Pendule inversé

Un pendule inversé est un pendule dont le centre de masse est situé au-dessus de son point de pivot . Il est instable et tombe sans aide supplémentaire. Il peut être suspendu de manière stable dans cette position inversée en utilisant un système de contrôle pour surveiller l'angle du pôle et déplacer le point de pivot horizontalement sous le centre de masse lorsqu'il commence à tomber, le gardant ainsi équilibré. Le pendule inversé est un problème classique de la dynamique et de la théorie du contrôle et est utilisé comme référence pour tester les stratégies de contrôle. Il est souvent mis en œuvre avec le point de pivot monté sur un chariot qui peut se déplacer horizontalement sous le contrôle d'un système d'asservissement électronique comme indiqué sur la photo ; c'est ce qu'on appelle un appareil à chariot et à pôle . La plupart des applications limitent le pendule à 1 degré de liberté en fixant le pôle à un axe de rotation . Alors qu'un pendule normal est stable lorsqu'il est suspendu vers le bas, un pendule inversé est intrinsèquement instable et doit être activement équilibré pour rester droit ; Cela peut être réalisé soit en appliquant un couple au point de pivot, soit en déplaçant le point de pivot horizontalement dans le cadre d'un système de rétroaction , soit en modifiant la vitesse de rotation d'une masse montée sur le pendule sur un axe parallèle à l'axe de pivot et en générant ainsi un couple net sur le pendule, soit en faisant osciller le point de pivot verticalement. Une démonstration simple du déplacement du point de pivot dans un système de rétroaction est obtenue en équilibrant un manche à balai retourné sur l'extrémité d'un doigt.

Un deuxième type de pendule inversé est un inclinomètre pour structures hautes, qui se compose d'un fil ancré au bas de la fondation et attaché à un flotteur dans une piscine d'huile au sommet de la structure qui dispose de dispositifs pour mesurer le mouvement de la position neutre du flotteur par rapport à sa position d'origine.

Un pendule dont la masselotte est suspendue directement sous le pivot de support se trouve à un point d'équilibre stable , où il reste immobile car il n'y a pas de couple sur le pendule. S'il est déplacé de cette position, il subit un couple de rappel qui le ramène vers la position d'équilibre. Un pendule dont la masselotte est en position inversée, soutenue par une tige rigide directement au-dessus du pivot, à 180° de sa position d'équilibre stable, se trouve à un point d'équilibre instable . À ce point également, il n'y a pas de couple sur le pendule, mais le moindre déplacement par rapport à cette position provoque un couple gravitationnel sur le pendule qui l'accélère et l'éloigne de l'équilibre, ce qui le fait tomber.

Afin de stabiliser un pendule dans cette position inversée, un système de contrôle par rétroaction peut être utilisé, qui surveille l'angle du pendule et déplace la position du point de pivot latéralement lorsque le pendule commence à tomber, pour le maintenir en équilibre. Le pendule inversé est un problème classique en dynamique et en théorie du contrôle et est largement utilisé comme référence pour tester les algorithmes de contrôle ( contrôleurs PID , représentation de l'espace d'état , réseaux neuronaux , contrôle flou , algorithmes génétiques , etc.). Des variantes de ce problème incluent des liaisons multiples, permettant de commander le mouvement du chariot tout en maintenant le pendule, et d'équilibrer le système chariot-pendule sur une bascule. Le pendule inversé est lié au guidage de fusée ou de missile, où le centre de gravité est situé derrière le centre de traînée provoquant une instabilité aérodynamique. La compréhension d'un problème similaire peut être démontrée par une robotique simple sous la forme d'un chariot d'équilibrage. Équilibrer un manche à balai retourné au bout d'un doigt est une démonstration simple, et le problème est résolu par des transporteurs personnels auto-équilibrés tels que le Segway PT , l' hoverboard auto-équilibré et le monocycle auto-équilibré .

Une autre façon de stabiliser un pendule inversé, sans aucun mécanisme de rétroaction ou de contrôle, consiste à faire osciller rapidement le pivot de haut en bas. C'est ce qu'on appelle le pendule de Kapitza . Si l' oscillation est suffisamment forte (en termes d'accélération et d'amplitude), le pendule inversé peut se remettre des perturbations d'une manière étonnamment contre-intuitive. Si le point moteur se déplace dans un mouvement harmonique simple , le mouvement du pendule est décrit par l' équation de Mathieu .

