Crochet de Poisson

En mathématiques et en mécanique classique , le crochet de Poisson est une opération binaire importante en mécanique hamiltonienne , jouant un rôle central dans les équations du mouvement de Hamilton, qui régissent l'évolution temporelle d'un système dynamique hamiltonien . Le crochet de Poisson distingue également une certaine classe de transformations de coordonnées, appelées transformations canoniques , qui transforment des systèmes de coordonnées canoniques en systèmes de coordonnées canoniques. Un « système de coordonnées canoniques » se compose de variables canoniques de position et d'impulsion (symbolisées ci-dessous par et , respectivement) qui satisfont les relations canoniques du crochet de Poisson. L'ensemble des transformations canoniques possibles est toujours très riche. Par exemple, il est souvent possible de choisir l'hamiltonien lui-même comme l'une des nouvelles coordonnées canoniques d'impulsion. ${\displaystyle q_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle q_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H=H(q,p,t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H=H(q,p,t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Dans un sens plus général, le crochet de Poisson est utilisé pour définir une algèbre de Poisson , dont l'algèbre des fonctions sur une variété de Poisson est un cas particulier. Il existe également d'autres exemples généraux : il apparaît dans la théorie des algèbres de Lie , où l' algèbre tensorielle d'une algèbre de Lie forme une algèbre de Poisson ; une construction détaillée de la manière dont cela se produit est donnée dans l' article sur l' algèbre enveloppante universelle . Les déformations quantiques de l'algèbre enveloppante universelle conduisent à la notion de groupes quantiques .

Tous ces objets sont nommés en l'honneur de Siméon Denis Poisson . Il a introduit le crochet de Poisson dans son traité de mécanique de 1809.

Propriétés

Étant données deux fonctions f et g qui dépendent de l'espace des phases et du temps, leur crochet de Poisson est une autre fonction qui dépend de l'espace des phases et du temps. Les règles suivantes s'appliquent à trois fonctions quelconques de l'espace des phases et du temps : ${\displaystyle \{f,g\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{f,g\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f,\,g,\,h <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f,\,g,\,h}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Anticommutativité: ${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo>{</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Bilinéarité: ${\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\quad \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>a</mi> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>{</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>}</mo> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mo>{</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>g</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>{</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>{</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>}</mo> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\quad \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$
La règle de Leibniz: ${\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>}</mo> <mi>g</mi> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo>{</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Identité Jacobi: ${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mo>{</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>}</mo> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mo>{</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mo>{</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>}</mo> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mo>{</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>}</mo> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

De plus, si une fonction est constante dans l’espace des phases (mais peut dépendre du temps), alors pour tout . ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{f,\,k\}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>k</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{f,\,k\}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Définition en coordonnées canoniques

En coordonnées canoniques (également appelées coordonnées de Darboux ) sur l' espace des phases , étant donné deux fonctions et , le crochet de Poisson prend la forme ${\displaystyle (q_{i},\,p_{i}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (q_{i},\,p_{i})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g(p_{i},\,q_{i},t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g(p_{i},\,q_{i},t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}} ight). <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>g</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>g</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}} ight).}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les crochets de Poisson des coordonnées canoniques sont où est le delta de Kronecker . ${\displaystyle {\begin{aligned}\{q_{k},q_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial q_{i}}} ight)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot 0-0\cdot \delta _{li} ight)=0,\\\{p_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}} ight)=\sum _{i=1}^{N}\left(0\cdot \delta _{li}-\delta _{ki}\cdot 0 ight)=0,\\\{q_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}} ight)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot \delta _{li}-0\cdot 0 ight)=\delta _{kl},\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>{</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>−</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>{</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> 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<mi>l</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\{q_{k},q_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial q_{i}}} ight)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot 0-0\cdot \delta _{li} ight)=0,\\\{p_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}} ight)=\sum _{i=1}^{N}\left(0\cdot \delta _{li}-\delta _{ki}\cdot 0 ight)=0,\\\{q_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}} ight)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot \delta _{li}-0\cdot 0 ight)=\delta _{kl},\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \delta _{ij <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta _{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les équations du mouvement de Hamilton

Les équations du mouvement de Hamilton ont une expression équivalente en termes de crochet de Poisson. Cela peut être démontré plus directement dans un référentiel de coordonnées explicite. Supposons que soit une fonction sur la variété de trajectoire de la solution. Ensuite, à partir de la règle de la chaîne multivariable , ${\displaystyle f(p,q,t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(p,q,t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>q</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>p</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

