spirale dorée

En géométrie , une spirale d'or est une spirale logarithmique dont le facteur de croissance est $nombre d'or . C'est-à-dire qu'une spirale d'or s'élargit (ou s'éloigne de son origine) d'un facteur de tour qu'elle effectue.$

Spirales d'or approximatives et exactes : la spirale verte est formée de quarts de cercle tangents à l'intérieur de chaque carré, tandis que la spirale rouge est une spirale d'or, un type particulier de spirale logarithmique . Les portions superposées apparaissent en jaune . Le rapport entre la longueur du côté d'un grand carré et celle du carré immédiatement plus petit est proportionnel au nombre d'or . Pour un carré de côté 1, le carré immédiatement plus petit a une largeur de rectangle dont le rapport longueur/largeur est le nombre d'or. Ce rectangle peut ensuite être divisé en un carré et un rectangle semblable , puis ce dernier peut être divisé de la même manière. En répétant ce processus un nombre quelconque d'étapes, on obtient une partition presque complète du rectangle en carrés. Les sommets de ces carrés peuvent être reliés par des quarts de cercle . Le résultat, bien que n'étant pas une spirale logarithmique parfaite , s'en rapproche fortement.

Une autre approximation est la spirale de Fibonacci , construite légèrement différemment. Elle commence par un rectangle divisé en deux carrés. À chaque étape, on ajoute au rectangle un carré dont la longueur correspond au côté le plus long. Comme le rapport entre deux nombres de Fibonacci consécutifs tend vers le nombre d'or lorsque ces nombres tendent vers l'infini, la spirale se rapproche de plus en plus de l'approximation précédente à mesure que l'on ajoute des carrés, comme l'illustre l'image.

Une étude a exploré la préférence esthétique entre différentes spirales, en se concentrant sur la spirale d'or et la spirale de Fibonacci. Dans une expérience en ligne menée auprès de 106 participants, la spirale d'or s'est avérée nettement préférée à la spirale de Fibonacci (79,2 % contre 20,8 %), principalement en raison de la continuité de sa courbure .

Spirales dans la nature

On affirme parfois, à tort, que les galaxies spirales et les coquilles de nautile s'élargissent selon la spirale d'or, et sont donc liées à la fois à $de mollusques, dont celles de nautile, présentent une croissance en spirale logarithmique, mais selon des angles généralement très différents de celui de la spirale d'or. Bien que les galaxies spirales aient souvent été modélisées comme des spirales logarithmiques, archimédiennes ou hyperboliques, leurs angles d'inclinaison varient avec la distance au centre galactique, contrairement aux spirales logarithmiques (dont l'angle est constant), et diffèrent également des autres spirales mathématiques utilisées pour les modéliser. La phyllotaxie, ou mode de croissance des plantes, est parfois liée au nombre d'or car elle implique que les feuilles ou pétales successifs soient séparés par l' angle d'or . Bien que cela puisse parfois être associé à des formes spirales, comme dans les capitules de tournesol , celles-ci sont plus étroitement liées aux spirales de Fermat qu'aux spirales logarithmiques.$

Mathématiques

Une spirale d'or de rayon initial 1 est l'ensemble des points de coordonnées polaires dont le rayon est égal à r, où r est le nombre d'or. Cela signifie que r est multiplié par un facteur 1 tous les 90 degrés.

L' équation polaire d'une spirale d'or est la même que celle des autres spirales logarithmiques , mais avec une valeur particulière du facteur de croissance $e$ étant la base des logarithmes naturels , $angle droit (un quart de tour dans un sens ou dans l'autre) :$

Par conséquent,

La valeur numérique de $degrés ou en radians; et puisque l'angle peut être dans les deux sens, il est plus facile d'écrire la formule de la valeur absolue de colinéaires A, B, C, D appartenant aux arguments conjugué harmonique projectif de B par rapport à A, D, c'est-à-dire que le birapport (A, D; B, C) a la valeur singulière -1. La spirale d'or est la seule spirale logarithmique avec (A, D; B, C) = (A, D; C, B).$

Pente polaire

Définition de l'angle de pente et du secteur

Dans l'équation polaire d'une spirale logarithmique : le paramètre

Dans une spirale d'or, étant constant et égal à (pour

Son angle complémentaire en radians, ou en degrés, est l'angle que forment les bras de la spirale d'or avec une ligne issue du centre de la spirale.