Fonction zêta de Hurwitz

En mathématiques , la fonction zêta de Hurwitz est l'une des nombreuses fonctions zêta . Elle est formellement définie pour des variables complexes s avec Re( s ) > 1 et a ≠ 0, −1, −2, … par

Cette série est absolument convergente pour les valeurs données de s et a et peut être étendue à une fonction méromorphe définie pour tout s ≠ 1 . La fonction zêta de Riemann est ζ( s ,1) . La fonction zêta de Hurwitz doit son nom à Adolf Hurwitz , qui l'a introduite en 1882.

La fonction zêta de Hurwitz a une représentation intégrale

pour et (Cette intégrale peut être considérée comme une transformée de Mellin .) La formule peut être obtenue, approximativement, en écrivant $1\mathrm{Concernant}\left(m\right)>1$1}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82e22215d90eb4893d05f9b2bff409094a3451f2">$0.\mathrm{Concernant}\left(\mathrm{un}\right)>0.$0.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d884563105269727ddea8e85986ea550f9b288">

et en intervertissant ensuite la somme et l'intégrale.

La représentation intégrale ci-dessus peut être convertie en une représentation intégrale de contour

où est un contour de Hankel dans le sens antihoraire autour de l'axe réel positif, et la branche principale est utilisée pour l' exponentiation complexe . Contrairement à l'intégrale précédente, cette intégrale est valable pour tout s , et est en fait une fonction entière de s .

La représentation intégrale de contour fournit une continuation analytique de à tout . En , elle possède un pôle simple avec résidu .

La fonction zêta de Hurwitz satisfait une identité qui généralise l' équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann :

valable pour Re( s ) > 1 et 0 < a ≤ 1. L'équation fonctionnelle zêta de Riemann est le cas particulier a = 1 :

La formule de Hurwitz peut également être exprimée comme

(pour Re( s ) < 0 et 0 < a ≤ 1).

La formule de Hurwitz a une variété de preuves différentes. Une preuve utilise la représentation de l'intégration de contour avec le théorème des résidus . Une deuxième preuve utilise une identité de fonction thêta , ou de manière équivalente une sommation de Poisson . Ces preuves sont analogues aux deux preuves de l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann dans l'article de Riemann de 1859. Une autre preuve de la formule de Hurwitz utilise la sommation d'Euler-Maclaurin pour exprimer la fonction zêta de Hurwitz comme une intégrale.

(−1 < Re( s ) < 0 et 0 < a ≤ 1) puis en développant le numérateur comme une série de Fourier .

Lorsque a est un nombre rationnel, la formule de Hurwitz conduit à l' équation fonctionnelle suivante : Pour les entiers ,

est valable pour toutes les valeurs de s .

Cette équation fonctionnelle peut être écrite sous une autre forme équivalente :

Les sommes finies suivantes sont étroitement liées à l'équation fonctionnelle, dont certaines peuvent être évaluées sous une forme fermée

où m est un entier positif supérieur à 2 et s est complexe, voir par exemple l'annexe B dans.

Une représentation convergente de la série de Newton définie pour (réel) a > 0 et tout complexe s ≠ 1 a été donnée par Helmut Hasse en 1930 :

Cette série converge uniformément sur des sous-ensembles compacts du plan s vers une fonction entière . La somme interne peut être comprise comme étant la n -ième différence directe de ; c'est-à-dire,

où Δ est l' opérateur de différence directe . Ainsi, on peut écrire :

La dérivée partielle du zêta dans le deuxième argument est un décalage :

Ainsi, la série de Taylor peut s'écrire comme :

Alternativement,

avec .

La formule de Stark-Keiper lui est étroitement liée :

qui est valable pour un entier N et un entier s quelconque . Voir également la formule de Faulhaber pour une relation similaire sur les sommes finies de puissances d'entiers.

Le développement de la série de Laurent peut être utilisé pour définir des constantes de Stieltjes généralisées qui apparaissent dans la série

En particulier, le terme constant est donné par

où est la fonction gamma et est la fonction digamma . Comme cas particulier, .

La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre .

Les valeurs de ζ ( s , a ) à s = ​​0, −1, −2, ... sont liées aux polynômes de Bernoulli :

Par exemple, l' affaire donne

La dérivée partielle par rapport à s à s = ​​0 est liée à la fonction gamma :

En particulier, la formule est due à Lerch .