De plus, on peut prendre et comme solutions aux équations de Hamilton ; c'est-à-dire, ${\displaystyle p=p(t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p=p(t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle q=q(t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle q=q(t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dq}{dt}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\},\\{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>p</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>H</mi> <mo>}</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>q</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>H</mi> <mo>}</mo> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dq}{dt}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\},\\{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Alors ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>q</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>p</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>p</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>q</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>H</mi> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ainsi, l'évolution temporelle d'une fonction sur une variété symplectique peut être donnée comme une famille de symplectomorphismes à un paramètre (c'est-à-dire des transformations canoniques , des difféomorphismes préservant l'aire), le temps étant le paramètre : Le mouvement hamiltonien est une transformation canonique générée par l'hamiltonien. C'est-à-dire que les crochets de Poisson y sont préservés, de sorte que tout moment dans la solution des équations de Hamilton peut servir de coordonnées de crochet. Les crochets de Poisson sont des invariants canoniques . ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle q(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})p(0), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>t</mi> <mo>{</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo>}</mo> <mo>)</mo> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>t</mi> <mo>{</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo>}</mo> <mo>)</mo> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle q(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})p(0),}</annotation> </semantics> </math><img src=$

En supprimant les coordonnées, ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{H,\cdot \} ight)f. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mo>{</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo>}</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{H,\cdot \} ight)f.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'opérateur dans la partie convective de la dérivée, , est parfois appelé le Liouvillien (voir le théorème de Liouville (hamiltonien) ). ${\displaystyle i{\hat {L}}=-\{H,\cdot \ <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>i</mi> <mrow> <mrow> <mover> <mi>L</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo>{</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle i{\hat {L}}=-\{H,\cdot \}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Matrice de Poisson dans les transformations canoniques

Le concept de crochets de Poisson peut être étendu à celui de matrices en définissant la matrice de Poisson.

Considérons la transformation canonique suivante : En définissant , la matrice de Poisson est définie comme , où est la matrice symplectique sous les mêmes conventions que celles utilisées pour ordonner l'ensemble des coordonnées. Il résulte de la définition que : ${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad ightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>η</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mspace></mspace> <mo>→</mo> <mspace></mspace> <mi>ε</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad ightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> <mo>:=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>ε</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>M</mi> <mi>J</mi> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle J <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>J</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle J}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}} ight)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_{k}}} ight)=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>ε</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>[</mo> <mi>M</mi> <mi>J</mi> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msub> <mo>]</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>η</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>η</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>η</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>η</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo>}</mo> <mrow> <mi>η</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}} ight)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_{k}}} ight)=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La matrice de Poisson satisfait les propriétés connues suivantes : ${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{|M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=-{\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>M</mi> <msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>ε</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mi>J</mi> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>ε</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{|M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=-{\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où la matrice est connue sous le nom de matrice de Lagrange et dont les éléments correspondent aux crochets de Lagrange . La dernière identité peut également être énoncée comme suit : Notez que la sommation ici implique des coordonnées généralisées ainsi que l'impulsion généralisée. ${ extstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>ε</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij <semantics> <mrow> <mstyle> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mo>{</mo> <msub> <mi>η</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>η</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mo>[</mo> <msub> <mi>η</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>η</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>]</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'invariance du crochet de Poisson peut être exprimée comme : , ce qui conduit directement à la condition symplectique : . ${ extstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_{ij <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo>}</mo> <mrow> <mi>η</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo>}</mo> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle MJM^{T}=J <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> <mi>J</mi> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>J</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle MJM^{T}=J}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Constantes du mouvement

Un système intégrable aura des constantes de mouvement en plus de l'énergie. De telles constantes de mouvement commuteront avec l'hamiltonien sous le crochet de Poisson. Supposons qu'une fonction soit une constante de mouvement. Cela implique que si est une trajectoire ou une solution aux équations du mouvement d'Hamilton , alors le long de cette trajectoire. Alors où, comme ci-dessus, l'étape intermédiaire suit en appliquant les équations du mouvement et nous supposons que ne dépend pas explicitement du temps. Cette équation est connue sous le nom d'équation de Liouville . Le contenu du théorème de Liouville est que l'évolution temporelle d'une mesure donnée par une fonction de distribution est donnée par l'équation ci-dessus. ${\displaystyle f(p,q) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(p,q)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p(t),q(t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p(t),q(t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0={\frac {df}{dt <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0={\frac {df}{dt}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}f(p,q)=\{f,H\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>H</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}f(p,q)=\{f,H\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si le crochet de Poisson de et s'annule ( ), alors et sont dits en involution . Pour qu'un système hamiltonien soit complètement intégrable , les constantes de mouvement indépendantes doivent être en involution mutuelle , où est le nombre de degrés de liberté. ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{f,g\}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{f,g\}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

