Surface libre

En physique , une surface libre est la surface d'un fluide qui est soumise à une contrainte de cisaillement parallèle nulle , comme l' interface entre deux fluides homogènes . Un exemple de deux de ces fluides homogènes serait une masse d'eau (liquide) et l'air de l' atmosphère terrestre (mélange gazeux). Contrairement aux liquides , les gaz ne peuvent pas former une surface libre par eux-mêmes. fluidisés / liquéfiés , y compris les boues , les matériaux granulaires et les poudres peuvent former une surface libre.

Un liquide dans un champ gravitationnel formera une surface libre s'il n'est pas confiné par le haut. Dans un état d'équilibre mécanique, cette surface libre doit être perpendiculaire aux forces agissant sur le liquide ; sinon, il y aurait une force le long de la surface et le liquide s'écoulerait dans cette direction. Ainsi, à la surface de la Terre, toutes les surfaces libres des liquides sont horizontales à moins d'être perturbées (sauf à proximité des solides qui y plongent, où la tension superficielle déforme la surface dans une région appelée ménisque ).

Dans un liquide libre qui n'est pas affecté par des forces extérieures telles qu'un champ gravitationnel, seules les forces d'attraction internes jouent un rôle (par exemple les forces de Van der Waals , les liaisons hydrogène ). Sa surface libre prendra la forme ayant la plus petite surface pour son volume : une sphère parfaite . Ce comportement peut être exprimé en termes de tension superficielle . Il peut être démontré expérimentalement en observant un gros globule d'huile placé sous la surface d'un mélange d'eau et d'alcool ayant la même densité , de sorte que l'huile a une flottabilité neutre .

Platitude

La planéité fait référence à la forme de la surface libre d'un liquide . Sur Terre, la planéité d'un liquide est une fonction de la courbure de la planète et, d'après la trigonométrie , on peut constater qu'elle s'écarte de la vraie planéité d'environ 19,6 nanomètres sur une surface de 1 mètre carré , un écart qui est dominé par les effets de la tension superficielle . Ce calcul utilise le rayon moyen de la Terre au niveau de la mer, mais un liquide sera légèrement plus plat aux pôles . Sur de grandes distances ou à l'échelle planétaire, la surface d'un liquide non perturbé tend à se conformer aux surfaces équigéopotentielles ; par exemple, le niveau moyen de la mer suit approximativement le géoïde .

Flots

Si la surface libre d'un liquide est perturbée, des ondes se produisent à sa surface. Ces ondes ne sont pas des ondes élastiques dues à une force élastique quelconque ; ce sont des ondes de gravité provoquées par la force de gravité tendant à ramener la surface du liquide perturbé à son niveau horizontal. L'impulsion fait que l'onde dépasse sa portée , oscillant ainsi et propageant la perturbation aux parties voisines de la surface. La vitesse des ondes de surface varie comme la racine carrée de la longueur d'onde si le liquide est profond ; par conséquent, les longues ondes sur la mer vont plus vite que les courtes. Les vagues très minuscules ou ondulations ne sont pas dues à la gravité mais à l'action capillaire , et ont des propriétés différentes de celles des vagues de surface océaniques plus longues , car la surface est augmentée en surface par les ondulations et les forces capillaires sont dans ce cas grandes par rapport aux forces gravitationnelles. la viscosité sous-jacente et par la rhéologie de surface .

Rotation

Si un liquide est contenu dans un récipient cylindrique et tourne autour d'un axe vertical coïncidant avec l'axe du cylindre, la surface libre prendra une surface de révolution parabolique appelée paraboloïde . La surface libre à chaque point est à angle droit par rapport à la force agissant sur elle, qui est la résultante de la force de gravité et de la force centrifuge du mouvement de chaque point dans un cercle. Étant donné que le miroir principal d'un télescope doit être parabolique, ce principe est utilisé pour créer des télescopes à miroir liquide .

