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Hydrostatique

Tableau de l'hydraulique et de l'hydrostatique, de la Cyclopædia de 1728 La statique des fluides ou hydrostatique est la branche de la mécanique des fluides qui étudie les fluid...

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La statique des fluides ou hydrostatique est la branche de la mécanique des fluides qui étudie les fluides à l'équilibre hydrostatique et « la pression dans un fluide ou exercée par un fluide sur un corps immergé ».

Elle englobe l'étude des conditions dans lesquelles les fluides sont au repos en équilibre stable , par opposition à la dynamique des fluides , qui est l'étude des fluides en mouvement. L'hydrostatique est une sous-catégorie de la statique des fluides , qui est l'étude de tous les fluides, compressibles ou incompressibles, au repos.

L'hydrostatique est fondamentale pour l'hydraulique , l' ingénierie des équipements de stockage, de transport et d'utilisation des fluides. Elle est également pertinente pour la géophysique et l'astrophysique (par exemple, pour comprendre la tectonique des plaques et les anomalies du champ gravitationnel de la Terre ), la météorologie , la médecine (dans le contexte de la pression artérielle ) et de nombreux autres domaines.

L'hydrostatique offre des explications physiques à de nombreux phénomènes de la vie quotidienne, comme par exemple pourquoi la pression atmosphérique change avec l'altitude , pourquoi le bois et l'huile flottent sur l'eau et pourquoi la surface de l'eau calme est toujours de niveau en fonction de la courbure de la terre .

Certains principes de l'hydrostatique sont connus de manière empirique et intuitive depuis l'Antiquité, par les constructeurs de bateaux, de citernes , d'aqueducs et de fontaines . On attribue à Archimède la découverte du principe d'Archimède , qui relie la force de flottabilité exercée sur un objet immergé dans un fluide au poids du fluide déplacé par l'objet. L' ingénieur romain Vitruve a mis en garde les lecteurs contre l'éclatement des tuyaux en plomb sous la pression hydrostatique.

Le concept de pression et la manière dont elle est transmise par les fluides ont été formulés par le mathématicien et philosophe français Blaise Pascal en 1647.

La « coupe juste » ou coupe pythagoricienne , qui date d'environ le VIe siècle avant J.-C., est une technologie hydraulique dont l'invention est attribuée au mathématicien et géomètre grec Pythagore. Elle était utilisée comme outil d'apprentissage.

La coupe est constituée d'une ligne creusée à l'intérieur de la coupe et d'un petit tuyau vertical au centre de la coupe qui mène au fond. La hauteur de ce tuyau est la même que la ligne creusée à l'intérieur de la coupe. La coupe peut être remplie jusqu'à la ligne sans qu'aucun liquide ne passe dans le tuyau au centre de la coupe. Cependant, lorsque la quantité de liquide dépasse cette ligne de remplissage, le liquide déborde dans le tuyau au centre de la coupe. En raison de la traînée que les molécules exercent les unes sur les autres, la coupe se vide.

La fontaine du Héron est un dispositif inventé par Héron d'Alexandrie qui consiste en un jet de fluide alimenté par un réservoir de fluide. La fontaine est construite de telle manière que la hauteur du jet dépasse la hauteur du fluide dans le réservoir, ce qui semble en violation des principes de la pression hydrostatique. Le dispositif se composait d'une ouverture et de deux récipients disposés l'un au-dessus de l'autre. Le pot intermédiaire, qui était scellé, était rempli de fluide, et plusieurs canules (un petit tube pour transférer le fluide entre les récipients) connectaient les différents récipients. L'air emprisonné à l'intérieur des récipients induit un jet d'eau hors d'une buse, vidant toute l'eau du réservoir intermédiaire.

Pascal a contribué aux progrès de l'hydrostatique et de l'hydrodynamique. La loi de Pascal est un principe fondamental de la mécanique des fluides qui stipule que toute pression appliquée à la surface d'un fluide est transmise uniformément dans tout le fluide dans toutes les directions, de telle sorte que les variations initiales de pression ne sont pas modifiées.

