Worldlex Wiki En physique théorique, Eugene Wigner et Erdal İnönü ont discuté de la possibilité d'obtenir à partir d'un groupe de Lie donné un groupe de Lie différent (non isomorphe) par une contraction de groupe par rapport à un sous-groupe continu de celui-ci. Cela revient à une opération limite sur un paramètre de l' algèbre de Lie , modifiant les constantes de structure de cette algèbre de Lie de manière singulière non triviale, dans des circonstances appropriées.
Par exemple, l'algèbre de Lie du groupe de rotation 3D SO(3) , [ X 1 , X 2 ] = X 3 , etc., peut être réécrite par un changement de variables Y 1 = εX 1 , Y 2 = εX 2 , Y 3 = X 3 , comme
- [ Oui 1 , Oui 2 ] = ε 2 Oui 3 , [ Oui 2 , Oui 3 ] = Oui 1 , [ Oui 3 , Oui 1 ] = Oui 2 .
La limite de contraction ε → 0 trivialise le premier commutateur et donne ainsi l'algèbre non isomorphe du groupe euclidien plan , E 2 ~ ISO(2) . (Ce dernier est isomorphe au groupe cylindrique, décrivant les mouvements d'un point sur la surface d'un cylindre. C'est le petit groupe , ou sous-groupe stabilisateur , des quadrivecteurs nuls dans l'espace de Minkowski .) Plus précisément, les générateurs de translation Y 1 , Y 2 , génèrent maintenant le sous-groupe normal abélien de E 2 (cf. Extension de groupe ), les transformations paraboliques de Lorentz .
Des limites similaires, d'application considérable en physique (cf. principes de correspondance ), se contractent
- le groupe de de Sitter SO(4, 1) ~ Sp(2, 2) au groupe de Poincaré ISO(3, 1) , lorsque le rayon de de Sitter diverge : R → ∞ ; ou
- l'algèbre super -anti-de Sitter à la super-algèbre de Poincaré lorsque le rayon AdS diverge R → ∞ ; ou
- le groupe de Poincaré au groupe de Galilée , lorsque la vitesse de la lumière diverge : c → ∞ ; ou
- l' algèbre de Lie du support de Moyal (équivalente aux commutateurs quantiques) à l' algèbre de Lie du support de Poisson , dans la limite classique lorsque la constante de Planck s'annule : ħ → 0 .
