Loi du carré inverse

En sciences , une loi du carré inverse est une loi scientifique qui stipule que l'« intensité » observée d'une quantité physique donnée est inversement proportionnelle au carré de la distance à la source de cette quantité physique. La cause fondamentale de ce phénomène peut être comprise comme une dilution géométrique correspondant au rayonnement d'une source ponctuelle dans l'espace tridimensionnel.

L'énergie radar se dilate à la fois pendant la transmission du signal et pendant le retour réfléchi , donc le carré inverse pour les deux chemins signifie que le radar recevra de l'énergie en fonction de l'inverse de la quatrième puissance de la portée.

Pour éviter la dilution de l'énergie lors de la propagation d'un signal, certaines méthodes peuvent être utilisées, comme un guide d'ondes , qui agit comme un canal pour l'eau, ou comme un canon de fusil qui limite l'expansion du gaz chaud à une dimension afin d'éviter la perte de transfert d'énergie vers une balle .

En notation mathématique, la loi du carré inverse peut être exprimée comme une intensité (I) variant en fonction de la distance (d) à partir d'un centre. L'intensité est proportionnelle (voir ∝ ) à l'inverse du carré de la distance ainsi :

On peut aussi l'exprimer mathématiquement comme :

ou comme la formulation d'une quantité constante :

La divergence d'un champ vectoriel résultant de champs radiaux en loi inverse du carré par rapport à une ou plusieurs sources est proportionnelle à l'intensité des sources locales, et donc à zéro source extérieure. La loi de la gravitation universelle de Newton suit une loi inverse du carré, tout comme les effets des phénomènes électriques , lumineux , sonores et radiatifs .

La loi du carré inverse s'applique généralement lorsqu'une force, une énergie ou une autre quantité conservée est uniformément rayonnée vers l'extérieur à partir d'une source ponctuelle dans l'espace tridimensionnel . Étant donné que la surface d'une sphère (qui est de 4π r ² ) est proportionnelle au carré du rayon, à mesure que le rayonnement émis s'éloigne de la source, il se répand sur une zone qui augmente proportionnellement au carré de la distance à la source. Par conséquent, l'intensité du rayonnement traversant une unité de surface (directement face à la source ponctuelle) est inversement proportionnelle au carré de la distance à la source ponctuelle. La loi de Gauss pour la gravité est également applicable et peut être utilisée avec n'importe quelle quantité physique qui agit conformément à la relation du carré inverse.

La gravitation est l'attraction entre des objets qui ont une masse. La loi de Newton stipule :

La force d'attraction gravitationnelle entre deux masses ponctuelles est directement proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance de séparation. La force est toujours attractive et agit le long de la ligne qui les joint.

Si la distribution de matière dans chaque corps est sphériquement symétrique, alors les objets peuvent être traités comme des masses ponctuelles sans approximation, comme le montre le théorème de la coque . Sinon, si nous voulons calculer l'attraction entre les corps massifs, nous devons additionner toutes les forces d'attraction point à point de manière vectorielle et l'attraction nette pourrait ne pas être l'inverse exact du carré. Cependant, si la séparation entre les corps massifs est beaucoup plus grande par rapport à leurs tailles, alors, dans une bonne approximation, il est raisonnable de traiter les masses comme une masse ponctuelle située au centre de masse de l'objet lors du calcul de la force gravitationnelle.

En tant que loi de la gravitation, cette loi fut suggérée en 1645 par Ismaël Bullialdus . Mais Bullialdus n'accepta pas les deuxième et troisième lois de Kepler , ni n'apprécia la solution de Christiaan Huygens pour le mouvement circulaire (mouvement en ligne droite dévié par la force centrale). En effet, Bullialdus maintenait que la force du soleil était attractive à l'aphélie et répulsive au périhélie. Robert Hooke et Giovanni Alfonso Borelli ont tous deux exposé la gravitation en 1666 comme une force attractive. La conférence de Hooke « On gravity » a eu lieu à la Royal Society, à Londres, le 21 mars. La « théorie des planètes » de Borelli fut publiée plus tard en 1666. La conférence Gresham de Hooke en 1670 expliquait que la gravitation s'appliquait à « tous les corps célestes » et ajoutait les principes selon lesquels le pouvoir gravitationnel diminue avec la distance et qu'en l'absence d'un tel pouvoir, les corps se déplacent en ligne droite. En 1679, Hooke pensait que la gravitation avait une dépendance inverse au carré et l'a communiqué dans une lettre à Isaac Newton : ma supposition est que l'attraction est toujours en double proportion de la distance par rapport au centre réciproquement .

Hooke resta amer à l'égard de Newton qui prétendait avoir inventé ce principe, même si les Principia de Newton de 1686 reconnaissaient que Hooke, ainsi que Wren et Halley, avaient séparément apprécié la loi du carré inverse dans le système solaire, tout en donnant un certain crédit à Bullialdus.

