Distribution F

En théorie des probabilités et en statistique , la distribution F ou F -ratio , également connue sous le nom de distribution F de Snedecor ou distribution Fisher-Snedecor (d'après Ronald Fisher et George W. Snedecor ), est une distribution de probabilité continue qui apparaît fréquemment comme la distribution nulle d'une statistique de test , notamment dans l' analyse de la variance (ANOVA) et d'autres tests F. [

Définition

La distribution F avec d ₁ et d ₂ degrés de liberté est la distribution de

{\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Tu</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Tu</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où et sont des variables aléatoires indépendantes avec des distributions du chi carré avec des degrés de liberté respectifs et . ${ extstyle U_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Tu</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle U_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle U_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Tu</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle U_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle d_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle d_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle d_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle d_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

On peut montrer que la fonction de densité de probabilité (pdf) pour X est donnée par

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}} ight)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}} ight)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}} ight)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x ight)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>;</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </msqrt> <mrow> <mi>x</mi> <mi>B</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>B</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \gauche({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\droite)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \gauche({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\droite)}}\gauche({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\droite)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\gauche(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\droite)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

pour x réel > 0. Voici la fonction bêta . Dans de nombreuses applications, les paramètres d ₁ et d ₂ sont des entiers positifs , mais la distribution est bien définie pour les valeurs réelles positives de ces paramètres. ${\displaystyle \mathrm {B} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {B} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

La fonction de distribution cumulative est

{\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({ frac {d_{1}}{2}},{ frac {d_{2}}{2}} ight), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>;</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\gauche({ frac {d_{1}}{2}},{ frac {d_{2}}{2}}\droite),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où I est la fonction bêta incomplète régularisée .

L'espérance, la variance et d'autres détails sur F( d ₁ , d ₂ ) sont donnés dans l'encadré ; pour d ₂ > 8, l' excès de kurtosis est

{\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>γ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>12</mn> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Le k -ième moment d'une distribution F( d ₁ , d ₂ ) existe et est fini uniquement lorsque 2 k < d ₂ et il est égal à

{\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}} ight)^{k}{\frac {\Gamma \left({ frac {d_{1}}{2}}+k ight)}{\Gamma \left({ frac {d_{1}}{2}} ight)}}{\frac {\Gamma \left({ frac {d_{2}}{2}}-k ight)}{\Gamma \left({ frac {d_{2}}{2}} ight)}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>μ</mi> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}} ight)^{k}{\frac {\Gamma \left({ frac {d_{1}}{2}}+k ight)}{\Gamma \left({ frac {d_{1}}{2}} ight)}}{\frac {\Gamma \left({ frac {d_{2}}{2}}-k ight)}{\Gamma \left({ frac {d_{2}}{2}} ight)}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La distribution F est une paramétrisation particulière de la distribution bêta premier , également appelée distribution bêta de deuxième espèce.

La fonction caractéristique est répertoriée de manière incorrecte dans de nombreuses références standard (par exemple, ). L'expression correcte est

{\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}} ight)}{\Gamma \left({ frac {d_{2}}{2}} ight)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>φ</mi> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>U</mi> <mspace></mspace> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mi>ı</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}} ight)}{\Gamma \left({ frac {d_{2}}{2}} ight)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s ight)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où U ( a , b , z ) est la fonction hypergéométrique confluente de seconde espèce.

