Filtre passe-haut

Un filtre passe-haut ( HPF ) est un filtre électronique qui laisse passer les signaux dont la fréquence est supérieure à une certaine fréquence de coupure et atténue les signaux dont les fréquences sont inférieures à la fréquence de coupure. La quantité d' atténuation pour chaque fréquence dépend de la conception du filtre. Un filtre passe-haut est généralement modélisé comme un système linéaire invariant dans le temps . Il est parfois appelé filtre coupe-bas ou filtre coupe-bas dans le contexte de l'ingénierie audio. Les filtres passe-haut ont de nombreuses utilisations, comme le blocage du courant continu des circuits sensibles aux tensions moyennes non nulles ou des appareils à radiofréquence . Ils peuvent également être utilisés en conjonction avec un filtre passe-bas pour produire un filtre passe-bande .

Dans le domaine optique, les filtres sont souvent caractérisés par la longueur d'onde plutôt que par la fréquence. Les filtres passe-haut et passe-bas ont des significations opposées, un filtre « passe-haut » (plus communément « passe-court ») ne laissant passer que les longueurs d'onde plus courtes (fréquences plus élevées), et vice versa pour un filtre « passe-bas » (plus communément « passe-long »).

Description

En électronique, un filtre est un circuit électronique à deux ports qui supprime les composantes de fréquence d'un signal (tension ou courant variable dans le temps) appliqué à son port d'entrée. Un filtre passe-haut atténue les composantes de fréquence inférieures à une certaine fréquence, appelée fréquence de coupure, permettant ainsi le passage des composantes de fréquence plus élevées. Cela contraste avec un filtre passe-bas , qui atténue les fréquences supérieures à une certaine fréquence, et un filtre passe-bande , qui laisse passer une certaine bande de fréquences et atténue les fréquences supérieures et inférieures à la bande.

En optique, un filtre passe-haut est une fenêtre transparente ou translucide en matériau coloré qui laisse passer la lumière d'une longueur d'onde supérieure à une certaine longueur d'onde et atténue la lumière de longueurs d'onde plus courtes. Étant donné que la lumière est souvent mesurée non pas par la fréquence mais par la longueur d'onde , qui est inversement proportionnelle à la fréquence, un filtre optique passe-haut, qui atténue les fréquences lumineuses inférieures à une fréquence de coupure, est souvent appelé filtre passe-bas ; il atténue les longueurs d'onde plus longues.

Circuits à temps continu

Passif de premier ordre

Une résistance et un condensateur ou une inductance peuvent être configurés comme un filtre passe-haut du premier ordre. Le filtre passe-haut capacitif du premier ordre simple illustré à la figure 1 est mis en œuvre en plaçant une tension d'entrée sur la combinaison série d'un condensateur et d'une résistance et en utilisant la tension sur la résistance comme sortie. La fonction de transfert de ce système linéaire invariant dans le temps est :

{\displaystyle {\frac {V_{ m {out}}(s)}{V_{ m {in}}(s)}}={\frac {sRC}{1+sRC}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mrow> <mi>ou</mi> <mi>toi</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mrow> <mi>je</mi> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {V_{ m {sortie}}(s)}{V_{ m {entrée}}(s)}}={\frac {sRC}{1+sRC}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Le produit de la résistance et de la capacité ( R × C ) est la constante de temps (τ) ; elle est inversement proportionnelle à la fréquence de coupure f _c , c'est-à-dire,

{\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi au }}={\frac {1}{2\pi RC}},\, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>τ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi au }}={\frac {1}{2\pi RC}},\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où f _c est en hertz , τ en secondes , R en ohms et C en farads . La réponse en fréquence du filtre atteint -3 dB par rapport à la fréquence infinie à la fréquence de coupure.

