Phase et fréquence instantanées

En 1922, selon Nahin, John Renshaw Carson a défini la fréquence instantanée d'un signal « comme la dérivée temporelle de l'angle de phase du signal ». En modulation de fréquence , la fréquence instantanée décrit la fréquence variant au-dessus et en dessous de la fréquence porteuse, à la fréquence de la tonalité audio.

La phase instantanée et la fréquence sont des concepts importants en traitement du signal, qui interviennent dans le cadre de la représentation et de l'analyse des fonctions variant dans le temps. La phase instantanée (également appelée phase locale ou simplement phase ) d'une fonction à valeurs complexes s ( t ) est la fonction à valeurs réelles :

{\displaystyle \varphi (t)=\arg\{s(t)\}, <semantics><mrow><mstyle><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mo>{</mo><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varphi (t)=\arg\{s(t)\},}</annotation></semantics></math></span><img src=

où arg est la fonction d'argument complexe . La fréquence instantanée est le taux de variation temporelle de la phase instantanée.

Et pour une fonction à valeurs réelles s ( t ), elle est déterminée à partir de la représentation analytique de la fonction , s _a ( t ):

{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mo>{</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mo>{</mo><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>j</mi><mrow><mrow><mover><mi>s</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle {\hat {s}}(t) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>s</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\hat {s}}(t)}</annotation></semantics></math></span><img src=$ s ( t ).

Lorsque φ ( t ) est contrainte à sa valeur principale , soit l'intervalle soit 0, 2π ) , on parle de phase enroulée . Sinon, on parle de phase déroulée , qui est une fonction continue de l'argument t , en supposant que s _<sub>a</sub> ( t ) soit une fonction continue de t . Sauf indication contraire, la forme continue doit être déduite.

Exemples

Exemple 1

{\displaystyle s(t)=A\cos(\omega t+ heta ), <semantics><mrow><mstyle><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>UN</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle s(t)=A\cos(\omega t+ heta ),}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ω > 0.

{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j(\omega t+ heta )},\\\varphi (t)&=\omega t+ heta .\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>UN</mi><msup><mi>e</mi><mrow><mi>j</mi><mo>(</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>θ</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j(\omega t+ heta )},\\\varphi (t)&=\omega t+ heta .\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Dans cet exemple simple de sinusoïde, la constante θ est aussi communément appelée phase ou déphasage . φ ( t ) est une fonction du temps ; θ ne l'est pas. Dans l'exemple suivant, on constate également que le déphasage d'une sinusoïde à valeurs réelles est ambigu si aucune référence (sinus ou cosinus) n'est spécifiée. φ ( t ) est défini sans ambiguïté.

Exemple 2

{\displaystyle s(t)=A\sin(\omega t)=A\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}} ight), <semantics><mrow><mstyle><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>UN</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>UN</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>ω</mi><mi>t</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle s(t)=A\sin(\omega t)=A\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}} ight),}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ω > 0.

{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}} ight)},\\\varphi (t)&=\omega t-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>UN</mi><msup><mi>e</mi><mrow><mi>j</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>ω</mi><mi>t</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></msup><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}} ight)},\\\varphi (t)&=\omega t-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Dans les deux exemples, les maxima locaux de s ( t ) correspondent à φ ( t ) = 2

Formulations

La fréquence angulaire instantanée est définie comme suit :

{\displaystyle \omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}, <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

et la fréquence instantanée (ordinaire) est définie comme :

{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>ω</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où φ ( t ) doit être la phase déroulée ; sinon, si φ ( t ) est enroulée, les discontinuités dans φ ( t ) entraîneront des impulsions delta de Dirac dans f ( t ).

L'opération inverse, qui déroule toujours la phase, est :

{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega ( au )\,d au =2\pi \int _{-\infty }^{t}f( au )\,d au \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega ( au )\,d au +\int _{0}^{t}\omega ( au )\,d au \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega ( au )\,d au .\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mi>ω</mi><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>τ</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>τ</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mi>ω</mi><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>τ</mi><mo>+</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mi>ω</mi><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>τ</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>φ</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mi>ω</mi><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>τ</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega ( au )\,d au =2\pi \int _{-\infty }^{t}f( au )\,d au \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega ( au )\,d au +\int _{0}^{t}\omega ( au )\,d au \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega ( au )\,d au .\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Cette fréquence instantanée, ω ( t ), peut être dérivée directement des parties réelles et imaginaires de s _a ( t ), au lieu de l' arg complexe sans se soucier du déroulement de phase.