Les équations de mouvement des pendules inversés dépendent des contraintes qui pèsent sur le mouvement du pendule. Les pendules inversés peuvent être créés dans diverses configurations, ce qui donne lieu à un certain nombre d'équations de mouvement décrivant le comportement du pendule.

Dans une configuration où le point de pivot du pendule est fixe dans l'espace, l'équation du mouvement est similaire à celle d'un pendule non inversé . L'équation du mouvement ci-dessous suppose l'absence de frottement ou de toute autre résistance au mouvement, une tige rigide sans masse et la restriction au mouvement bidimensionnel .

Où est l' accélération angulaire du pendule, est la gravité standard à la surface de la Terre, est la longueur du pendule et est le déplacement angulaire mesuré à partir de la position d'équilibre.

Lorsqu'il est ajouté aux deux côtés, il a le même signe que le terme d'accélération angulaire :

Ainsi, le pendule inversé accélère en s'éloignant de l'équilibre instable vertical dans la direction initialement déplacée, et l'accélération est inversement proportionnelle à la longueur. Les pendules hauts tombent plus lentement que les pendules courts.

Dérivation utilisant le couple et le moment d'inertie :

On suppose que le pendule est constitué d'une masse ponctuelle, de masse , fixée à l'extrémité d'une tige rigide sans masse, de longueur , attachée à un point de pivot à l'extrémité opposée à la masse ponctuelle.

Le couple net du système doit être égal au moment d'inertie multiplié par l'accélération angulaire :

Le couple dû à la gravité fournit le couple net :

Où est l'angle mesuré à partir de la position d'équilibre inversée.

L'équation résultante :

Le moment d'inertie d'une masse ponctuelle :

Dans le cas du pendule inversé, le rayon est la longueur de la tige, .

Substitution dans

La masse est divisée de chaque côté, ce qui donne :

Un pendule inversé sur un chariot est constitué d'une masse au sommet d'un poteau de longueur pivotant sur une base mobile horizontalement, comme le montre l'image ci-contre. Le chariot est limité à un mouvement linéaire et est soumis à des forces entraînant ou entravant le mouvement.

L’essentiel de la stabilisation du pendule inversé peut être résumé qualitativement en trois étapes.

1. Si l'angle d'inclinaison est vers la droite, le chariot doit accélérer vers la droite et vice versa.

2. La position du chariot par rapport au centre de la voie est stabilisée en modulant légèrement l'angle nul (l'erreur d'angle que le système de contrôle essaie d'annuler) par la position du chariot, c'est-à-dire l'angle nul où est petit. Cela fait que le poteau a tendance à s'incliner légèrement vers le centre de la voie et à se stabiliser au centre de la voie où l'angle d'inclinaison est exactement vertical. Tout décalage dans le capteur d'inclinaison ou la pente de la voie qui provoquerait autrement une instabilité se traduit par un décalage de position stable. Un décalage supplémentaire ajouté donne le contrôle de la position.

3. Un pendule normal soumis à un point de pivot mobile tel qu'une charge soulevée par une grue, a une réponse maximale à la fréquence radian du pendule de . Pour éviter un balancement incontrôlé, le spectre de fréquence du mouvement de pivot doit être supprimé près de . Le pendule inversé nécessite le même filtre de suppression pour atteindre la stabilité.

En raison de la stratégie de modulation d'angle nul, la rétroaction de position est positive, c'est-à-dire qu'une commande soudaine de déplacement vers la droite produit un mouvement initial du chariot vers la gauche suivi d'un déplacement vers la droite pour rééquilibrer le pendule. L'interaction de l'instabilité du pendule et de l'instabilité de rétroaction de position positive pour produire un système stable est une caractéristique qui fait de l'analyse mathématique un problème intéressant et stimulant.

Les équations du mouvement peuvent être dérivées à l'aide des équations de Lagrange . Nous nous référons au dessin à droite où est l'angle du pendule de longueur par rapport à la direction verticale et les forces agissantes sont la gravité et une force externe F dans la direction x. Définissons comme étant la position du chariot.

L'énergie cinétique du système est :

où est la vitesse du chariot et est la vitesse de la masse ponctuelle . et peut être exprimé en termes de x et en écrivant la vitesse comme la première dérivée de la position ;

La simplification de l'expression pour conduit à :

L'énergie cinétique est maintenant donnée par :

Les coordonnées généralisées du système sont et , chacune possède une force généralisée. Sur l' axe, la force généralisée peut être calculée grâce à son travail virtuel

sur l' axe, la force généralisée peut également être calculée via son travail virtuel

Selon les équations de Lagrange , les équations du mouvement sont :

en remplaçant ces équations et en simplifiant, on obtient les équations qui décrivent le mouvement du pendule inversé :

Ces équations ne sont pas linéaires, mais comme le but d'un système de contrôle serait de maintenir le pendule droit, les équations peuvent être linéarisées autour de .