Actif de premier ordre

La figure 2 montre une implémentation électronique active d'un filtre passe-haut du premier ordre utilisant un amplificateur opérationnel . La fonction de transfert de ce système linéaire invariant dans le temps est :

{\displaystyle {\frac {V_{ m {out}}(s)}{V_{ m {in}}(s)}}={\frac {-sR_{2}C}{1+sR_{1}C}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mrow> <mi>ou</mi> <mi>toi</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mrow> <mi>je</mi> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>C</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {V_{ m {sortie}}(s)}{V_{ m {entrée}}(s)}}={\frac {-sR_{2}C}{1+sR_{1}C}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Dans ce cas, le filtre a un gain de bande passante de − R ₂ / R ₁ et a une fréquence de coupure de

{\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi au }}={\frac {1}{2\pi R_{1}C}},\, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>τ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>C</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi au }}={\frac {1}{2\pi R_{1}C}},\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Étant donné que ce filtre est actif , il peut avoir un gain de bande passante non unitaire . Autrement dit, les signaux haute fréquence sont inversés et amplifiés par R ₂ / R ₁ .

Tous ces filtres passe-haut du premier ordre sont appelés différenciateurs , car ils effectuent une différenciation pour les signaux dont la bande de fréquence est bien inférieure à la fréquence de coupure du filtre.

Ordres supérieurs

Les filtres d'ordre supérieur ont une pente plus raide dans la bande d'arrêt, de sorte que la pente des filtres d'ordre ^{n est égale à 20n dB par décade. Les filtres d'ordre supérieur peuvent être obtenus simplement en cascade de ces filtres de premier ordre. Alors que}l'adaptation d'impédance et la charge doivent être prises en compte lors de l'enchaînement de filtres passifs, les filtres actifs peuvent être facilement enchaînés car le signal est restauré par la sortie de l'amplificateur opérationnel à chaque étage. Il existe différentes topologies de filtres et filtres de synthèse de réseau pour les ordres supérieurs, ce qui facilite la conception.

Réalisation en temps discret

Il est également possible de concevoir des filtres passe-haut à temps discret. La conception de filtres à temps discret dépasse le cadre de cet article. Cependant, un exemple simple provient de la conversion du filtre passe-haut à temps continu ci-dessus en une réalisation à temps discret. Autrement dit, le comportement en temps continu peut être discrétisé .

À partir du circuit de la figure 1 ci-dessus, selon les lois de Kirchhoff et la définition de la capacité :

{\displaystyle {\begin{cases}V_{ ext{out}}(t)=I(t)\,R&{ ext{(V)}}\\Q_{c}(t)=C\,\left(V_{ ext{in}}(t)-V_{ ext{out}}(t) ight)&{ ext{(Q)}}\\I(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}&{ ext{(I)}}\end{cases <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>{</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mtext>out</mtext> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mi>R</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>(V)</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mspace></mspace> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mtext>in</mtext> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mtext>out</mtext> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>(Q)</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>I</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>(I)</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{cases}V_{ ext{out}}(t)=I(t)\,R&{ ext{(V)}}\\Q_{c}(t)=C\,\left(V_{ ext{in}}(t)-V_{ ext{out}}(t) ight)&{ ext{(Q)}}\\I(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}&{ ext{(I)}}\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est la charge stockée dans le condensateur à l'instant . En remplaçant l'équation (Q) dans l'équation (I) puis l'équation (I) dans l'équation (V), on obtient : ${\displaystyle Q_{c}(t) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Q_{c}(t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle V_{ ext{out}}(t)=\overbrace {C\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{ ext{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{ ext{out}}}{\operatorname {d} t}} ight)} ^{I(t)}\,R=RC\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{ ext{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{ ext{out}}}{\operatorname {d} t}} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mtext>out</mtext> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mover> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> <mspace></mspace> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mtext>in</mtext> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mtext>out</mtext> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>⏞</mo> </mover> </mrow> <mrow> <mi>I</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mover> <mspace></mspace> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi>C</mi> <mspace></mspace> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mtext>in</mtext> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mtext>out</mtext> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V_{ ext{out}}(t)=\overbrace {C\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{ ext{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{ ext{out}}}{\operatorname {d} t}} ight)} ^{I(t)}\,R=RC\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{ ext{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{ ext{out}}}{\operatorname {d} t}} ight)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Cette équation peut être discrétisée. Pour simplifier, supposons que des échantillons de l'entrée et de la sortie sont prélevés à des moments régulièrement espacés dans le temps, séparés par le temps. Soit les échantillons de représentés par la séquence , et soit représentés par la séquence qui correspondent aux mêmes moments dans le temps. En faisant ces substitutions : ${\displaystyle \Delta _{T <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Δ</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Delta _{T}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V_{ ext{in <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mtext>in</mtext> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V_{ ext{in}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V_{ ext{out <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mtext>out</mtext> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V_{ ext{out}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle y_{i}=RC\,\left({\frac {x_{i}-x_{i-1}}{\Delta _{T}}}-{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi>C</mi> <mspace></mspace> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>Δ</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>Δ</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y_{i}=RC\,\left({\frac {x_{i}-x_{i-1}}{\Delta _{T}}}-{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}} ight)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Et la réorganisation des termes donne la relation de récurrence