De plus, selon le théorème de Poisson , si deux quantités et sont explicitement des constantes de mouvement indépendantes du temps ( ), leur crochet de Poisson l'est aussi . Cela ne fournit cependant pas toujours un résultat utile, car le nombre de constantes de mouvement possibles est limité ( pour un système à degrés de liberté), et le résultat peut donc être trivial (une constante ou une fonction de et ). ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A(p,q),B(p,q) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A(p,q),B(p,q)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{A,\,B\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>B</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{A,\,B\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 2n-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 2n-1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le crochet de Poisson dans un langage sans coordonnées

Soit une variété symplectique , c'est-à-dire une variété munie d'une forme symplectique : une 2-forme qui est à la fois fermée (c'est-à-dire que sa dérivée extérieure s'annule) et non dégénérée . Par exemple, dans le traitement ci-dessus, prenons pour être et prenons ${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d\omega <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d\omega }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>d</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∧</mo> <mi>d</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si est le produit intérieur ou l'opération de contraction défini par , alors la non-dégénérescence est équivalente à dire que pour chaque forme unique, il existe un champ vectoriel unique tel que . Alternativement, . Alors si est une fonction lisse sur , le champ vectoriel hamiltonien peut être défini comme étant . Il est facile de voir que ${\displaystyle \iota _{v}\omega <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \iota _{v}\omega }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Omega _{\alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Ω</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega _{\alpha }}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <msub> <mi>Ω</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Ω</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>H</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mi>H</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X_{H <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>H</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X_{H}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Omega _{dH <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Ω</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>H</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega _{dH}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le crochet de Poisson sur ( M , ω ) est une opération bilinéaire sur des fonctions différentiables , définie par ; le crochet de Poisson de deux fonctions sur M est lui-même une fonction sur M . Le crochet de Poisson est antisymétrique car : ${\displaystyle \ \{\cdot ,\,\cdot \ <semantics> <mrow> <mstyle> <mtext> </mtext> <mo>{</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mo>⋅</mo> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \ \{\cdot ,\,\cdot \}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>g</mi> <mo>}</mo> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mspace></mspace> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo>{</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

En outre,

Ici, X _g f désigne le champ vectoriel X _g appliqué à la fonction f comme dérivée directionnelle, et désigne la dérivée de Lie (entièrement équivalente) de la fonction f . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{g}}f <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{g}}f}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si α est une forme arbitraire sur M , le champ de vecteurs Ω _α génère (au moins localement) un flot satisfaisant la condition aux limites et l'équation différentielle du premier ordre ${\displaystyle \phi _{x}(t) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi _{x}(t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \phi _{x}(0)=x <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi _{x}(0)=x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha } ight|_{\phi _{x}(t)}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mo></mo> <msub> <mi>Ω</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha } ight|_{\phi _{x}(t)}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Il y aura des symplectomorphismes ( transformations canoniques ) pour tout t en fonction de x si et seulement si ; lorsque cela est vrai, Ω _α est appelé un champ de vecteurs symplectiques . En rappelant l'identité de Cartan et d ω = 0 , il s'ensuit que . Par conséquent, Ω _α est un champ de vecteurs symplectiques si et seulement si α est une forme fermée . Puisque , il s'ensuit que tout champ de vecteurs hamiltonien X _f est un champ de vecteurs symplectiques, et que le flot hamiltonien est constitué de transformations canoniques. D'après (1) ci-dessus, sous le flot hamiltonien X _H , ${\displaystyle \phi _{x}(t) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi _{x}(t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Ω</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mspace></mspace> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mo>+</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mi>d</mi> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega ight)\;=\;d\alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Ω</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <msub> <mi>Ω</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega ight)\;=\;d\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mspace></mspace> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mspace></mspace> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{H}f=\{f,H\}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>H</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>H</mi> <mo>}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{H}f=\{f,H\}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Il s'agit d'un résultat fondamental de la mécanique hamiltonienne, régissant l'évolution temporelle des fonctions définies sur l'espace des phases. Comme indiqué ci-dessus, lorsque { f , H } = 0 , f est une constante de mouvement du système. De plus, en coordonnées canoniques (avec et ), les équations d'Hamilton pour l'évolution temporelle du système découlent immédiatement de cette formule. ${\displaystyle \{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mspace></mspace> <mo>{</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mspace></mspace> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Il résulte également de (1) que le crochet de Poisson est une dérivation ; c'est-à-dire qu'il satisfait une version non commutative de la règle du produit de Leibniz :

