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méthode des moyennes les plus élevées

" Les méthodes de répartition par moyennes les plus élevées , par diviseur ou par arrondi constituent une famille de règles de répartition , c'est-à-dire des algorithmes permett...

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de répartition , c'est-à-dire des algorithmes permettant une répartition équitable des sièges au sein d'une assemblée législative entre plusieurs groupes (tels que les partis politiques ou les États ). Plus généralement, les méthodes par diviseur servent à arrondir les parts d'un total à une fraction dont le dénominateur est fixe (par exemple, les points de pourcentage, dont la somme doit être égale à 100).

Ces méthodes visent à garantir l'égalité de traitement des électeurs en assurant que les législateurs représentent un nombre égal d'électeurs, chaque parti disposant du même ratio sièges/voix (ou diviseur ). Ces méthodes divisent le nombre de voix par le nombre de voix par siège pour obtenir la répartition finale. Ce faisant, la méthode maintient la représentation proportionnelle , car un parti ayant par exemple deux fois plus de voix remportera environ deux fois plus de sièges.

Les méthodes de répartition par diviseur sont généralement préférées aux méthodes du plus grand reste par les théoriciens du choix social et les mathématiciens , car elles produisent des résultats plus proportionnels selon la plupart des critères et sont moins sujettes aux paradoxes de répartition . En particulier, les méthodes de répartition par diviseur évitent le paradoxe de population et les effets de sabotage , contrairement aux méthodes du plus grand reste.

Thomas Jefferson pour se conformer à l'exigence de la Constitution des États-Unis selon laquelle les États doivent avoir au maximum un représentant pour 30 000 habitants. Sa solution consistait à diviser la population de chaque État par 30 000 avant d'arrondir à l'inférieur.

La répartition des sièges devint un sujet majeur de débat au Congrès, notamment après la découverte d' irrégularités dans de nombreuses règles d'arrondi en apparence raisonnables. Des débats similaires apparurent en Europe après l'adoption de la représentation proportionnelle , généralement en raison des tentatives des grands partis d'introduire des seuils et autres barrières à l'entrée pour les petits partis. De telles répartitions ont souvent des conséquences importantes, comme lors du redécoupage électoral de 1870 , où le Congrès utilisa une répartition ad hoc pour favoriser les États républicains . Si le total des voix électorales de chaque État avait été exactement égal à son nombre de voix auquel il avait droit , ou si le Congrès avait utilisé la méthode Webster/Sainte-Laguë ou la méthode du plus grand reste (comme il le faisait depuis 1840), l' élection de 1876 aurait été remportée par Tilden et non par Hayes .

Définitions

Les deux noms donnés à ces méthodes — moyennes les plus élevées et diviseurs — reflètent deux manières différentes de les concevoir, et leurs deux inventions indépendantes. Cependant, les deux procédures sont équivalentes et donnent le même résultat.

Les méthodes de division sont basées sur des règles d'arrondi , définies à l'aide d'une séquence de repèresun quota électoral . Ce diviseur peut être considéré comme le nombre de voix dont un parti a besoin pour obtenir un siège supplémentaire à l'assemblée législative, la population idéale d'une circonscription électorale ou le nombre d'électeurs représentés par chaque législateur.

Si chaque législateur représentait un nombre égal d'électeurs, le nombre de sièges attribués à chaque État pourrait être calculé en divisant la population par le diviseur. Cependant, la répartition des sièges doit être composée de nombres entiers ; par conséquent, pour déterminer la répartition pour un État donné, il faut arrondir (en utilisant la séquence des signes) après la division. Ainsi, la répartition de chaque parti est donnée par :

Généralement, le diviseur est initialement fixé à la valeur du quota Hare . Cependant, cette procédure peut attribuer un nombre de sièges trop élevé ou trop faible. Dans ce cas, la somme des sièges attribués à chaque État ne correspond pas à la taille totale de l'assemblée législative. Un diviseur approprié peut être trouvé par tâtonnement .

Procédure des moyennes les plus élevées

Avec l'algorithme des moyennes les plus élevées, chaque parti commence avec 0 siège. Ensuite, à chaque itération, on attribue un siège au parti ayant la moyenne de votes la plus élevée, c'est-à-dire le parti ayant le plus de votes par siège . Cette méthode se poursuit jusqu'à ce que tous les sièges soient attribués.