En raison de la nature fondamentale des fluides, un fluide ne peut pas rester au repos en présence d'une contrainte de cisaillement . Cependant, les fluides peuvent exercer une pression normale à toute surface de contact. Si un point du fluide est considéré comme un cube infinitésimal, il résulte alors des principes d'équilibre que la pression de chaque côté de cette unité de fluide doit être égale. Si ce n'était pas le cas, le fluide se déplacerait dans la direction de la force résultante. Ainsi, la pression sur un fluide au repos est isotrope ; c'est-à-dire qu'elle agit avec la même amplitude dans toutes les directions. Cette caractéristique permet aux fluides de transmettre une force sur toute la longueur des tuyaux ou des tubes ; c'est-à-dire qu'une force appliquée à un fluide dans un tuyau est transmise, via le fluide, à l'autre extrémité du tuyau. Ce principe a été formulé pour la première fois, sous une forme légèrement étendue, par Blaise Pascal, et est maintenant appelé loi de Pascal .

Dans un fluide au repos, toutes les contraintes de frottement et d'inertie disparaissent et l'état de contrainte du système est appelé hydrostatique . Lorsque cette condition de V = 0 est appliquée aux équations de Navier-Stokes pour les fluides visqueux ou aux équations d'Euler (dynamique des fluides) pour les fluides non visqueux idéaux, le gradient de pression devient une fonction des forces du corps uniquement. Les équations de la quantité de mouvement de Navier-Stokes sont :

En réglant la vitesse d'écoulement , ils deviennent simplement :

ou:

C'est la forme générale de la loi de Stevin : le gradient de pression est égal au champ de densité de force du corps .

Considérons maintenant deux cas particuliers de cette loi. Dans le cas d'une force corporelle conservatrice à potentiel scalaire :

l'équation de Stevin devient :

Cela peut être intégré pour donner :

Donc dans ce cas la différence de pression est l'inverse de la différence de potentiel scalaire associée à la force du corps. Dans l'autre cas particulier d'une force du corps de direction constante selon z :

la loi de Stevin généralisée ci-dessus devient :

Cela peut être intégré pour donner une autre loi de Stevin (moins) généralisée :

où:

• p est la pression hydrostatique (Pa),
• ρ est la masse volumique du fluide (kg/m ³ ),
• g est l'accélération gravitationnelle (m/s ² ),
• z est la hauteur (parallèle à la direction de la gravité) de la zone d'essai (m),
• 0 est la hauteur du point de référence zéro de la pression (m)
• p_0 est le champ de pression hydrostatique (Pa) le long de x et y au point de référence zéro

Pour l'eau et d'autres liquides, cette intégrale peut être considérablement simplifiée pour de nombreuses applications pratiques, en se basant sur les deux hypothèses suivantes. Étant donné que de nombreux liquides peuvent être considérés comme incompressibles , une estimation raisonnablement bonne peut être faite en supposant une densité constante dans tout le liquide. La même hypothèse ne peut pas être faite dans un environnement gazeux. De plus, comme la hauteur de la colonne de fluide entre z et z ₀ est souvent raisonnablement petite par rapport au rayon de la Terre, on peut négliger la variation de g . Dans ces circonstances, on peut transporter hors de l'intégrale la densité et l'accélération de la gravité et la loi est simplifiée dans la formule

où est la hauteur z − z ₀ de la colonne de liquide entre le volume d'essai et le point de référence zéro de la pression. Cette formule est souvent appelée loi de Stevin . On pourrait arriver à la formule ci-dessus également en considérant le premier cas particulier de l'équation pour un champ de force corporel conservateur : en fait, le champ de force corporel d'intensité et de direction uniformes :

est conservateur, on peut donc écrire la densité de force du corps comme :

La densité de force du corps a alors un potentiel scalaire simple :

Et la différence de pression suit une autre fois la loi de Stevin :

Le point de référence doit se trouver à la surface du liquide ou en dessous. Sinon, il faut diviser l'intégrale en deux (ou plusieurs) termes avec la constante ρ _liquide et ρ ( z ′) _au-dessus . Par exemple, la pression absolue par rapport au vide est

où est la hauteur totale de la colonne de liquide au-dessus de la zone d'essai jusqu'à la surface, et p ₀ est la pression atmosphérique , c'est-à-dire la pression calculée à partir de l'intégrale restante sur la colonne d'air depuis la surface du liquide jusqu'à l'infini. Ceci peut être facilement visualisé à l'aide d'un prisme de pression .