Considérons un récipient cylindrique rempli de liquide tournant dans la direction z dans des coordonnées cylindriques, les équations du mouvement sont :

{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial r}}= ho r\omega ^{2},\quad {\frac {\partial P}{\partial heta }}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=- ho g, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>l</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <mi>l</mi> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>j</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>ρ</mi> <mi>g</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial r}}= ho r\omega ^{2},\quad {\frac {\partial P}{\partial heta }}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=- ho g,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est la pression, est la densité du fluide, est le rayon du cylindre, est la fréquence angulaire et est l' accélération gravitationnelle . En prenant une surface de pression constante, le différentiel total devient ${\displaystyle P <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle ho <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ρ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle ho }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle r <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oméga }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (dP=0) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (dP=0)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle dP= ho r\omega ^{2}dr- ho gdz o {\frac {dz_{ ext{isobar}}}{dr}}={\frac {r\omega ^{2}}{g}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <mi>l</mi> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>l</mi> <mo>−</mo> <mi>ρ</mi> <mi>g</mi> <mi>d</mi> <mi>j</mi> <mo>→</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mtext>isobare</mtext> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>l</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>l</mi> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mi>g</mi> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle dP= ho r\omega ^{2}dr- ho gdz o {\frac {dz_{ ext{isobare}}}{dr}}={\frac {r\omega ^{2}}{g}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

En intégrant, l'équation de la surface libre devient

{\displaystyle z_{s}={\frac {\omega ^{2}}{2g}}r^{2}+h_{c}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>g</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>l</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z_{s}={\frac {\oméga ^{2}}{2g}}r^{2}+h_{c},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est la distance de la surface libre au fond du récipient le long de l'axe de rotation. Si l'on intègre le volume du paraboloïde formé par la surface libre et que l'on résout ensuite la hauteur d'origine, on peut trouver la hauteur du fluide le long de l'axe médian du récipient cylindrique : ${\displaystyle h_{c <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h_{c}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle h_{c}=h_{0}-{\frac {\omega ^{2}R^{2}}{4g}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h_{c}=h_{0}-{\frac {\oméga ^{2}R^{2}}{4g}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

L'équation de la surface libre à n'importe quelle distance du centre devient ${\displaystyle r <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle z_{s}=h_{0}-{\frac {\omega ^{2}}{4g}}(R^{2}-2r^{2}). <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>l</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z_{s}=h_{0}-{\frac {\oméga ^{2}}{4g}}(R^{2}-2r^{2}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Si un liquide libre tourne autour d'un axe, la surface libre prendra la forme d'un sphéroïde aplati : la forme approximative de la Terre en raison de son renflement équatorial .

Termes associés

En hydrodynamique , la surface libre est définie mathématiquement par la condition de surface libre , c'est-à-dire que la dérivée matérielle sur la pression est nulle : ${\displaystyle {\frac {Dp}{Dt}}=0. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>D</mi> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mi>D</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {Dp}{Dt}}=0.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
En dynamique des fluides , un vortex à surface libre , également appelé vortex potentiel ou tourbillon, se forme dans un écoulement irrotationnel , par exemple lorsqu'une baignoire est vidée.
En architecture navale et en sécurité maritime, l' effet de carène libre se produit lorsque des liquides ou des matériaux granulaires situés sous une surface libre dans des réservoirs ou des cales partiellement remplis se déplacent lorsque le navire gîte .
En génie hydraulique, un jet à surface libre est un jet dans lequel l'entraînement du fluide à l'extérieur du jet est minimal, par opposition à un jet submergé où l'effet d'entraînement est important. Un jet de liquide dans l'air se rapproche d'un jet à surface libre.
En mécanique des fluides, un écoulement à surface libre , également appelé écoulement à canal ouvert , est l'écoulement par gravité d'un fluide sous une surface libre, généralement de l'eau s'écoulant sous l'air dans l'atmosphère.