Il est toutefois difficile de déterminer s'il est préférable de considérer la moyenne des votes avant l'attribution des sièges, la moyenne après l'attribution, ou s'il convient d'opter pour un compromis avec une correction de continuité . Chacune de ces approches aboutit à une répartition légèrement différente. De nombreuses lois électorales utilisent la moyenne avant l'attribution des sièges. En général, on peut définir les moyennes à l'aide de la séquence de points de repère :

Méthodes spécifiques

Bien que toutes les méthodes de division partagent la même procédure générale, elles diffèrent par le choix de l'ordre des bornes et, par conséquent, par la règle d'arrondi. Il convient de noter que, pour les méthodes où la première borne est zéro, chaque parti ayant obtenu au moins une voix recevra un siège avant qu'un autre parti n'en obtienne un deuxième ; en pratique, cela signifie généralement que chaque parti doit obtenir au moins un siège, sauf s'il est disqualifié par un seuil électoral .

Formules de diviseurs
Méthodepanneaux indicateursArrondir les siègespremières valeurs approximatives
AdamsEn hautHarmoniqueHuntington-HillGéométriquePondéréWebster/Sainte-LaguëArithmétiqueLe pouvoir signifieD'HondtVers le basThomas Jefferson fut le premier à proposer une méthode de division, en 1792 ; elle fut ensuite développée indépendamment par le politologue belge Victor d'Hondt en 1878. Elle attribue le représentant à la liste qui serait la plus sous-représentée à la fin du tour. Elle demeure à ce jour la méthode la plus courante de représentation proportionnelle .

La méthode D'Hondt utilise la séquence , c'est-à-dire (1, 2, 3, ...), ce qui signifie qu'elle arrondira toujours la part d'une partie à l'inférieur.

La répartition selon la méthode D'Hondt ne descend jamais en dessous de la limite inférieure de la répartition idéale et minimise le risque de surreprésentation au sein de l'assemblée législative. Cependant, elle est peu performante au regard de la plupart des autres indicateurs de proportionnalité. Cette règle attribue généralement aux grands partis un nombre excessif de sièges, leur part dépassant souvent leur nombre de sièges auquel ils ont droit, arrondi à l'entier supérieur.

Cette pathologie a donné lieu à de nombreuses moqueries à l'égard de la méthode D'Hondt lorsqu'il a été révélé que cette méthode pouvait « arrondir » la répartition des sièges de New York , passant de 40,5 à 42. Le sénateur Mahlon Dickerson a même déclaré que le siège supplémentaire devait provenir des « fantômes des représentants disparus ».

La méthode d'Adams

La méthode d'Adams a été conçue par John Quincy Adams après avoir constaté que la méthode de D'Hondt attribuait trop peu de sièges aux petits États. Elle peut être décrite comme l'inverse de la méthode de D'Hondt ; elle attribue un siège au parti ayant obtenu le plus grand nombre de voix par siège avant l'ajout du nouveau siège. La fonction de division est cadre idéal et minimise la sous-représentation dans le pire des cas. Cependant, à l'instar de la méthode de D'Hondt, la méthode d'Adams est peu performante selon la plupart des indicateurs de proportionnalité. Elle enfreint également souvent le quota de sièges inférieur .

La méthode d'Adams a été proposée dans le cadre du compromis de Cambridge pour la répartition des sièges du Parlement européen entre les États membres, dans le but de satisfaire à la proportionnalité dégressive .

Méthode Webster/Sainte-Laguë (Schepers)

Daniel Webster , puis indépendamment en 1910 par le mathématicien français André Sainte-Laguë . En 1980, le physicien allemand Bundestag , a suggéré de modifier la répartition des sièges selon la méthode D'Hondt afin d'éviter de désavantager les petits partis. Les médias allemands ont commencé à utiliser le terme « méthode Schepers », et la littérature allemande l'appelle généralement « méthode Sainte-Laguë/Schepers ».

La méthode Webster/Sainte-Laguë utilise la séquence de poteaux de clôture règle d’arrondi standard . De manière équivalente, les entiers impairs (1, 3, 5…) peuvent être utilisés pour calculer les moyennes.

La méthode Webster/Sainte-Laguë présente un ratio sièges/voix plus équilibré pour les partis de tailles différentes parmi les méthodes de répartition ; elle produit des répartitions plus proportionnelles que la méthode D'Hondt selon presque tous les indicateurs de sous-représentation . De ce fait, elle est généralement préférée à la méthode D'Hondt par les politologues et les mathématiciens, du moins dans les situations où la manipulation est difficile ou improbable (comme dans les grands parlements) . Elle est également remarquable pour minimiser les biais liés à la répartition des sièges , même avec des partis obtenant un très petit nombre de sièges . La méthode Webster/Sainte-Laguë peut théoriquement enfreindre le cadre idéal , bien que cela soit extrêmement rare, même pour les parlements de taille moyenne ; aucune violation des quotas n'a jamais été observée lors de la répartition des sièges au Congrès américain .