La pression hydrostatique a été utilisée dans la conservation des aliments dans un processus appelé pascalisation .

En médecine, la pression hydrostatique dans les vaisseaux sanguins est la pression du sang contre la paroi. C'est la force opposée à la pression oncotique . Dans les capillaires, la pression hydrostatique (également appelée pression sanguine capillaire) est supérieure à la « pression osmotique colloïdale » opposée dans le sang – une pression « constante » principalement produite par l'albumine en circulation – à l'extrémité artériolaire du capillaire. Cette pression force le plasma et les nutriments hors des capillaires et dans les tissus environnants. Le liquide et les déchets cellulaires des tissus pénètrent dans les capillaires à l'extrémité de la veinule, où la pression hydrostatique est inférieure à la pression osmotique dans le vaisseau.

La mécanique statistique montre que, pour un gaz parfait pur de température constante dans un champ gravitationnel, T , sa pression, p variera avec la hauteur, h , comme

où

• g est l' accélération due à la gravité
• T est la température absolue
• k est la constante de Boltzmann
• M est la masse moléculaire du gaz
• p est la pression
• h est la hauteur

Ceci est connu sous le nom de formule barométrique et peut être dérivé en supposant que la pression est hydrostatique .

Si le gaz contient plusieurs types de molécules, la pression partielle de chaque type sera donnée par cette équation. Dans la plupart des conditions, la distribution de chaque espèce de gaz est indépendante de celle des autres espèces.

Tout corps de forme quelconque immergé, partiellement ou totalement, dans un fluide subira l'action d'une force nette dans la direction opposée au gradient de pression local. Si ce gradient de pression provient de la gravité, la force nette est dans la direction verticale opposée à celle de la force gravitationnelle. Cette force verticale est appelée flottabilité ou force de poussée et est égale en intensité, mais opposée en direction, au poids du fluide déplacé. Mathématiquement,

où ρ est la densité du fluide, g est l'accélération due à la gravité et V est le volume de fluide directement au-dessus de la surface courbe. Dans le cas d'un navire , par exemple, son poids est équilibré par les forces de pression de l'eau environnante, ce qui lui permet de flotter. Si davantage de marchandises sont chargées sur le navire, celui-ci s'enfoncera davantage dans l'eau, déplaçant davantage d'eau et recevant ainsi une force de flottabilité plus élevée pour équilibrer le poids accru.

La découverte du principe de flottabilité est attribuée à Archimède .

Les composantes horizontales et verticales de la force hydrostatique agissant sur une surface immergée sont données par la formule suivante :

où

• p _c est la pression au centre de la projection verticale de la surface immergée
• A est l'aire de la même projection verticale de la surface
• ρ est la densité du fluide
• g est l'accélération due à la gravité
• V est le volume de fluide directement au-dessus de la surface courbe

Les liquides peuvent avoir des surfaces libres sur lesquelles ils interagissent avec des gaz ou avec le vide . En général, l'incapacité à supporter une contrainte de cisaillement implique que les surfaces libres s'ajustent rapidement vers un équilibre. Cependant, sur de petites échelles de longueur, il existe une force d'équilibrage importante due à la tension superficielle .

Lorsque des liquides sont contenus dans des vaisseaux de dimensions réduites par rapport aux échelles de longueur concernées, les effets de tension superficielle deviennent importants et conduisent à la formation d'un ménisque par capillarité . Cette capillarité a des conséquences profondes sur les systèmes biologiques car elle fait partie de l'un des deux mécanismes moteurs de l'écoulement de l'eau dans le xylème végétal , la traction transpiratoire .

Sans tension superficielle, les gouttes ne pourraient pas se former. Les dimensions et la stabilité des gouttes sont déterminées par la tension superficielle. La tension superficielle de la goutte est directement proportionnelle à la propriété de cohésion du fluide.