Worldlex Wiki Un jeu de dés est intransitif (ou non transitif) s'il contient X>2 dés, X1 , X2 et X3 ... avec la propriété que X1 obtient un nombre supérieur à X2 plus de la moitié du temps, et X2 obtient un nombre supérieur à X3 etc... plus de la moitié du temps, mais où il n'est pas vrai que X1 obtient un nombre supérieur à Xn plus de la moitié du temps. En d'autres termes, un jeu de dés est intransitif si la relation binaire – X obtient un nombre supérieur à Y plus de la moitié du temps – sur ses éléments n'est pas transitive . Plus simplement, X1 bat normalement X2 , X2 bat normalement X3 , mais X1 ne bat normalement pas Xn .
Il est possible de trouver des jeux de dés avec la propriété encore plus forte que, pour chaque dé du jeu, il existe un autre dé qui obtient un nombre plus élevé que lui plus de la moitié du temps. Cela diffère en ce sens qu'au lieu de simplement dire « A ne bat normalement pas C », on dit maintenant « C bat normalement A ». En utilisant un tel jeu de dés, on peut inventer des jeux qui sont biaisés d'une manière que les personnes non habituées aux dés intransitifs ne pourraient pas prévoir (voir l'exemple).
Exemple
Considérez l’ensemble de dés suivant.
- Le dé A a les faces 2, 2, 4, 4, 9, 9.
- Le dé B a les côtés 1, 1, 6, 6, 8, 8.
- Le dé C a les côtés 3, 3, 5, 5, 7, 7.
La probabilité que A obtienne un nombre plus élevé que B , la probabilité que B obtienne un nombre plus élevé que C et la probabilité que C obtienne un nombre plus élevé que A sont toutes 5/9 , donc cet ensemble de dés est intransitif. En fait, il a une propriété encore plus forte : pour chaque dé de l'ensemble, il existe un autre dé qui obtient un nombre plus élevé que lui plus de la moitié du temps.
Considérons maintenant le jeu suivant, qui se joue avec un jeu de dés.
- Le premier joueur choisit un dé dans le jeu.
- Le deuxième joueur choisit un dé parmi les dés restants.
- Les deux joueurs lancent leur dé ; le joueur qui obtient le nombre le plus élevé gagne.
Si ce jeu est joué avec un ensemble de dés transitifs, il est soit équitable, soit biaisé en faveur du premier joueur, car le premier joueur peut toujours trouver un dé qui ne sera pas battu par un autre dé plus de la moitié du temps. Si le jeu est joué avec l'ensemble de dés décrit ci-dessus, cependant, le jeu est biaisé en faveur du deuxième joueur, car le deuxième joueur peut toujours trouver un dé qui battra le dé du premier joueur avec une probabilité 5/9 . Les tableaux suivants montrent tous les résultats possibles pour les trois paires de dés.