La force d'attraction ou de répulsion entre deux particules chargées électriquement, en plus d'être directement proportionnelle au produit des charges électriques, est inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare ; c'est ce qu'on appelle la loi de Coulomb . L'écart de l'exposant par rapport à 2 est inférieur à une partie sur 10 ¹⁵ .

L' intensité (ou éclairement ou irradiance ) de la lumière ou d'autres ondes linéaires rayonnant à partir d'une source ponctuelle (énergie par unité de surface perpendiculaire à la source) est inversement proportionnelle au carré de la distance à la source, de sorte qu'un objet (de la même taille) deux fois plus éloigné ne reçoit qu'un quart de l' énergie (dans la même période de temps).

Plus généralement, l'irradiance, c'est-à-dire l'intensité (ou la puissance par unité de surface dans la direction de propagation ), d'un front d'onde sphérique varie en sens inverse du carré de la distance à la source (en supposant qu'il n'y ait pas de pertes dues à l'absorption ou à la diffusion ).

Par exemple, l’intensité du rayonnement solaire est de 9 126 watts par mètre carré à la distance de Mercure (0,387 UA ) ; mais seulement de 1 367 watts par mètre carré à la distance de la Terre (1 UA) : une augmentation d’environ trois fois de la distance entraîne une diminution d’environ neuf fois de l’intensité du rayonnement.

Pour les radiateurs non isotropes tels que les antennes paraboliques , les phares et les lasers , l'origine effective est située loin derrière l'ouverture du faisceau. Si vous êtes proche de l'origine, vous n'avez pas besoin d'aller bien loin pour doubler le rayon, de sorte que le signal chute rapidement. Lorsque vous êtes loin de l'origine et que vous avez toujours un signal fort, comme avec un laser, vous devez vous déplacer très loin pour doubler le rayon et réduire le signal. Cela signifie que vous avez un signal plus fort ou que vous avez un gain d'antenne dans la direction du faisceau étroit par rapport à un faisceau large dans toutes les directions d'une antenne isotrope .

En photographie et en éclairage de scène , la loi du carré inverse est utilisée pour déterminer la « chute » ou la différence d’éclairage sur un sujet lorsqu’il se rapproche ou s’éloigne de la source lumineuse. Pour des approximations rapides, il suffit de se rappeler que doubler la distance réduit l’éclairage d’un quart ; ou de manière similaire, pour diviser par deux l’éclairage, il faut augmenter la distance d’un facteur 1,4 (la racine carrée de 2 ), et pour doubler l’éclairage, il faut réduire la distance à 0,7 (la racine carrée de 1/2). Lorsque l’illuminant n’est pas une source ponctuelle, la règle du carré inverse est souvent encore une approximation utile ; lorsque la taille de la source lumineuse est inférieure à un cinquième de la distance au sujet, l’erreur de calcul est inférieure à 1 %.

La réduction fractionnelle du flux électromagnétique (Φ) pour un rayonnement ionisant indirect avec une distance croissante par rapport à une source ponctuelle peut être calculée à l'aide de la loi du carré inverse. Comme les émissions d'une source ponctuelle ont des directions radiales, elles interceptent à une incidence perpendiculaire. La surface d'une telle coque est 4π r ² où r est la distance radiale par rapport au centre. La loi est particulièrement importante en radiographie diagnostique et en planification de traitement de radiothérapie , bien que cette proportionnalité ne soit pas respectée dans les situations pratiques à moins que les dimensions de la source ne soient bien inférieures à la distance. Comme indiqué dans la théorie de Fourier de la chaleur, « comme la source ponctuelle est agrandie par les distances, son rayonnement est dilué proportionnel au sin de l'angle, de l'arc de circonférence croissant à partir du point d'origine ».

Soit P la puissance totale rayonnée par une source ponctuelle (par exemple, un radiateur isotrope omnidirectionnel ). À de grandes distances de la source (par rapport à la taille de la source), cette puissance est distribuée sur des surfaces sphériques de plus en plus grandes à mesure que la distance à la source augmente. Comme la surface d'une sphère de rayon r est A = 4 πr ² , l' intensité I (puissance par unité de surface) du rayonnement à la distance r est

L'énergie ou l'intensité diminue (divisée par 4) lorsque la distance r est doublée ; si elle était mesurée en dB, elle diminuerait de 6,02 dB par doublement de la distance. Lorsqu'il s'agit de mesures de quantités de puissance, un rapport peut être exprimé sous forme de niveau en décibels en évaluant dix fois le logarithme en base 10 du rapport de la quantité mesurée à la valeur de référence.