Dans les petites circonscriptions sans seuil , les partis peuvent manipuler la méthode Webster/Sainte-Laguë en se divisant en de nombreuses listes, chacune remportant un siège complet avec un nombre de voix inférieur au quota Hare . On remédie souvent à ce problème en augmentant légèrement le premier diviseur (souvent à une valeur de 0,7 ou 1), ce qui crée un seuil implicite .

Méthode de Huntington-Hill

de Huntington-Hill , la séquence de référence est moyenne géométrique des nombres voisins. Conceptuellement, cette méthode arrondit à l'entier présentant la plus petite différence relative (en pourcentage) . Par exemple, la différence entre 2,47 et 3 est d'environ 19 %, tandis que la différence avec 2 est d'environ 21 %, donc 2,47 est arrondi à l'entier supérieur. Cette méthode est utilisée pour la répartition des sièges à la Chambre des représentants des États-Unis entre les États.

La méthode Huntington-Hill tend à produire des résultats très similaires à la méthode Webster/Sainte-Laguë, à ceci près qu'elle garantit à chaque État ou parti au moins un siège (voir Chambre des représentants des États-Unis , les deux méthodes ont produit des résultats identiques ; lors de leur seconde utilisation, elles ne différaient que par l'attribution d'un siège au Michigan ou à l'Arkansas .

Comparaison des propriétés

Répartition des sièges à zéro

Les méthodes de Huntington-Hill, Dean et Adams attribuent toutes une valeur de 0 au premier diviseur, ce qui donne une moyenne infinie. Ainsi, en l'absence de seuil, tous les partis ayant obtenu au moins une voix se verront attribuer au moins un siège. Cette propriété peut être souhaitable (par exemple, lors de la répartition des sièges entre les États ) ou indésirable (par exemple, lors de la répartition des sièges entre les listes de partis lors d'une élection), auquel cas le premier diviseur peut être ajusté afin de créer un seuil naturel.

Biais

Il existe de nombreux indicateurs de biais dans la répartition des sièges . Bien que la méthode Webster/Sainte-Laguë soit parfois qualifiée d’« uniquement » impartiale cette propriété d’unicité repose sur une définition technique du biais , défini comme la différence moyenne entre le nombre de sièges attribués à un État et le nombre de sièges auxquels il a droit . Autrement dit, une méthode est dite impartiale si le nombre de sièges obtenus par un État est, en moyenne sur de nombreuses élections, égal au nombre de sièges auxquels il a droit

Selon cette définition, la méthode Webster/Sainte-Laguë est la méthode de répartition la moins biaisée , tandis que la méthode Huntington-Hill présente un léger biais en faveur des petits partis . Cependant, d'autres chercheurs ont constaté que des définitions légèrement différentes du biais, généralement basées sur les pourcentages d'erreurs , aboutissent au résultat inverse (la méthode Huntington-Hill est non biaisée, tandis que la méthode Webster/Sainte-Laguë est légèrement biaisée en faveur des grands partis)

En pratique, la différence entre ces définitions est minime lorsqu'il s'agit de partis ou d'États comptant plusieurs sièges. Ainsi, les méthodes de Huntington-Hill et de Webster/Sainte-Laguë peuvent toutes deux être considérées comme impartiales ou peu biaisées (contrairement aux méthodes de D'Hondt ou d'Adams). Un rapport de 1929 au Congrès américain, rédigé par l' Académie nationale des sciences, recommandait la méthode de Huntington-Hill, tandis que la Cour suprême des États-Unis a statué que le choix entre ces systèmes relevait de l'interprétation.

Comparaison et exemples

Exemple : D'Hondt

L'exemple suivant illustre comment la méthode de D'Hondt peut différer sensiblement de méthodes moins biaisées telles que celle de Webster/Sainte-Laguë. Lors de cette élection, le parti arrivé en tête obtient 46 % des voix, mais 52,5 % des sièges, ce qui lui permet de remporter la majorité absolue face à une coalition de tous les autres partis (qui recueillent ensemble 54 % des suffrages). De plus, ce résultat est obtenu en violation des quotas : le parti arrivé en tête n'a droit qu'à 9,7 sièges, mais il en obtient 11. La plus grande circonscription électorale est presque deux fois plus grande que la plus petite. La méthode de Webster/Sainte-Laguë ne présente aucune de ces caractéristiques, avec une erreur maximale de 22,6 %.