| Le joueur 1 choisit le dé A Le joueur 2 choisit le dé C |
Le joueur 1 choisit le dé B Le joueur 2 choisit le dé A |
Le joueur 1 choisit le dé C Le joueur 2 choisit le dé B | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
UN C |
2 | 4 | 9 | B UN |
1 | 6 | 8 | C B |
3 | 5 | 7 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| 3 | C | UN | UN | 2 | UN | B | B | 1 | C | C | C | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | C | C | UN | 4 | UN | B | B | 6 | B | B | C | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 7 | C | C | UN | 9 | UN | UN | UN | 8 | B | B | B Si l'on autorise des dés pondérés, c'est-à-dire avec des pondérations de probabilité inégales pour chaque côté, alors des jeux alternatifs de trois dés peuvent atteindre des probabilités encore plus grandes que celle de voir chaque dé battre le suivant dans le cycle. La plus grande probabilité possible est de 1 sur le nombre d'or , . VariationsLes dés d'EfronLes dés d'Efron sont un ensemble de quatre dés intransitifs inventés par Bradley Efron .  Les quatre dés A, B, C, D ont les numéros suivants sur leurs six faces :
Chaque dé est battu par le dé précédent dans la liste avec un bouclage, avec une probabilité 2/3 . C bat A avec une probabilité 5/9 , et B et D ont des chances égales de battre l'autre. Si chaque joueur dispose d'un jeu de dés d'Efron, il existe un continuum de stratégies optimales pour un joueur, dans lequel il choisit son dé avec les probabilités suivantes, où 0 ≤ x ≤ 3/7 :
Les dés de Miwin Les dés de Miwin ont été inventés en 1975 par le physicien Michael Winkelmann. Considérons un ensemble de trois dés, III, IV et V tels que
Alors:
Warren BuffettWarren Buffett est connu pour être un fan des dés intransitifs. Dans le livre Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System that Beat the Casinos and Wall Street, une discussion entre lui et Edward Thorp est décrite. Buffett et Thorp ont discuté de leur intérêt commun pour les dés intransitifs. « Il s'agit d'une curiosité mathématique, d'un type de dés « truqués » qui brouillent les idées de la plupart des gens sur les probabilités. » Buffett a tenté une fois de gagner une partie de dés avec Bill Gates en utilisant des dés intransitifs. « Buffett a suggéré que chacun d'eux choisisse l'un des dés, puis écarte les deux autres. Ils parieraient sur celui qui obtiendrait le plus souvent le nombre le plus élevé. Buffett a proposé de laisser Gates choisir son dé en premier. Cette suggestion a immédiatement éveillé la curiosité de Gates. Il a demandé à examiner les dés, après quoi il a exigé que Buffett choisisse en premier. » En 2010, le magazine Wall Street Journal citait Sharon Osberg, la partenaire de bridge de Buffett, qui disait que lorsqu'elle avait visité son bureau pour la première fois 20 ans plus tôt, il l'avait piégée en lui faisant jouer à un jeu avec des dés intransitifs qui ne pouvait pas être gagné et qu'il « trouvait cela hilarant ». Jeu de dés intransitifs pour plus de deux joueursUn certain nombre de personnes ont introduit des variantes de dés intransitifs où l'on peut rivaliser avec plusieurs adversaires. Trois joueursOskar désOskar van Deventer a introduit un ensemble de sept dés (toutes les faces avec une probabilité 1/6 ) comme suit :
On peut vérifier que A bat {B,C,E}; B bat {C,D,F}; C bat {D,E,G}; D bat {A,E,F}; E bat {B,F,G}; F bat {A,C,G}; G bat {A,B,D}. Par conséquent, pour deux dés choisis arbitrairement, il existe un troisième qui bat les deux. À savoir,
Quel que soit le choix des deux adversaires, le troisième joueur trouvera l'un des dés restants qui battra les dés des deux adversaires. Dés de crasseLe Dr James Grime a découvert un ensemble de cinq dés comme suit :
On peut vérifier que, lorsque le jeu est joué avec un jeu de dés Grime :
Cependant, lorsque le jeu est joué avec deux de ces ensembles, la première chaîne reste la même, sauf que D bat C, mais la deuxième chaîne est inversée (c'est-à-dire que A bat D bat B bat E bat C bat A). Par conséquent, quel que soit le dé choisi par les deux adversaires, le troisième joueur peut toujours trouver l'un des dés restants qui les bat tous les deux (à condition que le joueur soit alors autorisé à choisir entre l'option à un dé et l'option à deux dés) :
Quatre joueursUn jeu à quatre joueurs n'a pas encore été découvert, mais il a été prouvé qu'un tel jeu nécessiterait au moins 19 dés. Dés intransitifs à 4 facesLes tétraèdres peuvent être utilisés comme des dés avec quatre résultats possibles .
P(A > B) = P(B > C) = P(C > A) = 9/16 Les tableaux suivants montrent tous les résultats possibles :
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