que divers résultats aient été obtenus. En 1496, Jacques Lefèvre a déclaré que la règle d'Euclide donne tous les nombres parfaits, impliquant ainsi qu'aucun nombre impair parfait n'existe, mais Euler lui-même a déclaré : « S'il existe des nombres impairs parfaits, c'est une question très difficile ». Plus récemment, Carl Pomerance a présenté un argument heuristique suggérant qu'en effet aucun nombre impair parfait ne devrait exister. Tous les nombres parfaits sont également des nombres diviseurs harmoniques , et il a également été conjecturé qu'il n'y a pas de nombres diviseurs harmoniques impairs autres que 1. De nombreuses propriétés prouvées sur les nombres impairs parfaits s'appliquent également aux nombres de Descartes , et Pace Nielsen a suggéré qu'une étude suffisante de ces nombres pourrait conduire à une preuve qu'aucun nombre impair parfait n'existe.

Tout nombre parfait impair N doit satisfaire les conditions suivantes :

• N > 10 ¹⁵⁰⁰ .
• N n'est pas divisible par 105.
• N est de la forme N ≡ 1 (mod 12) ou N ≡ 117 (mod 468) ou N ≡ 81 (mod 324).
• Le plus grand facteur premier de N est supérieur à 10 ⁸ , et inférieur à
• Le deuxième plus grand facteur premier est supérieur à 10 ⁴ , et est inférieur à .
• Le troisième plus grand facteur premier est supérieur à 100, et inférieur à
• N a au moins 101 facteurs premiers et au moins 10 facteurs premiers distincts. Si 3 ne divise pas N , alors N a au moins 12 facteurs premiers distincts.
• N est de la forme

où:

• q , p ₁ , ..., p _k sont des nombres premiers impairs distincts (Euler).
• q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Euler).
• Le plus petit facteur premier de N est au plus
• Au moins une des puissances premières divisant N dépasse 10 ⁶² .
• .
• .

De plus, plusieurs résultats mineurs sont connus sur les exposants e ₁ , ..., e _k .

• Tous les e _i ≡ 1 ( mod 3).
• Tous les e _i ≡ 2 ( mod 5).
• Si tout e _i ≡ 1 ( mod 3) ou 2 ( mod 5), alors le plus petit facteur premier de N doit être compris entre 10 ⁸ et 10 ¹⁰⁰⁰ .
• Plus généralement, si tous les 2 e _i +1 ont un facteur premier dans un ensemble fini S donné , alors le plus petit facteur premier de N doit être plus petit qu'une constante effectivement calculable dépendant uniquement de S.
• Si ( e ₁ , ..., e _k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) avec t uns et u deux, alors .
• ( e ₁ , ..., e _k ) ≠ (1, ..., 1, 3), (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6) .
• Si e ₁ = ... = e _k = e , alors
  • e ne peut pas être 3, 5, 24, 6, 8, 11, 14 ou 18.

En 1888, Sylvester déclarait :

... une méditation prolongée sur le sujet m'a convaincu que l'existence d'un tel [nombre parfait impair] - son évasion, pour ainsi dire, du réseau complexe de conditions qui l'entourent de toutes parts - serait un peu moins qu'un miracle.

Tous les nombres parfaits pairs ont une forme très précise ; les nombres parfaits impairs n'existent pas ou sont rares. Il existe un certain nombre de résultats sur les nombres parfaits qui sont en fait assez faciles à prouver mais néanmoins superficiellement impressionnants ; certains d'entre eux relèvent également de la loi forte des petits nombres de Richard Guy :

• Le seul nombre pair parfait de la forme n ³ + 1 est 28 (Makowski 1962).
• 28 est également le seul nombre pair parfait qui est une somme de deux cubes positifs d'entiers (Gallardo 2010).
• Les réciproques des diviseurs d'un nombre parfait N doivent totaliser 2 (pour obtenir cela, prenez la définition d'un nombre parfait, , et divisez les deux côtés par n ) :
  • Pour 6, nous avons ;
  • Pour 28, nous avons , etc.
• Le nombre de diviseurs d'un nombre parfait (qu'il soit pair ou impair) doit être pair, car N ne peut pas être un carré parfait.
  • De ces deux résultats, il résulte que tout nombre parfait est un nombre harmonique d'Ore .
• Les nombres pairs parfaits ne sont pas des nombres trapézoïdaux ; c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas être représentés comme la différence de deux nombres triangulaires positifs non consécutifs . Il n'existe que trois types de nombres non trapézoïdaux : les nombres pairs parfaits, les puissances de deux et les nombres de la forme formée comme le produit d'un nombre premier de Fermat par une puissance de deux de manière similaire à la construction de nombres pairs parfaits à partir de nombres premiers de Mersenne.
• Le nombre de nombres parfaits inférieurs à n est inférieur à , où c > 0 est une constante. En fait, c'est , en utilisant la notation little-o .
• Tout nombre pair parfait se termine par 6 ou 28, en base dix ; et, à la seule exception de 6, se termine par 1 en base 9. Par conséquent, en particulier, la racine numérique de tout nombre pair parfait autre que 6 est 1.
• Le seul nombre parfait sans carré est 6.

La somme des diviseurs propres donne d'autres types de nombres. Les nombres dont la somme est inférieure au nombre lui-même sont appelés déficients , et ceux dont la somme est supérieure au nombre, abondants . Ces termes, ainsi que le parfait lui-même, proviennent de la numérologie grecque . Une paire de nombres qui sont la somme de leurs diviseurs propres respectifs sont appelés amicaux , et les cycles de nombres plus grands sont appelés sociables . Un entier positif tel que chaque entier positif plus petit soit une somme de diviseurs distincts de celui-ci est un nombre pratique .

Par définition, un nombre parfait est un point fixe de la fonction diviseur restreinte s ( n ) = σ ( n ) − n , et la suite aliquote associée à un nombre parfait est une suite constante. Tous les nombres parfaits sont également des nombres -parfaits, ou nombres de Granville .

Un nombre semi-parfait est un nombre naturel qui est égal à la somme de tous ou de certains de ses diviseurs propres. Un nombre semi-parfait qui est égal à la somme de tous ses diviseurs propres est un nombre parfait. La plupart des nombres abondants sont également semi-parfaits ; les nombres abondants qui ne sont pas semi-parfaits sont appelés nombres étranges .