D'HondtWebster/Sainte-Laguë
Faire la fêteJauneBlancRougeVertVioletTotalFaire la fêteJauneBlancRougeVertVioletTotal
Votes46 00025 10012 2108 3508 340100 000Votes46 00025 10012 2108 3508 340100 000
Sièges11621121Sièges9532221
Idéal9,6605.2712,5641,7541,75121Idéal9,6605.2712,5641,7541,75121
Votes/Siège418241836105835083404762Votes/Siège511150204070417541704762
% Erreur13,0%13,0%-24,8%-56,2%-56,0%(100 %)(% Gamme)-7,1%-5,3%15,7%13,2%13,3%(22,6%)
SiègesMoyennespanneaux indicateursSiègesMoyennespanneaux indicateurs
146 00025 10012 2108 3508 3401,00192 00150 20124 42016 70016 6800,50
223 00012 5506 1054 1754 1702.00230 66716 7348 1405 5675 5601,50
315 3338 3674 0702 7832 7803,00318 40010 0404 8843 3403 3362,50
411 5006 2753 0532 0882 0854.00413 1437 1723 4892 3862 3833,50
59 2005 0202 4421 6701 6685,00510 2225 5782 7131 8561 8534,50
67 6674 1832 0351 3921 3906.0068 3644 5642 2201 5181 5165,50
76 5713 5861 7441 1931 1917.0077 0773 8621 8781 2851 2836,50
85 7503 1381 5261 0441 0438.0086 1333 3471 6281 1131 1127,50
95 1112 7891 3579289279.0095 4122 9531 4369829818,50
104 6002 5101 22183583410,00104 8422 6421 2858798789,50
114 1822 2821 11075975811h00114 3812 3911 16379579410,50

Exemple : Adams

L'exemple suivant montre un cas où la méthode d'Adams ne parvient pas à accorder la majorité à un parti qui obtient 55 % des voix, en violation de son droit à un quota.

La méthode d'AdamsMéthode Webster/Sainte-Laguë
Faire la fêteJauneBlancRougeVertVioletTotalFaire la fêteJauneBlancRougeVertVioletTotal
Votes55 00017 29016 6005 5605 550100 000Votes55 00017 29016 6005 5605 550100 000
Sièges10432221Sièges11441121
Idéal11.5503,6313,4861,1681,16621Idéal11.5503,6313,4861,1681,16621
Votes/Siège550043235533278027754762Votes/Siège458343235533556055504762
% Erreur-14,4%9,7%-15,0%53,8%54,0%(99,4%)(% Gamme)3,8%9,7%-15,0%-15,5%-15,3%(28,6%)
SiègesMoyennespanneaux indicateursSiègesMoyennespanneaux indicateurs
1∞∞∞∞∞0,001110 00134 58033 20011 12011 1000,50
255 00117 29016 6005 5605 5501,00236 66711 52711 0673 7073 7001,50
327 5008 6458 3002 7802 7752.00322 0006 9166 6402 2242 2202,50
418 3345 7635 5331 8531 8503,00415 7144 9404 7431 5891 5863,50
513 7504 3234 1501 3901 3884.00512 2223 8423 6891 2361 2334,50
611 0003 4583 3201 1121 1105,00610 0003 1443 0181 0111 0095,50
79 1672 8822 7679279256.0078 4622 6602 5548558546,50
87 8572 4702 3717947937.0087 3332 3052 2137417407,50
96 8752 1612 0756956948.0096 4712 0341 9536546538,50
106 1111 9211 8446186179.00105 7901 8201 7475855849,50
115 5001 7291 66055655510,00115 2381 6471 58153052910,50
Sièges104322Sièges114411

Exemple : Tous les systèmes

L'exemple suivant illustre le fonctionnement de tous les systèmes de vote. Remarquez que les méthodes de Huntington-Hill et d'Adams attribuent un siège à chaque parti avant d'en attribuer d'autres, contrairement aux méthodes de Webster/Sainte-Laguë et de D'Hondt.