{\displaystyle y_{i}=\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}y_{i-1}} ^{ ext{Decaying contribution from prior inputs}}+\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\left(x_{i}-x_{i-1} ight)} ^{ ext{Contribution from change in input <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mrow> <mover> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>Δ</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>⏞</mo> </mover> </mrow> <mrow> <mtext>Decaying contribution from prior inputs</mtext> </mrow> </mover> <mo>+</mo> <mover> <mrow> <mover> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>Δ</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>⏞</mo> </mover> </mrow> <mrow> <mtext>Contribution from change in input</mtext> </mrow> </mover> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y_{i}=\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}y_{i-1}} ^{ ext{Decaying contribution from prior inputs}}+\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\left(x_{i}-x_{i-1} ight)} ^{ ext{Contribution from change in input}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Autrement dit, cette implémentation à temps discret d'un simple filtre passe-haut RC à temps continu est

{\displaystyle y_{i}=\alpha y_{i-1}+\alpha (x_{i}-x_{i-1})\qquad { ext{where}}\qquad \alpha riangleq {\frac {RC}{RC+\Delta _{T <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mrow> <mtext>where</mtext> </mrow> <mspace></mspace> <mi>α</mi> <mo>≜</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>Δ</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y_{i}=\alpha y_{i-1}+\alpha (x_{i}-x_{i-1})\qquad { ext{where}}\qquad \alpha riangleq {\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Par définition, . L'expression du paramètre donne la constante de temps équivalente en termes de période d'échantillonnage et : ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>α</mi> <mo>≤</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle RC <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle RC}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Delta _{T <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Δ</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Delta _{T}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle RC=\Delta _{T}\left({\frac {\alpha }{1-\alpha }} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>Δ</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>α</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle RC=\Delta _{T}\left({\frac {\alpha }{1-\alpha }} ight)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Rappelant que

{\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle RC={\frac {1}{2\pi f_{c <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

alors et sont liés par : ${\displaystyle \alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f_{c <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{c}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <msub> <mi>Δ</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle f_{c}={\frac {1-\alpha }{2\pi \alpha \Delta _{T <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>α</mi> <msub> <mi>Δ</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{c}={\frac {1-\alpha }{2\pi \alpha \Delta _{T}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Si , alors la constante de temps est égale à la période d'échantillonnage. Si , alors est significativement plus petite que l'intervalle d'échantillonnage, et . ${\displaystyle \alpha =0.5 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mn>0.5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha =0.5}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle RC <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle RC}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \alpha \ll 0.5 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>≪</mo> <mn>0.5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha \ll 0.5}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle RC <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle RC}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle RC\approx \alpha \Delta _{T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mi>C</mi> <mo>≈</mo> <mi>α</mi> <msub> <mi>Δ</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle RC\approx \alpha \Delta _{T}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Implémentation algorithmique

