colimite et limite d'homotopie

Le concept de colimite d'homotopie ^{p. 4-8} est une généralisation des pushouts d'homotopie , tels que le cylindre d'application utilisé pour définir une cofibration . Cette notion est motivée par l'observation suivante : le pushout (ordinaire)

L'espace obtenu en contractant la ( n − 1)-sphère (qui est la frontière du disque à n dimensions) en un seul point est homéomorphe à la n -sphère S n . Par ailleurs, le produit scalaire de la surface de la n-sphère est donné par l'équation ci-dessus.

est un point. Par conséquent, même si le disque ( contractible ) D ⁿ a été remplacé par un point (qui est homotopiquement équivalent au disque), les deux poussées ne sont pas homotopiquement (ou faiblement ) équivalentes.

Par conséquent, le pushout n'est pas compatible avec un principe de la théorie de l'homotopie, qui considère que les espaces faiblement équivalents contiennent la même information : si l'un (ou plusieurs) des espaces utilisés pour former le pushout est remplacé par un espace faiblement équivalent, le pushout ne conserve plus son équivalence faible. Le pushout homotopique corrige ce défaut.

Le pushout homotopique de deux applications

Autrement dit, au lieu de coller B à la fois en A et en C , on colle deux copies d'un cylindre sur B et on colle leurs extrémités en A et en C. Par exemple, la colimite d'homotopie du diagramme (dont les applications sont des projections).

est le joint

On peut démontrer que l'application homotopique ne présente pas le défaut de l'application ordinaire : en remplaçant A , B et/ou C par un espace homotopique, l'application homotopique est elle aussi homotopique. En ce sens, l'application homotopique traite les espaces homotopiques de la même manière que l'application ordinaire traite les espaces homéomorphes.

Un autre exemple utile et motivant de colimite d'homotopie consiste à construire des modèles pour la colimite d'homotopie du diagramme

des espaces topologiques. Il existe plusieurs façons de modéliser cette colimite : la première consiste à considérer l’espace

où

que l'on peut décrire visuellement comme l'image

Puisque nous pouvons interpréter de la même manière le diagramme ci-dessus comme le diagramme commutatif , à partir des propriétés des catégories, nous obtenons un diagramme commutatif.

donnant une colimite d'homotopie. On pourrait supposer que cela ressemble à

Remarquez cependant que nous avons introduit un nouveau cycle pour intégrer les nouvelles données de la composition. Ceci crée un problème technique qui peut être résolu par des techniques simpliciales : nous proposons une méthode pour construire un modèle de colimites d'homotopie. Le nouveau diagramme, qui représente graphiquement la colimite d'homotopie du diagramme de composition, est représenté comme suit :

donnant un autre modèle de la colimite d'homotopie qui est homotopiquement équivalent au diagramme original (sans la composition de

La colimite d'homotopie d'une suite d'espaces

Le télescope de cartographie est appelé . Un exemple de calcul consiste à déterminer la colimite d'homotopie d'une suite de cofibrations . La colimite de ^{p. 62} de ce diagramme donne une colimite d'homotopie. Cela implique que l'on pourrait calculer la colimite d'homotopie de n'importe quel télescope de cartographie en remplaçant les applications par des cofibrations.

Pour traiter des exemples tels que le télescope de cartographie et le pushout d'homotopie sur un pied d'égalité, on peut considérer un catégorie d '« indexation » . Il s'agit d'un foncteur.

c'est-à-dire qu'à chaque objet , on assigne un espace et on établit entre eux, selon les applications dans .

Il existe un foncteur naturel appelé la diagonale,

qui envoie tout espace partout (et de l'identité de

qui envoie un espace qui, à un certain objet

Ici, est la catégorie de tranche (ses objets sont des flèches i , où ), gauche du foncteur diagonal donné ci-dessus. Pour définir une colimite d'homotopie, il faut modifier différemment. Une colimite d'homotopie peut être définie comme l'adjoint à gauche d'un : Espaces → Espaces ^I où

( X )( i ) = _Espaces Hom ( | N ( I ^op / i ) | , X ) ,

où est la catégorie opposée de ci-dessus, il partage la propriété que si la réalisation géométrique de la catégorie nerveuse ( N (-) | ) est remplacée par un espace de points, nous retrouvons le foncteur original ₀ .