Géométrie énumérative

Plusieurs outils, allant des plus élémentaires aux plus avancés, comprennent :

• Comptage des dimensions
• Théorème de Bézout
• le calcul de Schubert , et plus généralement les classes caractéristiques en cohomologie
• Le lien entre le dénombrement des intersections et la cohomologie est la dualité de Poincaré.
• L'étude des espaces de modules des courbes, des applications et autres objets géométriques, parfois via la théorie de la cohomologie quantique . L'étude de la cohomologie quantique , des invariants de Gromov-Witten et de la symétrie miroir a permis des avancées significatives dans la conjecture de Clemens .

La géométrie énumérative est très étroitement liée à la théorie de l'intersection .

Plus récemment, la théorie de l'homotopie motivique a été intégrée.

La géométrie énumérative a connu un développement spectaculaire vers la fin du XIXe siècle, grâce à Hermann Schubert . Il l'a introduite dans le cadre du calcul de Schubert , qui s'est révélé d'une importance fondamentale en géométrie et en topologie dans de nombreux domaines. Les besoins spécifiques de la géométrie énumérative n'ont été pris en compte qu'à partir des années 1960 et 1970 (comme l'a notamment souligné Steven Kleiman ). Les nombres d'intersection avaient été rigoureusement définis (par André Weil dans le cadre de son programme fondateur de 1942-1946 [ puis ultérieurement), mais cela n'a pas épuisé le champ propre des questions énumératives.

L'application naïve du dénombrement des dimensions et du théorème de Bézout conduit à des résultats erronés, comme le montre l'exemple suivant. Face à ces problèmes, les géomètres algébriques ont introduit des « facteurs de correction » vagues, qui n'ont été rigoureusement justifiés que des décennies plus tard.

À titre d'exemple, comptons les coniques tangentes à cinq droites données du plan projectif . Les coniques constituent un espace projectif de dimension 5, leurs six coefficients étant leurs coordonnées homogènes . Cinq points déterminent une conique si ces points sont en position linéaire générale , car le passage par un point donné impose une condition linéaire. De même, la tangence à une droite L donnée (la tangence est l'intersection avec une multiplicité deux) est une condition quadratique, et détermine ainsi une quadrique dans P₅ . Cependant, le système linéaire des diviseurs constitué de toutes ces quadriques possède un lieu de base . En effet ^, chaque quadrique contient la surface de Véronèse , qui paramétrise les coniques.

( aX + bY + cZ ) ² = 0

On les appelle « droites doubles ». En effet, une droite double coupe toutes les droites du plan, puisque les droites du plan projectif se coupent, avec une multiplicité de deux puisqu'elle est doublée, et satisfait donc la même condition d'intersection (intersection de multiplicité deux) qu'une conique non dégénérée tangente à la droite.

Le théorème général de Bézout affirme que 5 quadriques générales dans l'espace à 5 dimensions s'intersectent en 32 = 2⁵ ^points . Cependant, les quadriques concernées ici ne sont pas en position générale . De 32, il faut soustraire 31 et l'attribuer à la quadrique de Véronèse pour obtenir la réponse correcte (d'un point de vue géométrique), à ​​savoir 1. Ce procédé consistant à attribuer des intersections à des cas « dégénérés » constitue une introduction géométrique typique d'un facteur de correction .

Le quinzième problème de Hilbert consistait à surmonter le caractère apparemment arbitraire de ces interventions ; cet aspect va au-delà de la question fondamentale du calcul de Schubert lui-même.

En 1984, H. Clemens a étudié le dénombrement des courbes rationnelles sur une variété quintique de dimension trois et est parvenu à la conjecture suivante.

Soit une variété quintique générale de dimension trois, un entier positif, alors il n'existe qu'un nombre fini de courbes rationnelles de degré sur .

Cette conjecture a été résolue dans le cas , mais reste ouverte pour des valeurs plus élevées de .

En 1991, l'article sur la symétrie miroir sur la variété quintique de dimension trois, du point de vue de la théorie des cordes, donne le nombre de courbes rationnelles de degré d sur pour tout . Avant cela, les géomètres algébriques ne pouvaient calculer ces nombres que pour . 0" $0d>0$0

Parmi les exemples historiquement importants d'énumérations en géométrie algébrique, on peut citer :

• 2 Le nombre de droites rencontrant 4 droites générales dans l'espace
• 8 Le nombre de cercles tangents à 3 cercles généraux (le problème d'Apollonius ).
• 27 Le nombre de lignes sur une surface cubique lisse ( Salmon et Cayley )
• 2875 Le nombre de lignes sur un triplet quintique général
• 3264 Le nombre de coniques tangentes à 5 coniques planes en position générale ( Chasles )
• 609250 Le nombre de coniques sur un triplet quintique général
• 4407296 Le nombre de coniques tangentes à 8 surfaces quadriques générales Schubert 1879 , p.106) Fulton 1984 , p. 193)
• 5819539783680 Le nombre de courbes cubiques tordues tangentes à 12 surfaces quadriques données en position générale dans l'espace 3 Schubert 1879 , p.184) 1987 )