Les forces généralisées peuvent être écrites à la fois sous forme d'énergie potentielle et ,

Forces généralisées	Potentiel énergétique
	Selon le principe d'Alembert , les forces généralisées et l'énergie potentielle sont liées : Cependant, dans certaines circonstances, l'énergie potentielle n'est pas accessible, seules les forces généralisées sont disponibles. Après avoir obtenu le lagrangien , nous pouvons également utiliser l’équation d’Euler-Lagrange pour résoudre les équations du mouvement : La seule différence est de savoir s'il faut incorporer les forces généralisées dans l'énergie potentielle ou les écrire explicitement comme sur le côté droit, elles conduisent toutes aux mêmes équations au final. De la deuxième loi de Newton Il est souvent plus avantageux d'utiliser la deuxième loi de Newton au lieu des équations de Lagrange, car ces dernières donnent les forces de réaction à l'articulation entre le pendule et le chariot. Ces équations donnent lieu à deux équations pour chaque corps ; une dans la direction x et l'autre dans la direction y. Les équations du mouvement du chariot sont présentées ci-dessous, où le côté gauche est la somme des forces exercées sur le corps et le côté droit est l'accélération. Dans les équations ci-dessus et sont des forces de réaction au niveau de l'articulation. est la force normale appliquée au chariot. Cette deuxième équation ne dépend que de la force de réaction verticale, l'équation peut donc être utilisée pour résoudre la force normale. La première équation peut être utilisée pour résoudre la force de réaction horizontale. Afin de compléter les équations du mouvement, l'accélération de la masse ponctuelle attachée au pendule doit être calculée. La position de la masse ponctuelle peut être donnée en coordonnées inertielles comme En prenant deux dérivées, on obtient le vecteur d'accélération dans le référentiel inertiel. Ensuite, en utilisant la deuxième loi de Newton, deux équations peuvent être écrites dans la direction x et dans la direction y. Notez que les forces de réaction sont positives lorsqu'elles sont appliquées au pendule et négatives lorsqu'elles sont appliquées au chariot. Cela est dû à la troisième loi de Newton. La première équation permet de calculer la force de réaction horizontale d'une autre manière dans le cas où la force appliquée n'est pas connue. La deuxième équation peut être utilisée pour résoudre la force de réaction verticale. La première équation de mouvement est obtenue en substituant dans , ce qui donne En examinant cette équation, on obtient le même résultat que celui de la méthode de Lagrange. Pour obtenir la deuxième équation, l'équation du mouvement du pendule doit être parsemée d'un vecteur unitaire qui est perpendiculaire au pendule à tout moment et qui est généralement noté comme la coordonnée x du cadre du corps. Dans les coordonnées inertielles, ce vecteur peut être écrit à l'aide d'une simple transformation de coordonnées 2D L'équation du mouvement du pendule écrite sous forme vectorielle est . Le pointage des deux côtés donne ce qui suit sur le côté gauche (notez qu'une transposition est la même chose qu'un produit scalaire ) Dans l'équation ci-dessus, la relation entre les composantes du cadre de carrosserie des forces de réaction et les composantes du cadre inertiel des forces de réaction est utilisée. L'hypothèse selon laquelle la barre reliant la masse ponctuelle au chariot est sans masse implique que cette barre ne peut transférer aucune charge perpendiculairement à la barre. Ainsi, les composantes du cadre inertiel des forces de réaction peuvent être écrites simplement comme , ce qui signifie que la barre ne peut transférer des charges que le long de l'axe de la barre elle-même. Cela donne lieu à une autre équation qui peut être utilisée pour résoudre la tension dans la tige elle-même : Le côté droit de l'équation est calculé de la même manière en pointillant avec l'accélération du pendule. Le résultat (après quelques simplifications) est présenté ci-dessous. En combinant le LHS avec le RHS et en divisant par m, on obtient ce qui est identique au résultat de la méthode de Lagrange. L'avantage de la méthode de Newton est que toutes les forces de réaction sont révélées pour garantir que rien ne soit endommagé. Pour une dérivation des équations de mouvement à partir de la deuxième loi de Newton, comme ci-dessus, en utilisant la boîte à outils de mathématiques symboliques et les références qui y figurent. Variantes La stabilité d'un pendule inversé est devenue un défi technique courant pour les chercheurs. Il existe différentes variantes du pendule inversé sur un