La relation de récurrence du filtre permet de déterminer les échantillons de sortie en fonction des échantillons d'entrée et de la sortie précédente. L' algorithme de pseudo-code suivant simule l'effet d'un filtre passe-haut sur une série d'échantillons numériques, en supposant que les échantillons sont uniformément espacés :

// Renvoie les échantillons de sortie du filtre passe-haut RC, étant donné les échantillons d'entrée, // intervalle de temps dt et constante de temps fonction RC highpass( real[1..n] x, real dt, real RC) var real[1..n] y var real α := RC / (RC + dt)

 y[1] := x[1] pour i de 2 à n y[i] := α × y[i−1] + α × (x[i] − x[i−1]) retourner y

La boucle qui calcule chacune des sorties peut être refactorisée en l'équivalent : ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

pour i de 2 à n y[i] := α × (y[i−1] + x[i] − x[i−1])

Cependant, la forme précédente montre comment le paramètre α modifie l'impact de la sortie précédente y[i-1] et du changement actuel de l'entrée (x[i] - x[i-1]) . En particulier,

Un α élevé implique que la sortie va décroître très lentement mais sera également fortement influencée par des changements même minimes de l'entrée. D'après la relation entre le paramètre α et la constante de temps ci-dessus, un α élevé correspond à une fréquence de coupure élevée et donc basse du filtre. Par conséquent, ce cas correspond à un filtre passe-haut avec une bande d'arrêt très étroite. Comme il est excité par de petits changements et a tendance à conserver ses valeurs de sortie antérieures pendant une longue période, il peut laisser passer des fréquences relativement basses. Cependant, une entrée constante (c'est-à-dire une entrée avec {{{1}}} ) décroîtra toujours jusqu'à zéro, comme on pourrait s'y attendre avec un filtre passe-haut avec un grand . ${\displaystyle RC <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle RC}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle RC <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle RC}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle RC <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle RC}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Un petit α implique que la sortie va décroître rapidement et nécessitera de grands changements dans l'entrée (c'est-à-dire que (x[i] - x[i-1]) est grand) pour provoquer un changement important de la sortie. D'après la relation entre le paramètre α et la constante de temps ci-dessus, un petit α correspond à une fréquence de coupure faible et donc élevée du filtre. Par conséquent, ce cas correspond à un filtre passe-haut avec une bande d'arrêt très large. Comme il nécessite des changements importants (c'est-à-dire rapides) et a tendance à oublier rapidement ses valeurs de sortie antérieures, il ne peut transmettre que des fréquences relativement élevées, comme on pourrait s'y attendre avec un filtre passe-haut avec un petit . ${\displaystyle RC <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle RC}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle RC <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle RC}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle RC <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle RC}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Applications

Audio

Les filtres passe-haut ont de nombreuses applications. Ils sont utilisés dans le cadre d'un filtre audio pour diriger les hautes fréquences vers un tweeter tout en atténuant les signaux de basse qui pourraient interférer avec le haut-parleur ou l'endommager. Lorsqu'un tel filtre est intégré dans un caisson de haut-parleur, il s'agit généralement d'un filtre passif qui comprend également un filtre passe-bas pour le woofer et utilise donc souvent à la fois un condensateur et une inductance (bien que des filtres passe-haut très simples pour tweeters puissent être constitués d'un condensateur série et de rien d'autre). À titre d'exemple, la formule ci-dessus, appliquée à un tweeter avec une résistance de 10 Ω, déterminera la valeur du condensateur pour une fréquence de coupure de 5 kHz , soit environ 3,2 μF. ${\displaystyle C={\frac {1}{2\pi fR}}={\frac {1}{6.28 imes 5000 imes 10}}=3.18 imes 10^{-6 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>6.28</mn> <mo>×</mo> <mn>5000</mn> <mo>×</mo> <mn>10</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>3.18</mn> <mo>×</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow> <mo>−</mo> <mn>6</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C={\frac {1}{2\pi fR}}={\frac {1}{6.28 imes 5000 imes 10}}=3.18 imes 10^{-6}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Une alternative, qui fournit un son de bonne qualité sans inducteurs (qui sont sujets au couplage parasite, sont coûteux et peuvent avoir une résistance interne importante) est d'utiliser une bi-amplification avec des filtres RC actifs ou des filtres numériques actifs avec des amplificateurs de puissance séparés pour chaque haut-parleur . De tels filtres de niveau de ligne à faible courant et à basse tension sont appelés filtres actifs .