Le crochet de Poisson est intimement lié au crochet de Lie des champs vectoriels hamiltoniens. Comme la dérivée de Lie est une dérivation, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}u}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,u]}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega . <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>u</mi> <mo>]</mo> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}u}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,u]}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega .}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ainsi, si v et u sont symplectiques, en utilisant , l'identité de Cartan et le fait que est une forme fermée, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\omega =0={\mathcal {L}}_{u}\omega <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\omega =0={\mathcal {L}}_{u}\omega }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \iota _{u}\omega <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \iota _{u}\omega }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \iota _{[v,u]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{u}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )=d(\omega (u,v)). <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>u</mi> <mo>]</mo> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ι</mi> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \iota _{[v,u]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{u}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )=d(\omega (u,v)).}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Il s'ensuit que , de sorte que ${\displaystyle [v,u]=X_{\omega (u,v) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>u</mi> <mo>]</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [v,u]=X_{\omega (u,v)}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ainsi, le crochet de Poisson sur les fonctions correspond au crochet de Lie des champs de vecteurs hamiltoniens associés. Nous avons également montré que le crochet de Lie de deux champs de vecteurs symplectiques est un champ de vecteurs hamiltonien et est donc également symplectique. Dans le langage de l'algèbre abstraite , les champs de vecteurs symplectiques forment une sous-algèbre de l' algèbre de Lie des champs de vecteurs lisses sur M , et les champs de vecteurs hamiltoniens forment un idéal de cette sous-algèbre. Les champs de vecteurs symplectiques sont l'algèbre de Lie du groupe de Lie (de dimension infinie) des symplectomorphismes de M .

Il est largement admis que l' identité de Jacobi pour le crochet de Poisson découle de l'identité correspondante pour le crochet de Lie des champs de vecteurs, mais cela n'est vrai qu'à une fonction localement constante près. Cependant, pour prouver l'identité de Jacobi pour le crochet de Poisson, il suffit de montrer que : où l'opérateur sur les fonctions lisses sur M est défini par et le crochet du côté droit est le commutateur des opérateurs, . D'après (1) , l'opérateur est égal à l'opérateur X _g . La preuve de l'identité de Jacobi découle de (3) car, à un facteur -1 près, le crochet de Lie des champs de vecteurs n'est que leur commutateur en tant qu'opérateurs différentiels. ${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mo>{</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>}</mo> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mo>{</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mo>{</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>}</mo> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mo>{</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>}</mo> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}] <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ad</mi> <mrow> <mo>{</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>}</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>ad</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>}</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>[</mo> <msub> <mi>ad</mi> <mrow> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>ad</mi> <mrow> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ad</mi> <mrow> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\ <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ad</mi> <mrow> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mo>⋅</mo> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mspace></mspace> <mo>{</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>g</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle [\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A} <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>B</mi> <mo>]</mo> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mspace></mspace> <mi>A</mi> <mo>⁡</mo> <mi>B</mi> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>⁡</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ad</mi> <mrow> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L' algèbre des fonctions lisses sur M forme avec le crochet de Poisson une algèbre de Poisson , car c'est une algèbre de Lie sous le crochet de Poisson, qui satisfait en plus la règle (2) de Leibniz . Nous avons montré que toute variété symplectique est une variété de Poisson , c'est-à-dire une variété avec un opérateur "accolades" sur les fonctions lisses telles que les fonctions lisses forment une algèbre de Poisson. Cependant, toutes les variétés de Poisson n'apparaissent pas de cette façon, car les variétés de Poisson admettent une dégénérescence qui ne peut pas survenir dans le cas symplectique.

Un résultat sur les moments conjugués

Étant donné un champ vectoriel lisse sur l'espace de configuration, soit son impulsion conjuguée . L'application d'impulsion conjuguée est un anti-homomorphisme d'algèbre de Lie du crochet de Lie au crochet de Poisson : ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P_{X <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{X}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>]</mo> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ce résultat important mérite une courte démonstration. Écrivons un champ de vecteurs en un point de l' espace de configuration tel que où est le repère local. L'impulsion conjuguée à a pour expression où sont les fonctions d'impulsion conjuguées aux coordonnées. On a alors, pour un point de l' espace des phases , ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle q <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (q,p) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (q,p)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j} ight\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>{</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msup> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>[</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <msup> <mo>]</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>]</mo> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j} ight\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ce qui précède est valable pour tous les , donnant le résultat souhaité. ${\displaystyle (q,p) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (q,p)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Quantification

Les crochets de Poisson se déforment en crochets de Moyal lors de la quantification , c'est-à-dire qu'ils se généralisent à une autre algèbre de Lie, l' algèbre de Moyal , ou, de manière équivalente dans l'espace de Hilbert , aux commutateurs quantiques . La contraction de ces derniers par le groupe de Wigner-İnönü (la limite classique, ħ → 0 ) donne l'algèbre de Lie ci-dessus.

Pour le dire plus explicitement et plus précisément, l' algèbre enveloppante universelle de l' algèbre de Heisenberg est l' algèbre de Weyl (modulo la relation que le centre soit l'unité). Le produit de Moyal est alors un cas particulier du produit en étoile sur l'algèbre des symboles. Une définition explicite de l'algèbre des symboles et du produit en étoile est donnée dans l'article sur l' algèbre enveloppante universelle .