chariot, allant d'une tige sur un chariot à un pendule inversé à segments multiples sur un chariot. Une autre variante place la tige ou la tige segmentée du pendule inversé à l'extrémité d'un ensemble rotatif. Dans les deux cas (le chariot et le système rotatif), le pendule inversé ne peut tomber que dans un plan. Les pendules inversés de ces projets peuvent soit être tenus de maintenir l'équilibre uniquement après qu'une position d'équilibre est atteinte, soit peuvent atteindre l'équilibre par eux-mêmes. Une autre plate-forme est un pendule inversé à deux roues. La plate-forme à deux roues a la capacité de tourner sur place offrant une grande maniabilité. Une autre variante encore s'équilibre sur un seul point. Une toupie , un monocycle ou un pendule inversé au sommet d'une boule sphérique s'équilibrent tous sur un seul point. Le pendule de Kapitza Un pendule inversé dans lequel le pivot oscille rapidement de haut en bas peut être stable en position inversée. C'est ce qu'on appelle le pendule de Kapitza , d'après le physicien russe Piotr Kapitza qui l'a analysé pour la première fois. L'équation du mouvement d'un pendule relié à une base oscillante sans masse est dérivée de la même manière que pour le pendule sur le chariot. La position de la masse ponctuelle est maintenant donnée par : et la vitesse est trouvée en prenant la première dérivée de la position : Le lagrangien de ce système peut s'écrire comme : et l'équation du mouvement résulte de : résultant en: Si y représente un mouvement harmonique simple ,, l' équation différentielle suivante est : Cette équation n'a pas de solutions élémentaires sous forme fermée, mais peut être explorée de diverses manières. Elle est approchée de près par l' équation de Mathieu , par exemple, lorsque l'amplitude des oscillations est faible. Les analyses montrent que le pendule reste droit pour les oscillations rapides. Le premier graphique montre que lorsque est une oscillation lente, le pendule tombe rapidement lorsqu'il est perturbé par rapport à la position verticale. L'angle dépasse 90° après un court instant, ce qui signifie que le pendule est tombé au sol. Si est une oscillation rapide, le pendule peut être maintenu stable autour de la position verticale. Le deuxième graphique montre que lorsqu'il est perturbé par rapport à la position verticale, le pendule commence maintenant une oscillation autour de la position verticale ( ). L'écart par rapport à la position verticale reste faible et le pendule ne tombe pas. Exemples L'exemple le plus courant de pendule inversé stabilisé est sans doute l' être humain . Une personne debout agit comme un pendule inversé avec ses pieds comme pivot et, sans de petits ajustements musculaires constants, elle tomberait. Le système nerveux humain contient un système de contrôle par rétroaction inconscient , le sens de l'équilibre ou réflexe de redressement , qui utilise les informations proprioceptives des yeux, des muscles et des articulations, et les informations d'orientation du système vestibulaire composé des trois canaux semi-circulaires de l' oreille interne et de deux organes otolithiques , pour effectuer de petits ajustements continus aux muscles squelettiques afin de nous maintenir debout. Marcher, courir ou se tenir en équilibre sur une jambe impose des exigences supplémentaires à ce système. Certaines maladies et l'intoxication alcoolique ou médicamenteuse peuvent interférer avec ce réflexe, provoquant des étourdissements et un déséquilibre , une incapacité à se tenir debout. Un test de sobriété sur le terrain utilisé par la police pour tester les conducteurs sous l'influence de l'alcool ou de drogues, teste ce réflexe pour détecter une altération. Quelques exemples simples incluent l’équilibrage des balais ou des mètres à la main. Le pendule inversé a été utilisé dans divers appareils et essayer d'équilibrer un pendule inversé présente un problème d'ingénierie unique pour les chercheurs. Le pendule inversé était un élément central dans la conception de plusieurs premiers sismomètres en raison de son instabilité inhérente entraînant une réponse mesurable à toute perturbation. Le modèle du pendule inversé a été utilisé dans certains véhicules de transport personnel récents , tels que les scooters auto-équilibrés à deux roues et les monocycles électriques à une roue . Ces appareils sont cinématiquement instables et utilisent un système d'asservissement à rétroaction électronique pour les maintenir en position verticale. Faire basculer un pendule sur un chariot dans son état de pendule inversé est considéré comme un problème/une référence de contrôle optimal traditionnel .