Méthode D'HondtMéthode Webster/Sainte-LaguëMéthode de Huntington-HillMéthode Adams
faire la fêteJauneBlancRougeVertBleuRoseJauneBlancRougeVertBleuRoseJauneBlancRougeVertBleuRoseJauneBlancRougeVertBleuRose
votes47 00016 00015 90012 0006 0003 10047 00016 00015 90012 0006 0003 10047 00016 00015 90012 0006 0003 10047 00016 00015 90012 0006 0003 100
sièges522100422110421111322111
votes/siège9 4008 0007 95012 000∞∞11 7508 0007 95012 0006 000∞11 7508 00015 90012 0006 0003 10015 6678 0007 95012 0006 0003 100
siègeattribution des siègesattribution des siègesattribution des siègesattribution des sièges
147 00047 000∞∞
223 50016 000∞∞
316 00015 900∞∞
415 90015 667∞∞
515 66712 000∞∞
612 0009 400∞∞
711 7506 71433 23447 000
89 4006 00019 18723 500
98 0005 33313 56716 000
107 9505 30011 31415 900

Calculatrice stationnaire

Le tableau suivant calcule la répartition pour toute fonction de signalisation stationnaire. Autrement dit, il arrondit la répartition si la moyenne des votes est supérieure à la barre sélectionnée.

Faire la fêteJauneBlancRougeVertBleuRoseTotal
Votesméthodes du plus grand reste car elles sont moins sujettes aux paradoxes de répartition . En particulier, les méthodes de division satisfont la monotonie de la population , c'est-à-dire que voter pour un parti ne peut jamais lui faire perdre de sièges. De tels paradoxes de population surviennent lorsque le quota électoral augmente , ce qui peut entraîner des réactions erratiques des restes des différents États. méthodes de division satisfont également la monotonie des ressources ou des chambres , ce qui signifie que l'augmentation du nombre de sièges dans une assemblée législative ne doit pas entraîner la perte d'un siège pour un État.

Inégalité Min-Max

Toute méthode de division peut être définie à l'aide de l'inégalité min-max. En désignant l'indexation du tableau entre crochets, une allocation est valide si et seulement si :

règle des quotas : elles peuvent attribuer à certains agents un montant inférieur à leur quota minimal (quota arrondi à l’inférieur) ou supérieur à leur quota maximal (quota arrondi à l’entier supérieur). Ce problème peut être résolu en utilisant des méthodes de division avec quota plafonné , au prix d’une perte de monotonie de la population.

Des expériences de simulation montrent que différentes méthodes de division ont des probabilités très différentes de violation du quota (lorsque le nombre de votes est sélectionné par une distribution exponentielle) :

  • La probabilité pour Adams et D'Hondt est de 98%;
  • La probabilité pour D'Hondt avec une exigence minimale de 1 est de 78%;
  • La probabilité pour Dean est d'environ 9 %, et pour Huntington-Hill d'environ 4 % ;
  • La probabilité pour Webster/Sainte-Laguë est la plus faible - seulement 0,16 %.

Familles de méthodes

Les méthodes de division décrites ci-dessus peuvent être généralisées en familles.

moyenne généralisée

En général, il est possible de construire une méthode de répartition à partir de n'importe quelle fonction moyenne généralisée , en définissant la fonction signe comme moyenne arithmétique pondérée de

En 1830, la population représentative du Massachusetts était de 610 408 habitants : s’il obtenait 12 sièges, la taille moyenne de sa circonscription serait de 50 867 ; s’il en obtenait 13, elle serait de 46 954. Par conséquent, si le diviseur était de 47 700 comme le proposait Polk, le Massachusetts devrait obtenir 13 sièges, car 46 954 est plus proche de 47 700 que 50 867.

Arrondir à la moyenne des votes présentant la plus petite erreur relative revient à la méthode de Huntington-Hill car Edward V. Huntington des erreurs relatives (plutôt qu'absolues) pour mesurer la sous-représentation, et à sa défense de la règle de Hill : Huntington soutenait que le choix de la méthode de répartition ne devait pas dépendre de la façon dont l'équation de représentation égale est réorganisée, et que seule l'erreur relative (minimisée par la règle de Hill) satisfait cette propriété.

Stolarsky signifie famille

De même, la moyenne de Stolarsky permet de définir une famille de méthodes de division qui minimise l' indice d'entropie généralisée de mauvaise représentation. Cette famille comprend la moyenne logarithmique , la moyenne géométrique , la moyenne identrique et la moyenne arithmétique . L'intérêt des moyennes de Stolarsky réside dans la minimisation de ces métriques de mauvaise représentation, qui sont d'une importance majeure en théorie de l'information .

Modifications

Seuils

Suisse et en Israël , et les élections au Parlement européen au Danemark , autorisent les accords de vote excédentaire, selon lesquels deux ou plusieurs partis sont considérés comme un seul bloc aux fins de la répartition des sièges ; au sein de ce bloc, une seconde répartition des sièges a lieu entre les parties à l'accord.

Méthode de division plafonnée par quota

critère de participation (également appelé monotonie de la population ) : un parti peut perdre un siège malgré l'obtention d' un plus grand nombre de voix.

Systèmes électoraux