{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}} ight)+m_{2}\pi \end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mo>{</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>atan2</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mrow><mrow><mi>je</mi><mi>m</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo><mo>,</mo><mrow><mrow><mi>R</mi><mi>e</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>m</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>π</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>arctan</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mrow><mi>je</mi><mi>m</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow><mrow><mrow><mrow><mi>R</mi><mi>e</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mi>π</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}} ight)+m_{2}\pi \end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

2m1π pour dérouler la phase. Aux instants t où m2 reste constant _, la dérivée de φ ( t )

{\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}} ight)\\[3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}} ight)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}} ight)\\[3pt]&={\frac {{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}}{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}} ight)\\[3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t) ight)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}} ight)\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>ω</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>arctan</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mrow><mi>je</mi><mi>m</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow><mrow><mrow><mrow><mi>R</mi><mi>e</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mrow><mi>je</mi><mi>m</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow><mrow><mrow><mrow><mi>R</mi><mi>e</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mrow><mi>je</mi><mi>m</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow><mrow><mrow><mrow><mi>R</mi><mi>e</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mrow><mi>R</mi><mi>e</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mrow><mi>je</mi><mi>m</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mrow><mi>je</mi><mi>m</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mrow><mi>R</mi><mi>e</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mi>R</mi><mi>e</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mrow><mrow><mi>je</mi><mi>m</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mrow><mi>R</mi><mi>e</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mrow><mi>je</mi><mi>m</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mrow><mi>je</mi><mi>m</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mrow><mi>R</mi><mi>e</mi></mrow></mrow><mo>[</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mrow><mover><mi>s</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mrow><mover><mi>s</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mrow><mover><mi>s</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}} ight)\\[3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}} ight)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}} ight)\\[3pt]&={\frac {{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}}{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}} ight)\\[3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t) ight)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}} ight)\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Pour les fonctions à temps discret, cela peut s'écrire sous forme de récursion :

{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n-1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}} ight\}\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>φ</mi><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>]</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>φ</mi><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>+</mo><mi>ω</mi><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>φ</mi><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>+</mo><munder><mrow><munder><mrow><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mo>{</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>]</mo><mo>}</mo><mo>−</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mo>{</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>}</mo></mrow><mo>⏟</mo></munder></mrow><mrow><mi>Δ</mi><mi>φ</mi><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>]</mo></mrow></munder></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>φ</mi><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>+</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>{</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>}</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n-1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}} ight\}\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Les discontinuités peuvent alors être éliminées en ajoutant 2π et en soustrayant 2π π une multiplication complexe est :

{\displaystyle \varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}, <semantics><mrow><mstyle><mi>φ</mi><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>]</mo><mo>=</mo><mi>φ</mi><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>+</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mo>{</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>]</mo><mspace></mspace><msubsup><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>}</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},}</annotation></semantics></math></span><img src=

où l'astérisque désigne le conjugué complexe . La fréquence instantanée en temps discret (en radians par échantillon) correspond simplement à l'avance de phase de cet échantillon.

{\displaystyle \omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}. <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>]</mo><mo>=</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mo>{</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>]</mo><mspace></mspace><msubsup><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>[</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>}</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Représentation complexe

Dans certaines applications, comme la moyenne des valeurs de phase à plusieurs moments, il peut être utile de convertir chaque valeur en un nombre complexe ou en une représentation vectorielle :

{\displaystyle e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)). <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>je</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).}</annotation></semantics></math></span><img src=

Cette représentation est similaire à la représentation de phase enroulée en ce qu'elle ne fait pas de distinction entre les multiples de 2π

Pour en savoir plus

Cohen, Leon (1995). Analyse temps-fréquence . Prentice Hall.
Granlund; Knutsson (1995). Traitement du signal pour la vision par ordinateur . Kluwer Academic Publishers.