Si est la fonction thêta de Jacobi , alors

est valable pour et z complexe, mais pas pour un entier. Pour z = n un entier, cela se simplifie en $0\Re s>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80126ed503b0817037a9157e8a8adaaa11c32b42">

où ζ est ici la fonction zêta de Riemann . Notons que cette dernière forme est l' équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann, telle que donnée à l'origine par Riemann. La distinction basée sur le fait que z soit un entier ou non rend compte du fait que la fonction thêta de Jacobi converge vers la fonction delta périodique , ou peigne de Dirac en z lorsque .

Dans le cas d'arguments rationnels, la fonction zêta de Hurwitz peut être exprimée comme une combinaison linéaire de fonctions L de Dirichlet et vice versa : La fonction zêta de Hurwitz coïncide avec la fonction zêta de Riemann ζ( s ) lorsque a = 1, lorsque a = 1/2 elle est égale à (2 ^s −1)ζ( s ), et si a = n / k avec k > 2, ( n , k ) > 1 et 0 < n < k , alors

la somme qui court sur tous les caractères de Dirichlet mod k . Dans la direction opposée, nous avons la combinaison linéaire

Il y a aussi le théorème de multiplication

dont une généralisation utile est la relation de distribution

(Cette dernière forme est valable chaque fois que q est un nombre naturel et que 1 − qa ne l’est pas.)

Si a = 1, la fonction zêta de Hurwitz se réduit à la fonction zêta de Riemann elle-même ; si a = 1/2, elle se réduit à la fonction zêta de Riemann multipliée par une fonction simple d'argument complexe s ( voir supra ), ce qui conduit dans chaque cas à l'étude difficile des zéros de la fonction zêta de Riemann. En particulier, il n'y aura pas de zéros avec une partie réelle supérieure ou égale à 1. Cependant, si 0< a < 1 et a ≠ 1/2, alors il y a des zéros de la fonction zêta de Hurwitz dans la bande 1<Re( s )<1+ε pour tout nombre réel positif ε. Ceci a été prouvé par Davenport et Heilbronn pour un irrationnel rationnel ou transcendantal a , et par Cassels pour un irrationnel algébrique a .

La fonction zêta de Hurwitz apparaît dans un certain nombre d'identités frappantes à des valeurs rationnelles. En particulier, les valeurs en termes de polynômes d'Euler :

et

On a aussi

qui est valable pour . Ici, les et sont définis au moyen de la fonction chi de Legendre comme

et

Pour les valeurs entières de ν, celles-ci peuvent être exprimées en termes de polynômes d'Euler. Ces relations peuvent être dérivées en utilisant l'équation fonctionnelle ainsi que la formule de Hurwitz, données ci-dessus.

La fonction zêta de Hurwitz est présente dans de nombreuses disciplines. Elle est le plus souvent utilisée en théorie des nombres , où sa théorie est la plus approfondie et la plus développée. Cependant, elle est également utilisée dans l'étude des fractales et des systèmes dynamiques . En statistique appliquée , elle est utilisée dans la loi de Zipf et la loi de Zipf-Mandelbrot . En physique des particules , elle est utilisée dans une formule de Julian Schwinger , qui donne un résultat exact pour le taux de production de paires d'un électron de Dirac dans un champ électrique uniforme.

La fonction zêta de Hurwitz avec un entier positif m est liée à la fonction polygamma :

La fonction zêta de Barnes généralise la fonction zêta de Hurwitz.

Le transcendant de Lerch généralise le zêta de Hurwitz :

et donc

Fonction hypergéométrique

Fonction G de Meijer

• Apostol, TM (2010), « Fonction zêta de Hurwitz », dans Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M. ; Boisvert, Ronald F. ; Clark, Charles W. (éd.), Manuel des fonctions mathématiques du NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, M. 2723248.
• Voir le chapitre 12 de Apostol, Tom M. (1976), Introduction à la théorie analytique des nombres , Textes de premier cycle en mathématiques, New York-Heidelberg : Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Milton Abramowitz et Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . (Voir le paragraphe 6.4.10 pour la relation avec la fonction polygamma.)
• Davenport, Harold (1967). Théorie multiplicative des nombres . Cours de mathématiques avancées. Vol. 1. Chicago : Markham. Zbl 0159.06303.
• Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. (1998). "Dérivées de la fonction zêta de Hurwitz pour les arguments rationnels". Journal of Computational and Applied Mathematics . 100 (2): 201– 206. doi : 10.1016/S0377-0427(98)00193-9 .
• Mező, István ; Dil, Ayhan (2010). "Série hyperharmonique impliquant la fonction zêta de Hurwitz". Journal de théorie des nombres . 130 (2) : 360-369 . est ce que je :10.1016/j.jnt.2009.08.005. hdl : 2437/90539 .
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). Un cours d'analyse moderne (4e éd.). Cambridge, Royaume-Uni : Cambridge University Press .