En acoustique , la pression acoustique d'un front d'onde sphérique rayonnant à partir d'une source ponctuelle diminue de 50 % lorsque la distance r est doublée ; mesurée en dB , la diminution est toujours de 6,02 dB, puisque dB représente un rapport d'intensité. Le rapport de pression (par opposition au rapport de puissance) n'est pas un rapport inverse du carré, mais inversement proportionnel (loi inverse de la distance) :

Il en est de même pour la composante de la vitesse des particules qui est en phase avec la pression acoustique instantanée :

Dans le champ proche, il existe une composante en quadrature de la vitesse des particules qui est déphasée de 90° par rapport à la pression acoustique et qui ne contribue pas à l'énergie moyenne temporelle ni à l'intensité du son. L' intensité acoustique est le produit de la pression acoustique RMS et de la composante en phase de la vitesse des particules RMS, qui sont toutes deux inversement proportionnelles. En conséquence, l'intensité suit un comportement en carré inverse :

Pour un champ vectoriel irrotationnel dans un espace tridimensionnel, la loi du carré inverse correspond à la propriété selon laquelle la divergence est nulle en dehors de la source. Ceci peut être généralisé à des dimensions supérieures. Généralement, pour un champ vectoriel irrotationnel dans un espace euclidien n- dimensionnel , l'intensité « I » du champ vectoriel diminue avec la distance « r » suivant la loi de puissance inverse ( ⁿ − 1 )

étant donné que l'espace extérieur à la source est exempt de divergence.

La loi du carré inverse, fondamentale dans les espaces euclidiens , s'applique également aux géométries non euclidiennes , y compris l'espace hyperbolique . La courbure présente dans ces espaces modifie les lois physiques, influençant une variété de domaines tels que la cosmologie , la relativité générale et la théorie des cordes .

John D. Barrow , dans son article de 2020 « Non-Euclidean Newtonian Cosmology », développe le comportement de la force (F) et du potentiel (Φ) dans l'espace hyperbolique 3 (H3). Il explique que F et Φ obéissent aux relations F ∝ 1 / R² sinh²(r/R) et Φ ∝ coth(r/R), où R représente le rayon de courbure et r représente la distance par rapport au point focal.

Le concept de dimensionnalité spatiale, proposé pour la première fois par Emmanuel Kant, reste un sujet de débat concernant la loi du carré inverse. Dimitria Electra Gatzia et Rex D. Ramsier, dans leur article de 2021, soutiennent que la loi du carré inverse est plus étroitement liée à la symétrie de la distribution des forces qu'à la dimensionnalité de l'espace.

Dans le contexte des géométries non euclidiennes et de la relativité générale, les écarts par rapport à la loi du carré inverse ne proviennent pas de la loi elle-même mais plutôt de l'hypothèse selon laquelle la force entre deux corps est instantanée, ce qui contredit la relativité restreinte . La relativité générale réinterprète la gravité comme la courbure de l'espace-temps, ce qui conduit les particules à se déplacer le long de géodésiques dans cet espace-temps courbé.

John Dumbleton, des Calculateurs d'Oxford du XIVe siècle , fut l'un des premiers à exprimer les relations fonctionnelles sous forme graphique. Il donna une preuve du théorème de la vitesse moyenne affirmant que « la latitude d'un mouvement uniformément difforme correspond au degré du point médian » et utilisa cette méthode pour étudier la diminution quantitative de l'intensité de l'éclairage dans sa Summa logicæ et philosophiæ naturalis (vers 1349), affirmant qu'elle n'était pas linéairement proportionnelle à la distance, mais fut incapable d'exposer la loi du carré inverse.

Dans la proposition 9 du Livre 1 de son livre Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (1604), l'astronome Johannes Kepler a soutenu que la propagation de la lumière à partir d'une source ponctuelle obéit à une loi du carré inverse :

En 1645, dans son livre Astronomia Philolaica ..., l'astronome français Ismaël Bullialdus (1605–1694) réfute la suggestion de Johannes Kepler selon laquelle la « gravité » faiblit comme l'inverse de la distance ; au lieu de cela, Bullialdus a soutenu que la « gravité » faiblit comme l'inverse du carré de la distance :

En Angleterre, l'évêque anglican Seth Ward (1617-1689) a fait connaître les idées de Bullialdus dans sa critique In Ismaelis Bullialdi astronomiae philolaicae fundamenta inquisitio brevis (1653) et a fait connaître l'astronomie planétaire de Kepler dans son livre Astronomia géométrique (1656).

En 1663-1664, le scientifique anglais Robert Hooke écrivait son livre Micrographia (1666) dans lequel il discutait, entre autres, de la relation entre la hauteur de l'atmosphère et la pression barométrique à la surface. Comme l'atmosphère entoure la Terre, qui est elle-même une sphère, le volume d'atmosphère portant sur toute unité de surface de la Terre est un cône tronqué (qui s'étend du centre de la Terre au vide de l'espace ; évidemment, seule la section du cône allant de la surface de la Terre à l'espace porte sur la surface de la Terre). Bien que le volume d'un cône soit proportionnel au cube de sa hauteur, Hooke soutenait que la pression de l'air à la surface de la Terre est en fait proportionnelle à la hauteur de l'atmosphère parce que la gravité diminue avec l'altitude. Bien que Hooke ne l'ait pas explicitement indiqué, la relation qu'il proposait ne serait vraie que si la gravité décroissait comme l'inverse du carré de la distance par rapport au centre de la Terre.