Caractérisation

Une variable aléatoire de la distribution F avec les paramètres et apparaît comme le rapport de deux variables chi-carré correctement mises à l'échelle : ${\displaystyle d_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où

${\displaystyle U_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle U_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle U_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle U_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Dans les cas où la distribution F est utilisée, par exemple dans l' analyse de la variance , l'indépendance de et peut être démontrée en appliquant le théorème de Cochran . ${\displaystyle U_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle U_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

De manière équivalente, puisque la distribution du chi carré est la somme de variables aléatoires normales standard indépendantes , la variable aléatoire de la distribution F peut également s'écrire

{\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mfrac> </mrow> <mo>÷</mo> <mrow> <mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où et , est la somme des carrés des variables aléatoires de la distribution normale et est la somme des carrés des variables aléatoires de la distribution normale . ${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S_{1}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S_{1}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S_{2}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S_{2}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Dans un contexte fréquentiste , une distribution F échelonnée donne donc la probabilité , la distribution F elle-même, sans aucune mise à l'échelle, s'appliquant où est prise égale à . C'est le contexte dans lequel la distribution F apparaît le plus généralement dans les tests F : où l'hypothèse nulle est que deux variances normales indépendantes sont égales, et les sommes observées de quelques carrés convenablement sélectionnés sont ensuite examinées pour voir si leur rapport est significativement incompatible avec cette hypothèse nulle. ${\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>∣</mo> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sigma _{1}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sigma _{2}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La quantité a la même distribution dans les statistiques bayésiennes, si une loi a priori de Jeffreys non informative et invariante par rééchelonnement est prise pour les probabilités a priori de et . Dans ce contexte, une distribution F mise à l'échelle donne ainsi la probabilité postérieure , où les sommes observées et sont maintenant considérées comme connues. ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sigma _{1}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sigma _{2}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>∣</mo> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s_{1}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s_{1}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s_{2}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s_{2}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Propriétés et distributions associées

Si et ( distribution du Chi carré ) sont indépendants , alors ${\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>∼</mo> <msubsup> <mi>χ</mi> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>∼</mo> <msubsup> <mi>χ</mi> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>X</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>Y</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∼</mo> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si ( distribution Gamma ) sont indépendants, alors ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>∼</mo> <mi>Γ</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∼</mo> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si ( distribution bêta ) alors ${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>∼</mo> <mi>Beta</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>X</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∼</mo> <mi>F</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$
De manière équivalente, si , alors . ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>∼</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>X</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>X</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∼</mo> <mi>Beta</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si , alors a une distribution bêta première : . ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>∼</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({ frac {d_{1}}{2}},{ frac {d_{2}}{2}} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mi>X</mi> <mo>∼</mo> <mrow> <msup> <mi>β</mi> <mrow> <mi>′</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({ frac {d_{1}}{2}},{ frac {d_{2}}{2}} ight)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si alors a la distribution du chi carré ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>∼</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y=\lim _{d_{2} o \infty }d_{1}X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>lim</mo> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>→</mo> <mi>∞</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y=\lim _{d_{2} o \infty }d_{1}X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>χ</mi> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle F(d_{1},d_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F(d_{1},d_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si alors . ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>∼</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1}) <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∼</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si — distribution t de Student — alors : ${\displaystyle X\sim t_{(n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>∼</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X\sim t_{(n)}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>∼</mo> <mi>F</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>∼</mo> <mi>F</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
La distribution F est un cas particulier de la distribution de Pearson de type 6
Si et sont indépendants, avec Laplace( μ , b ) alors ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X,Y\sim <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>∼</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X,Y\sim }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>X</mi> <mo>−</mo> <mi>μ</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>Y</mi> <mo>−</mo> <mi>μ</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∼</mo> <mi>F</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si alors ( distribution z de Fisher ) ${\displaystyle X\sim F(n,m) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>∼</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X\sim F(n,m)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle { frac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>∼</mo> <mi>FisherZ</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle { frac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
La distribution F non centrale se simplifie en distribution F si . ${\displaystyle \lambda =0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>λ</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \lambda =0}</annotation> </semantics> </math><img src=$
La distribution F doublement non centrale se simplifie en distribution F si ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>λ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>λ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si est le quantile p pour et est le quantile pour , alors ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>∼</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 1-p <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 1-p}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>∼</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
La distribution F est une instance de distributions de ratios
La distribution W est une paramétrisation unique de la distribution F.