Les filtres anti-rumble sont des filtres passe-haut appliqués à la suppression des sons indésirables proches de l'extrémité inférieure de la plage audible ou en dessous. Par exemple, les bruits (par exemple, les bruits de pas ou les bruits de moteur des tourne-disques et des magnétophones ) peuvent être supprimés parce qu'ils ne sont pas souhaités ou peuvent surcharger le circuit d'égalisation RIAA du préampli .

Les filtres passe-haut sont également utilisés pour le couplage CA aux entrées de nombreux amplificateurs de puissance audio , pour empêcher l'amplification des courants continus qui peuvent endommager l'amplificateur, lui voler sa marge de manœuvre et générer de la chaleur résiduelle au niveau de la bobine acoustique des haut-parleurs . Un amplificateur, le modèle audio professionnel DC300 fabriqué par Crown International au début des années 1960, n'avait pas du tout de filtrage passe-haut et pouvait être utilisé pour amplifier le signal CC d'une pile de 9 volts commune à l'entrée pour fournir 18 volts CC en cas d'urgence pour l'alimentation de la console de mixage . Cependant, la conception de base de ce modèle a été remplacée par des conceptions plus récentes telles que la série Crown Macro-Tech développée à la fin des années 1980 qui comprenait un filtrage passe-haut de 10 Hz sur les entrées et un filtrage passe-haut commutable de 35 Hz sur les sorties. Un autre exemple est la série d'amplificateurs QSC Audio PLX qui comprend un filtre passe-haut interne de 5 Hz qui est appliqué aux entrées chaque fois que les filtres passe-haut optionnels de 50 et 30 Hz sont désactivés.

Les consoles de mixage incluent souvent un filtrage passe-haut sur chaque tranche de canal . Certains modèles ont des filtres passe-haut à pente fixe et à fréquence fixe à 80 ou 100 Hz qui peuvent être activés ; d'autres modèles ont des filtres passe-haut balayables, des filtres à pente fixe qui peuvent être réglés dans une plage de fréquences spécifiée, comme de 20 à 400 Hz sur la Midas Heritage 3000, ou de 20 à 20 000 Hz sur la console de mixage numérique Yamaha M7CL . Bruce Main, ingénieur système chevronné et mixeur de son live, recommande d'activer les filtres passe-haut pour la plupart des sources d'entrée de mixage, à l'exception de celles telles que la grosse caisse , la guitare basse et le piano, sources qui auront des sons de basse fréquence utiles. Main écrit que les entrées de l'unité DI (par opposition aux entrées micro ) n'ont pas besoin de filtrage passe-haut car elles ne sont pas soumises à la modulation par le lavage de scène à basse fréquence - des sons de basse fréquence provenant des caissons de basse ou du système de sonorisation et se propageant jusqu'à la scène. Main indique que les filtres passe-haut sont couramment utilisés pour les microphones directionnels qui ont un effet de proximité , c'est-à-dire une amplification des basses fréquences pour les sources très proches. Cette amplification des basses fréquences cause généralement des problèmes jusqu'à 200 ou 300 Hz, mais Main note qu'il a vu des microphones qui bénéficient d'un réglage de filtre passe-haut à 500 Hz sur la console.

Image

Les filtres passe-haut et passe-bas sont également utilisés dans le traitement d'images numériques pour effectuer des modifications d'image, des améliorations, une réduction du bruit, etc., en utilisant des conceptions réalisées soit dans le domaine spatial , soit dans le domaine fréquentiel . L' opération de masquage flou , ou de netteté, utilisée dans les logiciels de retouche d'images est un filtre high-boost, une généralisation du passe-haut.